Theorem matring 22764

Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matring	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 22742	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4		eqidd 2761	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
6	1, 5	matmulr 22759	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
7	1	matgrp 22751	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8		simp1r 1217	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp1l 1216	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12	2, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11	mamucl 22722	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15		simpr1 1213	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
16		simpr2 1214	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17		simpr3 1215	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	2, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5	mamuass 22723	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudir 22725	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	16, 21	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	17, 21	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
26	1, 24, 25, 19	matplusg2 22748	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	22, 23, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
28	27	oveq2d 7437	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16	mamucl 22722	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
31	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17	mamucl 22722	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
32	31, 21	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
33	1, 24, 25, 19	matplusg2 22748	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34	30, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
35	20, 28, 34	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudi 22724	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
37	15, 21	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
38	1, 24, 25, 19	matplusg2 22748	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
39	37, 22, 38	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
40	39	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
41	2, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17	mamucl 22722	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41, 21	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 24, 25, 19	matplusg2 22748	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
44	32, 42, 43	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
45	36, 40, 44	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
50		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
51	2, 46, 47, 48, 49, 50	mamumat1cl 22760	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
52		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
55	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamulid 22762	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
56	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamurid 22763	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
57	3, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56	isringd 20528	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ⟨cotp 4857   × cxp 5648  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423   ∘_f cof 7692   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8977  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  1_rcur 20413  Ringcrg 20465   maMul cmmul 22711   Mat cmat 22728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-mamu 22712  df-mat 22729

This theorem is used by:  matassa  22765  mat1  22768  mat1bas  22770  matsc  22771  mat0dim0  22788  mat0dimid  22789  mat0dimcrng  22791  mat1dimcrng  22798  mat1ghm  22804  mat1mhm  22805  mat1rhm  22806  dmatid  22816  dmatsgrp  22820  dmatsrng  22822  scmatscmide  22828  scmatscmiddistr  22829  scmatmats  22832  scmatscm  22834  scmatid  22835  scmataddcl  22837  scmatsubcl  22838  scmatmulcl  22839  scmatsgrp  22840  scmatsrng  22841  smatvscl  22845  scmatrhmcl  22849  scmatf1  22852  scmatmhm  22855  mdet1  22922  mdetunilem8  22940  mdetuni0  22942  mdetmul  22944  madulid  22966  matunit  22999  matunitlindflem2  23001  matunitlindf  23002  slesolinv  23004  slesolinvbi  23005  slesolex  23006  pmatring  23016  mat2pmatghm  23054  mat2pmatmul  23055  mat2pmat1  23056  mat2pmatmhm  23057  mat2pmatrhm  23058  m2cpmrhm  23070  m2pmfzgsumcl  23072  m2cpminv0  23085  decpmataa0  23092  decpmatmul  23096  monmatcollpw  23103  pmatcollpw3fi1lem1  23110  pmatcollpw3fi1lem2  23111  pm2mpf1lem  23118  pm2mpcl  23121  pm2mpf1  23123  pm2mpcoe1  23124  idpm2idmp  23125  mp2pm2mplem5  23134  mp2pm2mp  23135  pm2mpghmlem2  23136  pm2mpghmlem1  23137  pm2mpghm  23140  pm2mpmhmlem1  23142  pm2mpmhmlem2  23143  pm2mpmhm  23144  pm2mprhm  23145  monmat2matmon  23148  pm2mp  23149  chpmat0d  23158  chpmat1dlem  23159  chpmat1d  23160  chp0mat  23170  chpidmat  23171  cpmidgsumm2pm  23193  cpmidpmatlem2  23195  cpmidpmatlem3  23196  cpmadugsumlemB  23198  cpmadugsumlemC  23199  cayhamlem2  23208  chcoeffeqlem  23209  cayhamlem4  23212