MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matring 20982
Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matring ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2821 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2matbas2 20960 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4 eqidd 2822 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝐴) = (+g𝐴))
5 eqid 2821 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
61, 5matmulr 20977 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
71matgrp 20969 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8 simp1r 1190 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simp1l 1189 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp2 1129 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11 simp3 1130 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
122, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11mamucl 20940 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13 simplr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpll 763 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15 simpr1 1186 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
16 simpr2 1187 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17 simpr3 1188 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
182, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5mamuass 20941 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19 eqid 2821 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudir 20943 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
213adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2216, 21eleqtrd 2915 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2317, 21eleqtrd 2915 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25 eqid 2821 . . . . . 6 (+g𝐴) = (+g𝐴)
261, 24, 25, 19matplusg2 20966 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
2722, 23, 26syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
2827oveq2d 7161 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
292, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16mamucl 20940 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
3029, 21eleqtrd 2915 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
312, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17mamucl 20940 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
3231, 21eleqtrd 2915 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
331, 24, 25, 19matplusg2 20966 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3430, 32, 33syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘f (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3520, 28, 343eqtr4d 2866 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
362, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudi 20942 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3715, 21eleqtrd 2915 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
381, 24, 25, 19matplusg2 20966 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
3937, 22, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
4039oveq1d 7160 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
412, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17mamucl 20940 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
4241, 21eleqtrd 2915 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
431, 24, 25, 19matplusg2 20966 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4432, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘f (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4536, 40, 443eqtr4d 2866 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46 simpr 485 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47 eqid 2821 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
48 eqid 2821 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2821 . . 3 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))
50 simpl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
512, 46, 47, 48, 49, 50mamumat1cl 20978 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
52 simplr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simpll 763 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54 simpr 485 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
552, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamulid 20980 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
562, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamurid 20981 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
573, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56isringd 19266 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4465  cotp 4567   × cxp 5547  cfv 6349  (class class class)co 7145  cmpo 7147  f cof 7396  m cmap 8396  Fincfn 8498  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  0gc0g 16703  1rcur 19182  Ringcrg 19228   maMul cmmul 20924   Mat cmat 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-dsmm 20806  df-frlm 20821  df-mamu 20925  df-mat 20947
This theorem is referenced by:  matassa  20983  mat1  20986  mat1bas  20988  matsc  20989  mat0dim0  21006  mat0dimid  21007  mat0dimcrng  21009  mat1dimcrng  21016  mat1ghm  21022  mat1mhm  21023  mat1rhm  21024  mat1rngiso  21025  dmatid  21034  dmatsgrp  21038  dmatsrng  21040  scmatscmide  21046  scmatscmiddistr  21047  scmatmats  21050  scmatscm  21052  scmatid  21053  scmataddcl  21055  scmatsubcl  21056  scmatmulcl  21057  scmatsgrp  21058  scmatsrng  21059  smatvscl  21063  scmatrhmcl  21067  scmatf1  21070  scmatmhm  21073  mdet1  21140  mdetunilem8  21158  mdetuni0  21160  mdetmul  21162  madulid  21184  matunit  21217  slesolinv  21219  slesolinvbi  21220  slesolex  21221  pmatring  21231  mat2pmatghm  21268  mat2pmatmul  21269  mat2pmat1  21270  mat2pmatmhm  21271  mat2pmatrhm  21272  m2cpmrhm  21284  m2pmfzgsumcl  21286  m2cpmrngiso  21296  m2cpminv0  21299  decpmataa0  21306  decpmatmul  21310  monmatcollpw  21317  pmatcollpw3fi1lem1  21324  pmatcollpw3fi1lem2  21325  pm2mpf1lem  21332  pm2mpcl  21335  pm2mpf1  21337  pm2mpcoe1  21338  idpm2idmp  21339  mp2pm2mplem5  21348  mp2pm2mp  21349  pm2mpghmlem2  21350  pm2mpghmlem1  21351  pm2mpghm  21354  pm2mpmhmlem1  21356  pm2mpmhmlem2  21357  pm2mpmhm  21358  pm2mprhm  21359  pm2mprngiso  21360  monmat2matmon  21362  pm2mp  21363  chpmat0d  21372  chpmat1dlem  21373  chpmat1d  21374  chp0mat  21384  chpidmat  21385  cpmidgsumm2pm  21407  cpmidpmatlem2  21409  cpmidpmatlem3  21410  cpmadugsumlemB  21412  cpmadugsumlemC  21413  cayhamlem2  21422  chcoeffeqlem  21423  cayhamlem4  21426  matunitlindflem2  34771  matunitlindf  34772
  Copyright terms: Public domain W3C validator