MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinvbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem slesolinvbi 22183
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
slesolex.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
slesolex.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
slesolinvbi (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ↔ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem slesolinvbi
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2 simpl2 1193 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉))
3 simp3 1139 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
43anim1i 616 . . 3 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
5 slesolex.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 slesolex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
7 slesolex.v . . . 4 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
8 slesolex.x . . . 4 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
9 slesolex.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10 slesolinv.i . . . 4 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
115, 6, 7, 8, 9, 10slesolinv 22182 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
121, 2, 4, 11syl3anc 1372 . 2 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
13 oveq2 7417 . . 3 (𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
14 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
155, 6matrcl 21912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1615simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1814, 17anim12ci 615 . . . . . . . . 9 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
19183adant3 1133 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
20 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
215, 20matmulr 21940 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
2322oveqd 7426 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) = (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)))
24 crngring 20068 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2524adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2625, 17anim12ci 615 . . . . . . . . 9 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27263adant3 1133 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
285matring 21945 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π΄) = (Unitβ€˜π΄)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
325, 9, 6, 30, 31matunit 22180 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3332ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3433biimp3ar 1471 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄))
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
36 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
3730, 10, 35, 36unitrinv 20208 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
3829, 34, 37syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
3923, 38eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π΄))
4039oveq1d 7424 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π΄) Β· π‘Œ))
41 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
42253ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43173ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
447eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
4544biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
4645adantl 483 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
47463ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
486eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4948biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
5049adantr 482 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
51503ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
52 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
5330, 10, 52ringinvcl 20206 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
5429, 34, 53syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
555, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54mavmulass 22051 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)(πΌβ€˜π‘‹)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
565, 41, 8, 42, 43, 471mavmul 22050 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5740, 55, 563eqtr3d 2781 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5813, 57sylan9eqr 2795 . 2 ((((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ∧ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
5912, 58impbida 800 1 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ↔ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169  invrcinvr 20201   maMul cmmul 21885   Mat cmat 21907   maVecMul cmvmul 22042   maDet cmdat 22086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-evpm 19360  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-assa 21408  df-mamu 21886  df-mat 21908  df-mvmul 22043  df-mdet 22087  df-madu 22136
This theorem is referenced by:  slesolex  22184
  Copyright terms: Public domain W3C validator