MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinvbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem slesolinvbi 22190
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
slesolex.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
slesolex.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
slesolinvbi (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ↔ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem slesolinvbi
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2 simpl2 1192 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉))
3 simp3 1138 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
43anim1i 615 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
5 slesolex.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 slesolex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
7 slesolex.v . . . 4 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
8 slesolex.x . . . 4 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
9 slesolex.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10 slesolinv.i . . . 4 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
115, 6, 7, 8, 9, 10slesolinv 22189 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
121, 2, 4, 11syl3anc 1371 . 2 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
13 oveq2 7419 . . 3 (𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
155, 6matrcl 21919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1814, 17anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
19183adant3 1132 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
215, 20matmulr 21947 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
2322oveqd 7428 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) = (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)))
24 crngring 20070 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2625, 17anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27263adant3 1132 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
285matring 21952 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π΄) = (Unitβ€˜π΄)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
325, 9, 6, 30, 31matunit 22187 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3332ad2ant2lr 746 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3433biimp3ar 1470 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
3730, 10, 35, 36unitrinv 20212 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
3829, 34, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
3923, 38eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
4039oveq1d 7426 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π΄) Β· π‘Œ))
41 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
42253ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43173ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
447eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
4544biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
4645adantl 482 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
47463ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
486eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4948biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
51503ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
52 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
5330, 10, 52ringinvcl 20210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
5429, 34, 53syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
555, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54mavmulass 22058 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
565, 41, 8, 42, 43, 471mavmul 22057 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5740, 55, 563eqtr3d 2780 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5813, 57sylan9eqr 2794 . 2 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
5912, 58impbida 799 1 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ↔ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  Unitcui 20173  invrcinvr 20205   maMul cmmul 21892   Mat cmat 21914   maVecMul cmvmul 22049   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-evpm 19362  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-assa 21414  df-mamu 21893  df-mat 21915  df-mvmul 22050  df-mdet 22094  df-madu 22143
This theorem is referenced by:  slesolex  22191
  Copyright terms: Public domain W3C validator