Theorem matring 22359

Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matring	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 22337	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4		eqidd 2732	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
6	1, 5	matmulr 22354	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
7	1	matgrp 22346	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12	2, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11	mamucl 22317	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15		simpr1 1195	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
16		simpr2 1196	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17		simpr3 1197	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	2, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5	mamuass 22318	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudir 22320	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	16, 21	eleqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	17, 21	eleqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
26	1, 24, 25, 19	matplusg2 22343	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	22, 23, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
28	27	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16	mamucl 22317	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
31	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17	mamucl 22317	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
32	31, 21	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
33	1, 24, 25, 19	matplusg2 22343	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
35	20, 28, 34	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudi 22319	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
37	15, 21	eleqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
38	1, 24, 25, 19	matplusg2 22343	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
39	37, 22, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
40	39	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
41	2, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17	mamucl 22317	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41, 21	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 24, 25, 19	matplusg2 22343	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
44	32, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
45	36, 40, 44	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
50		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
51	2, 46, 47, 48, 49, 50	mamumat1cl 22355	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
52		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
55	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamulid 22357	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
56	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamurid 22358	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
57	3, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56	isringd 20210	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475  ⟨cotp 4584   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  1_rcur 20100  Ringcrg 20152   maMul cmmul 22306   Mat cmat 22323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mamu 22307  df-mat 22324

This theorem is referenced by:  matassa  22360  mat1  22363  mat1bas  22365  matsc  22366  mat0dim0  22383  mat0dimid  22384  mat0dimcrng  22386  mat1dimcrng  22393  mat1ghm  22399  mat1mhm  22400  mat1rhm  22401  dmatid  22411  dmatsgrp  22415  dmatsrng  22417  scmatscmide  22423  scmatscmiddistr  22424  scmatmats  22427  scmatscm  22429  scmatid  22430  scmataddcl  22432  scmatsubcl  22433  scmatmulcl  22434  scmatsgrp  22435  scmatsrng  22436  smatvscl  22440  scmatrhmcl  22444  scmatf1  22447  scmatmhm  22450  mdet1  22517  mdetunilem8  22535  mdetuni0  22537  mdetmul  22539  madulid  22561  matunit  22594  slesolinv  22596  slesolinvbi  22597  slesolex  22598  pmatring  22608  mat2pmatghm  22646  mat2pmatmul  22647  mat2pmat1  22648  mat2pmatmhm  22649  mat2pmatrhm  22650  m2cpmrhm  22662  m2pmfzgsumcl  22664  m2cpminv0  22677  decpmataa0  22684  decpmatmul  22688  monmatcollpw  22695  pmatcollpw3fi1lem1  22702  pmatcollpw3fi1lem2  22703  pm2mpf1lem  22710  pm2mpcl  22713  pm2mpf1  22715  pm2mpcoe1  22716  idpm2idmp  22717  mp2pm2mplem5  22726  mp2pm2mp  22727  pm2mpghmlem2  22728  pm2mpghmlem1  22729  pm2mpghm  22732  pm2mpmhmlem1  22734  pm2mpmhmlem2  22735  pm2mpmhm  22736  pm2mprhm  22737  monmat2matmon  22740  pm2mp  22741  chpmat0d  22750  chpmat1dlem  22751  chpmat1d  22752  chp0mat  22762  chpidmat  22763  cpmidgsumm2pm  22785  cpmidpmatlem2  22787  cpmidpmatlem3  22788  cpmadugsumlemB  22790  cpmadugsumlemC  22791  cayhamlem2  22800  chcoeffeqlem  22801  cayhamlem4  22804  matunitlindflem2  37663  matunitlindf  37664