MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1 22443
Description: Value of an identity matrix, see also the statement in [Lang] p. 504: "The unit element of the ring of n x n matrices is the matrix In ... whose components are equal to 0 except on the diagonal, in which case they are equal to 1.". (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o 1 = (1r𝑅)
mat1.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   1 ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Proof of Theorem mat1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
4 mat1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2726 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
6 simpl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mamumat1cl 22435 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8 mat1.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
98, 1matbas2 22417 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
107, 9eleqtrd 2828 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
128, 11matmulr 22434 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1312adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1413oveqd 7443 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥))
15 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑁 ∈ Fin)
179eleq2d 2812 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1817biimpar 476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 22437 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtr3d 2768 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥)
2113oveqd 7443 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 22438 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2321, 22eqtr3d 2768 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2420, 23jca 510 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
2524ralrimiva 3136 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
268matring 22439 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
28 eqid 2726 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
29 eqid 2726 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
3027, 28, 29isringid 20252 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3126, 30syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3210, 25, 31mpbi2and 710 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ifcif 4533  cotp 4641   × cxp 5682  cfv 6556  (class class class)co 7426  cmpo 7428  m cmap 8857  Fincfn 8976  Basecbs 17215  .rcmulr 17269  0gc0g 17456  1rcur 20166  Ringcrg 20218   maMul cmmul 22384   Mat cmat 22401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-sup 9487  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-hash 14350  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-mulg 19064  df-subg 19119  df-ghm 19209  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-subrg 20555  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-sra 21153  df-rgmod 21154  df-dsmm 21732  df-frlm 21747  df-mamu 22385  df-mat 22402
This theorem is referenced by:  mat1ov  22444  matsc  22446  mattpos1  22452  mat1dimid  22470  1mavmul  22544  1marepvsma1  22579  pmat1op  22692  decpmatid  22766
  Copyright terms: Public domain W3C validator