MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinvbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolinvbi 21840
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invr𝐴)
Assertion
Ref Expression
slesolinvbi (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌)))

Proof of Theorem slesolinvbi
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2 simpl2 1191 . . 3 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝑉))
3 simp3 1137 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
43anim1i 615 . . 3 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
5 slesolex.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 slesolex.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
7 slesolex.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8 slesolex.x . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
9 slesolex.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10 slesolinv.i . . . 4 𝐼 = (invr𝐴)
115, 6, 7, 8, 9, 10slesolinv 21839 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
121, 2, 4, 11syl3anc 1370 . 2 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
13 oveq2 7275 . . 3 (𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑋 · ((𝐼𝑋) · 𝑌)))
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
155, 6matrcl 21569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
1814, 17anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
19183adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
20 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
215, 20matmulr 21597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
2322oveqd 7284 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼𝑋)) = (𝑋(.r𝐴)(𝐼𝑋)))
24 crngring 19805 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
2625, 17anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27263adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
285matring 21602 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ Ring)
30 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
31 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
325, 9, 6, 30, 31matunit 21837 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
3332ad2ant2lr 745 . . . . . . . 8 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
3433biimp3ar 1469 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35 eqid 2738 . . . . . . . 8 (.r𝐴) = (.r𝐴)
36 eqid 2738 . . . . . . . 8 (1r𝐴) = (1r𝐴)
3730, 10, 35, 36unitrinv 19930 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)(𝐼𝑋)) = (1r𝐴))
3829, 34, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r𝐴)(𝐼𝑋)) = (1r𝐴))
3923, 38eqtrd 2778 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼𝑋)) = (1r𝐴))
4039oveq1d 7282 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼𝑋)) · 𝑌) = ((1r𝐴) · 𝑌))
41 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42253ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43173ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑁 ∈ Fin)
447eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
4544biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
4645adantl 482 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47463ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
486eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4948biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
51503ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
52 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5330, 10, 52ringinvcl 19928 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
5429, 34, 53syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
555, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54mavmulass 21708 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼𝑋)) · 𝑌) = (𝑋 · ((𝐼𝑋) · 𝑌)))
565, 41, 8, 42, 43, 471mavmul 21707 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((1r𝐴) · 𝑌) = 𝑌)
5740, 55, 563eqtr3d 2786 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 · ((𝐼𝑋) · 𝑌)) = 𝑌)
5813, 57sylan9eqr 2800 . 2 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
5912, 58impbida 798 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3429  c0 4256  cop 4567  cotp 4569  cfv 6426  (class class class)co 7267  m cmap 8602  Fincfn 8720  Basecbs 16922  .rcmulr 16973  1rcur 19747  Ringcrg 19793  CRingccrg 19794  Unitcui 19891  invrcinvr 19923   maMul cmmul 21542   Mat cmat 21564   maVecMul cmvmul 21699   maDet cmdat 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-xnn0 12316  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-word 14228  df-lsw 14276  df-concat 14284  df-s1 14311  df-substr 14364  df-pfx 14394  df-splice 14473  df-reverse 14482  df-s2 14571  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-efmnd 18518  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-gim 18885  df-cntz 18933  df-oppg 18960  df-symg 18985  df-pmtr 19060  df-psgn 19109  df-evpm 19110  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-srg 19752  df-ring 19795  df-cring 19796  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-rnghom 19969  df-drng 20003  df-subrg 20032  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-cnfld 20608  df-zring 20681  df-zrh 20715  df-dsmm 20949  df-frlm 20964  df-assa 21070  df-mamu 21543  df-mat 21565  df-mvmul 21700  df-mdet 21744  df-madu 21793
This theorem is referenced by:  slesolex  21841
  Copyright terms: Public domain W3C validator