Theorem matring 20724

Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matring	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2793	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 20702	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4		eqidd 2794	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
5		eqid 2793	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
6	1, 5	matmulr 20719	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
7	1	matgrp 20711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8		simp1r 1189	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp1l 1188	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp2 1128	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
11		simp3 1129	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
12	2, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11	mamucl 20682	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
13		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15		simpr1 1185	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
16		simpr2 1186	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
17		simpr3 1187	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
18	2, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5	mamuass 20683	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudir 20685	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	16, 21	eleqtrd 2883	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	17, 21	eleqtrd 2883	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2793	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25		eqid 2793	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
26	1, 24, 25, 19	matplusg2 20708	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑧))
27	22, 23, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g‘𝐴)𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑧))
28	27	oveq2d 7023	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑧)))
29	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16	mamucl 20682	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
31	2, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17	mamucl 20682	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
32	31, 21	eleqtrd 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
33	1, 24, 25, 19	matplusg2 20708	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
35	20, 28, 34	3eqtr4d 2839	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g‘𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g‘𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	2, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17	mamudi 20684	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
37	15, 21	eleqtrd 2883	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
38	1, 24, 25, 19	matplusg2 20708	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦))
39	37, 22, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) = (𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦))
40	39	oveq1d 7022	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
41	2, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17	mamucl 20682	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
42	41, 21	eleqtrd 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 24, 25, 19	matplusg2 20708	. . . 4 ⊢ (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
44	32, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
45	36, 40, 44	3eqtr4d 2839	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47		eqid 2793	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		eqid 2793	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		eqid 2793	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
50		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
51	2, 46, 47, 48, 49, 50	mamumat1cl 20720	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
52		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
55	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamulid 20722	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
56	2, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54	mamurid 20723	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
57	3, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56	isringd 19013	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ifcif 4375  ⟨cotp 4474   × cxp 5433  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ∈ cmpo 7009   ∘_𝑓 cof 7256   ↑_𝑚 cmap 8247  Fincfn 8347  Basecbs 16300  +_gcplusg 16382  0_gc0g 16530  1_rcur 18929  Ringcrg 18975   maMul cmmul 20664   Mat cmat 20688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-ot 4475  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-sup 8742  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-hom 16406  df-cco 16407  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-prds 16538  df-pws 16540  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-mhm 17762  df-submnd 17763  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-mulg 17970  df-subg 18018  df-ghm 18085  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-subrg 19211  df-lmod 19314  df-lss 19382  df-sra 19622  df-rgmod 19623  df-dsmm 20546  df-frlm 20561  df-mamu 20665  df-mat 20689

This theorem is referenced by:  matassa  20725  mat1  20728  mat1bas  20730  matsc  20731  mat0dim0  20748  mat0dimid  20749  mat0dimcrng  20751  mat1dimcrng  20758  mat1ghm  20764  mat1mhm  20765  mat1rhm  20766  mat1rngiso  20767  dmatid  20776  dmatsgrp  20780  dmatsrng  20782  scmatscmide  20788  scmatscmiddistr  20789  scmatmats  20792  scmatscm  20794  scmatid  20795  scmataddcl  20797  scmatsubcl  20798  scmatmulcl  20799  scmatsgrp  20800  scmatsrng  20801  smatvscl  20805  scmatrhmcl  20809  scmatf1  20812  scmatmhm  20815  mdet1  20882  mdetunilem8  20900  mdetuni0  20902  mdetmul  20904  madulid  20926  matunit  20959  slesolinv  20961  slesolinvbi  20962  slesolex  20963  pmatring  20973  mat2pmatghm  21010  mat2pmatmul  21011  mat2pmat1  21012  mat2pmatmhm  21013  mat2pmatrhm  21014  m2cpmrhm  21026  m2pmfzgsumcl  21028  m2cpmrngiso  21038  m2cpminv0  21041  decpmataa0  21048  decpmatmul  21052  monmatcollpw  21059  pmatcollpw3fi1lem1  21066  pmatcollpw3fi1lem2  21067  pm2mpf1lem  21074  pm2mpcl  21077  pm2mpf1  21079  pm2mpcoe1  21080  idpm2idmp  21081  mp2pm2mplem5  21090  mp2pm2mp  21091  pm2mpghmlem2  21092  pm2mpghmlem1  21093  pm2mpghm  21096  pm2mpmhmlem1  21098  pm2mpmhmlem2  21099  pm2mpmhm  21100  pm2mprhm  21101  pm2mprngiso  21102  monmat2matmon  21104  pm2mp  21105  chpmat0d  21114  chpmat1dlem  21115  chpmat1d  21116  chp0mat  21126  chpidmat  21127  cpmidgsumm2pm  21149  cpmidpmatlem2  21151  cpmidpmatlem3  21152  cpmadugsumlemB  21154  cpmadugsumlemC  21155  cayhamlem2  21164  chcoeffeqlem  21165  cayhamlem4  21168  matunitlindflem2  34366  matunitlindf  34367