MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1 21796
Description: Value of an identity matrix, see also the statement in [Lang] p. 504: "The unit element of the ring of n x n matrices is the matrix In ... whose components are equal to 0 except on the diagonal, in which case they are equal to 1.". (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o 1 = (1r𝑅)
mat1.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   1 ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Proof of Theorem mat1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
4 mat1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2736 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
6 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mamumat1cl 21788 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8 mat1.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
98, 1matbas2 21770 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
107, 9eleqtrd 2840 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
11 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
128, 11matmulr 21787 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1312adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1413oveqd 7374 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥))
15 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑁 ∈ Fin)
179eleq2d 2823 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1817biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 21790 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥)
2113oveqd 7374 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 21791 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2321, 22eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2420, 23jca 512 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
2524ralrimiva 3143 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
268matring 21792 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
28 eqid 2736 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
29 eqid 2736 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
3027, 28, 29isringid 19994 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3126, 30syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3210, 25, 31mpbi2and 710 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  ifcif 4486  cotp 4594   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  mat1ov  21797  matsc  21799  mattpos1  21805  mat1dimid  21823  1mavmul  21897  1marepvsma1  21932  pmat1op  22045  decpmatid  22119
  Copyright terms: Public domain W3C validator