Theorem slesolinvbi 21268

Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
slesolinvbi	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ↔ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))

Proof of Theorem slesolinvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		simpl2 1188	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
3		simp3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
4	3	anim1i 616	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
5		slesolex.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		slesolex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		slesolex.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		slesolex.x	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
9		slesolex.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10		slesolinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	slesolinv 21267	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
12	1, 2, 4, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
13		oveq2 7145	. . 3 ⊢ (𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))
14		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
15	5, 6	matrcl 20999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
18	14, 17	anim12ci 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
19	18	3adant3 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
20		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
21	5, 20	matmulr 21025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
23	22	oveqd 7154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) = (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)))
24		crngring 19286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
25	24	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
26	25, 17	anim12ci 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27	26	3adant3 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28	5	matring 21030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ Ring)
30		eqid 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
31		eqid 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	5, 9, 6, 30, 31	matunit 21265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
33	32	ad2ant2lr 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	biimp3ar 1466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
36		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
37	30, 10, 35, 36	unitrinv 19406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
38	29, 34, 37	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
39	23, 38	eqtrd 2855	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
40	39	oveq1d 7152	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) · 𝑌) = ((1r‘𝐴) · 𝑌))
41		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	25	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	17	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑁 ∈ Fin)
44	7	eleq2i 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
45	44	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	6	eleq2i 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
49	48	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
50	49	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
51	50	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
52		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
53	30, 10, 52	ringinvcl 19404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
54	29, 34, 53	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
55	5, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54	mavmulass 21136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) · 𝑌) = (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))
56	5, 41, 8, 42, 43, 47	1mavmul 21135	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)
57	40, 55, 56	3eqtr3d 2863	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)) = 𝑌)
58	13, 57	sylan9eqr 2877	. 2 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
59	12, 58	impbida 799	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ↔ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  Vcvv 3481  ∅c0 4274  ⟨cop 4554  ⟨cotp 4556  ‘cfv 6336  (class class class)co 7137   ↑_m cmap 8387  Fincfn 8490  Basecbs 16461  ._rcmulr 16544  1_rcur 19229  Ringcrg 19275  CRingccrg 19276  Unitcui 19367  inv_rcinvr 19399   maMul cmmul 20972   Mat cmat 20994   maVecMul cmvmul 21127   maDet cmdat 21171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595  ax-addf 10597  ax-mulf 10598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1502  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-of 7390  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-supp 7812  df-tpos 7873  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-2o 8084  df-oadd 8087  df-er 8270  df-map 8389  df-pm 8390  df-ixp 8443  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-fsupp 8815  df-sup 8887  df-oi 8955  df-card 9349  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-div 11279  df-nn 11620  df-2 11682  df-3 11683  df-4 11684  df-5 11685  df-6 11686  df-7 11687  df-8 11688  df-9 11689  df-n0 11880  df-xnn0 11950  df-z 11964  df-dec 12081  df-uz 12226  df-rp 12372  df-fz 12878  df-fzo 13019  df-seq 13355  df-exp 13415  df-hash 13676  df-word 13847  df-lsw 13895  df-concat 13903  df-s1 13930  df-substr 13983  df-pfx 14013  df-splice 14092  df-reverse 14101  df-s2 14190  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-efmnd 18012  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-gim 18377  df-cntz 18425  df-oppg 18452  df-symg 18474  df-pmtr 18548  df-psgn 18597  df-evpm 18598  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-srg 19234  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-rnghom 19445  df-drng 19482  df-subrg 19511  df-lmod 19614  df-lss 19682  df-sra 19922  df-rgmod 19923  df-assa 20063  df-cnfld 20524  df-zring 20596  df-zrh 20629  df-dsmm 20854  df-frlm 20869  df-mamu 20973  df-mat 20995  df-mvmul 21128  df-mdet 21172  df-madu 21221

This theorem is referenced by:  slesolex  21269