MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1 20984
Description: Value of an identity matrix, see also the statement in [Lang] p. 504: "The unit element of the ring of n x n matrices is the matrix In ... whose components are equal to 0 except on the diagonal, in which case they are equal to 1.". (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o 1 = (1r𝑅)
mat1.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   1 ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Proof of Theorem mat1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
4 mat1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2818 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
6 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mamumat1cl 20976 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8 mat1.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
98, 1matbas2 20958 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
107, 9eleqtrd 2912 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
11 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
128, 11matmulr 20975 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1312adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1413oveqd 7162 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥))
15 simplr 765 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑁 ∈ Fin)
179eleq2d 2895 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1817biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 20978 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtr3d 2855 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥)
2113oveqd 7162 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 20979 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2321, 22eqtr3d 2855 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2420, 23jca 512 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
2524ralrimiva 3179 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
268matring 20980 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
28 eqid 2818 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
29 eqid 2818 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
3027, 28, 29isringid 19252 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3126, 30syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3210, 25, 31mpbi2and 708 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ifcif 4463  cotp 4565   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Fincfn 8497  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  1rcur 19180  Ringcrg 19226   maMul cmmul 20922   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mamu 20923  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  mat1ov  20985  matsc  20987  mattpos1  20993  mat1dimid  21011  1mavmul  21085  1marepvsma1  21120  pmat1op  21232  decpmatid  21306
  Copyright terms: Public domain W3C validator