Theorem matring 22464

Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matring	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 22442	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4		eqidd 2735	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
6	1, 5	matmulr 22459	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
7	1	matgrp 22451	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8		simp1r 1197	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp1l 1196	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp2 1136	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12	2, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11	mamucl 22420	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15		simpr1 1193	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
16		simpr2 1194	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17		simpr3 1195	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	2, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5	mamuass 22421	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudir 22423	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	16, 21	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	17, 21	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
26	1, 24, 25, 19	matplusg2 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	22, 23, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
28	27	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16	mamucl 22420	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
31	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17	mamucl 22420	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
32	31, 21	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
33	1, 24, 25, 19	matplusg2 22448	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
35	20, 28, 34	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudi 22422	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
37	15, 21	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
38	1, 24, 25, 19	matplusg2 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
39	37, 22, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
40	39	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
41	2, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17	mamucl 22420	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41, 21	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 24, 25, 19	matplusg2 22448	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
44	32, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
45	36, 40, 44	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
50		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
51	2, 46, 47, 48, 49, 50	mamumat1cl 22460	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
52		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
55	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamulid 22462	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
56	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamurid 22463	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
57	3, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56	isringd 20304	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530  ⟨cotp 4638   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ∘_f cof 7694   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485  1_rcur 20198  Ringcrg 20250   maMul cmmul 22409   Mat cmat 22426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mamu 22410  df-mat 22427

This theorem is referenced by:  matassa  22465  mat1  22468  mat1bas  22470  matsc  22471  mat0dim0  22488  mat0dimid  22489  mat0dimcrng  22491  mat1dimcrng  22498  mat1ghm  22504  mat1mhm  22505  mat1rhm  22506  dmatid  22516  dmatsgrp  22520  dmatsrng  22522  scmatscmide  22528  scmatscmiddistr  22529  scmatmats  22532  scmatscm  22534  scmatid  22535  scmataddcl  22537  scmatsubcl  22538  scmatmulcl  22539  scmatsgrp  22540  scmatsrng  22541  smatvscl  22545  scmatrhmcl  22549  scmatf1  22552  scmatmhm  22555  mdet1  22622  mdetunilem8  22640  mdetuni0  22642  mdetmul  22644  madulid  22666  matunit  22699  slesolinv  22701  slesolinvbi  22702  slesolex  22703  pmatring  22713  mat2pmatghm  22751  mat2pmatmul  22752  mat2pmat1  22753  mat2pmatmhm  22754  mat2pmatrhm  22755  m2cpmrhm  22767  m2pmfzgsumcl  22769  m2cpminv0  22782  decpmataa0  22789  decpmatmul  22793  monmatcollpw  22800  pmatcollpw3fi1lem1  22807  pmatcollpw3fi1lem2  22808  pm2mpf1lem  22815  pm2mpcl  22818  pm2mpf1  22820  pm2mpcoe1  22821  idpm2idmp  22822  mp2pm2mplem5  22831  mp2pm2mp  22832  pm2mpghmlem2  22833  pm2mpghmlem1  22834  pm2mpghm  22837  pm2mpmhmlem1  22839  pm2mpmhmlem2  22840  pm2mpmhm  22841  pm2mprhm  22842  monmat2matmon  22845  pm2mp  22846  chpmat0d  22855  chpmat1dlem  22856  chpmat1d  22857  chp0mat  22867  chpidmat  22868  cpmidgsumm2pm  22890  cpmidpmatlem2  22892  cpmidpmatlem3  22893  cpmadugsumlemB  22895  cpmadugsumlemC  22896  cayhamlem2  22905  chcoeffeqlem  22906  cayhamlem4  22909  matunitlindflem2  37603  matunitlindf  37604