Theorem slesolinvbi 22632

Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
slesolinvbi	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ↔ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))

Proof of Theorem slesolinvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		simpl2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
3		simp3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
4	3	anim1i 613	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
5		slesolex.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		slesolex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		slesolex.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		slesolex.x	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
9		slesolex.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10		slesolinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	slesolinv 22631	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
12	1, 2, 4, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
13		oveq2 7427	. . 3 ⊢ (𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))
14		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
15	5, 6	matrcl 22361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
18	14, 17	anim12ci 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
19	18	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
20		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
21	5, 20	matmulr 22389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
23	22	oveqd 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) = (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)))
24		crngring 20202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
25	24	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
26	25, 17	anim12ci 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27	26	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28	5	matring 22394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ Ring)
30		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
31		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	5, 9, 6, 30, 31	matunit 22629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
33	32	ad2ant2lr 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	biimp3ar 1466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
36		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
37	30, 10, 35, 36	unitrinv 20350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
38	29, 34, 37	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝐴)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
39	23, 38	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝐴))
40	39	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) · 𝑌) = ((1r‘𝐴) · 𝑌))
41		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	25	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	17	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑁 ∈ Fin)
44	7	eleq2i 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
45	44	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	6	eleq2i 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
49	48	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
50	49	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
51	50	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
52		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
53	30, 10, 52	ringinvcl 20348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
54	29, 34, 53	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
55	5, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54	mavmulass 22500	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐼‘𝑋)) · 𝑌) = (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))
56	5, 41, 8, 42, 43, 47	1mavmul 22499	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)
57	40, 55, 56	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 · ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)) = 𝑌)
58	13, 57	sylan9eqr 2787	. 2 ⊢ ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
59	12, 58	impbida 799	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ↔ 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461  ∅c0 4322  ⟨cop 4636  ⟨cotp 4638  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  Basecbs 17188  ._rcmulr 17242  1_rcur 20138  Ringcrg 20190  CRingccrg 20191  Unitcui 20311  inv_rcinvr 20343   maMul cmmul 22339   Mat cmat 22356   maVecMul cmvmul 22491   maDet cmdat 22535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224  ax-mulf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-word 14506  df-lsw 14554  df-concat 14562  df-s1 14587  df-substr 14632  df-pfx 14662  df-splice 14741  df-reverse 14750  df-s2 14840  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-prds 17437  df-pws 17439  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-efmnd 18834  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19037  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-gim 19227  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-symg 19339  df-pmtr 19414  df-psgn 19463  df-evpm 19464  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-srg 20144  df-ring 20192  df-cring 20193  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-rhm 20428  df-subrng 20500  df-subrg 20525  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-sra 21075  df-rgmod 21076  df-cnfld 21302  df-zring 21395  df-zrh 21451  df-dsmm 21688  df-frlm 21703  df-assa 21809  df-mamu 22340  df-mat 22357  df-mvmul 22492  df-mdet 22536  df-madu 22585

This theorem is referenced by:  slesolex  22633