Theorem metakunt13 42198

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt13.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt13.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt13.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt13.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt13.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt13.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt13	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt13.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt13.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt13.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		metakunt13.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6		metakunt13.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt10 42195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑀 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt11 42196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt12 42197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀 ∨ 𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
12	11	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑋 = 𝑀 ∨ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
13	8, 10, 12	ecase3d 1034	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  ...cfz 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  metakunt14  42199