Theorem metakunt13 41466

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt13.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt13.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt13.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt13.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt13.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt13.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt13	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt13.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt13.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt13.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		metakunt13.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6		metakunt13.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt10 41463	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑀 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt11 41464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt12 41465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀 ∨ 𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)
12	11	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑋 = 𝑀 ∨ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋))
13	8, 10, 12	ecase3d 1031	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  ℕcn 12219  ...cfz 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492

This theorem is referenced by:  metakunt14  41467