Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt12 40799
Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt12.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt12.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt12.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt12.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt12.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt12.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt12
StepHypRef Expression
1 ioran 982 . 2 (¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼) ↔ (¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼))
2 metakunt12.4 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
4 eqeq1 2735 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) = 𝐼))
5 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) < 𝐼))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → 𝑥 = (𝐶𝑋))
7 oveq1 7400 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶𝑋) − 1))
85, 6, 7ifbieq12d 4550 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
94, 8ifbieq2d 4548 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
109adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
11 metakunt12.5 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
14 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
16 oveq1 7400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
1714, 15, 16ifbieq12d 4550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
1813, 17ifbieq2d 4548 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
20 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
21 iffalse 4531 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
23 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
24 iffalse 4531 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
2622, 25eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = (𝑋 + 1))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = (𝑋 + 1))
2819, 27eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = (𝑋 + 1))
29 metakunt12.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3129elfzelzd 13484 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℤ)
3332peano2zd 12651 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ ℤ)
3412, 28, 30, 33fvmptd 6991 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) = (𝑋 + 1))
35 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) = 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) = 𝐼))
36 breq1 5144 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) < 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) < 𝐼))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → (𝐶𝑋) = (𝑋 + 1))
38 oveq1 7400 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) − 1) = ((𝑋 + 1) − 1))
3936, 37, 38ifbieq12d 4550 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
4035, 39ifbieq2d 4548 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))))
4134, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))))
42 metakunt12.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4342nnred 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
4532zred 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
4633zred 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
4744, 45lenltd 11342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
4823, 47mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑋)
4945ltp1d 12126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < (𝑋 + 1))
5044, 45, 46, 48, 49lelttrd 11354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 < (𝑋 + 1))
5144, 50ltned 11332 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≠ (𝑋 + 1))
5251necomd 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ≠ 𝐼)
5352neneqd 2944 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ (𝑋 + 1) = 𝐼)
54 iffalse 4531 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 + 1) = 𝐼 → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
5645lep1d 12127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
5744, 45, 46, 48, 56letrd 11353 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ (𝑋 + 1))
5844, 46lenltd 11342 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐼 ≤ (𝑋 + 1) ↔ ¬ (𝑋 + 1) < 𝐼))
5957, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ (𝑋 + 1) < 𝐼)
60 iffalse 4531 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 + 1) < 𝐼 → if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)) = ((𝑋 + 1) − 1))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)) = ((𝑋 + 1) − 1))
6232zcnd 12649 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℂ)
63 1cnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 1 ∈ ℂ)
6462, 63pncand 11554 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
6555, 61, 643eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = 𝑋)
6641, 65eqtrd 2771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6766adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6810, 67eqtrd 2771 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
69 metakunt12.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
70 metakunt12.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
7169, 42, 70, 11metakunt2 40789 . . . . . 6 (𝜑𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
72713ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
7372, 30ffvelcdmd 7072 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) ∈ (1...𝑀))
743, 68, 73, 30fvmptd 6991 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
75743expb 1120 . 2 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
761, 75sylan2b 594 1 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4522   class class class wbr 5141  cmpt 5224  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  1c1 11093   + caddc 11095   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  cn 12194  cz 12540  ...cfz 13466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467
This theorem is referenced by:  metakunt13  40800
  Copyright terms: Public domain W3C validator