Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt12 40588
Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt12.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt12.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt12.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt12.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt12.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt12.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt12
StepHypRef Expression
1 ioran 982 . 2 (¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼) ↔ (¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼))
2 metakunt12.4 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
4 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) = 𝐼))
5 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) < 𝐼))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → 𝑥 = (𝐶𝑋))
7 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶𝑋) − 1))
85, 6, 7ifbieq12d 4514 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
94, 8ifbieq2d 4512 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
109adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
11 metakunt12.5 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
14 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
16 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
1714, 15, 16ifbieq12d 4514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
1813, 17ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
20 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
21 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
23 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
24 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
2622, 25eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = (𝑋 + 1))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = (𝑋 + 1))
2819, 27eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = (𝑋 + 1))
29 metakunt12.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3129elfzelzd 13442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℤ)
3332peano2zd 12610 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ ℤ)
3412, 28, 30, 33fvmptd 6955 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) = (𝑋 + 1))
35 eqeq1 2740 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) = 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) = 𝐼))
36 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) < 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) < 𝐼))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → (𝐶𝑋) = (𝑋 + 1))
38 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → ((𝐶𝑋) − 1) = ((𝑋 + 1) − 1))
3936, 37, 38ifbieq12d 4514 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
4035, 39ifbieq2d 4512 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋) = (𝑋 + 1) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))))
4134, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))))
42 metakunt12.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4342nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
4532zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
4633zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
4744, 45lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
4823, 47mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑋)
4945ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < (𝑋 + 1))
5044, 45, 46, 48, 49lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 < (𝑋 + 1))
5144, 50ltned 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≠ (𝑋 + 1))
5251necomd 2999 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ≠ 𝐼)
5352neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ (𝑋 + 1) = 𝐼)
54 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 + 1) = 𝐼 → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)))
5645lep1d 12086 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
5744, 45, 46, 48, 56letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ (𝑋 + 1))
5844, 46lenltd 11301 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐼 ≤ (𝑋 + 1) ↔ ¬ (𝑋 + 1) < 𝐼))
5957, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ (𝑋 + 1) < 𝐼)
60 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 + 1) < 𝐼 → if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)) = ((𝑋 + 1) − 1))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1)) = ((𝑋 + 1) − 1))
6232zcnd 12608 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℂ)
63 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 1 ∈ ℂ)
6462, 63pncand 11513 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
6555, 61, 643eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝑋 + 1) = 𝐼, 𝑀, if((𝑋 + 1) < 𝐼, (𝑋 + 1), ((𝑋 + 1) − 1))) = 𝑋)
6641, 65eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6766adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6810, 67eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
69 metakunt12.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
70 metakunt12.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
7169, 42, 70, 11metakunt2 40578 . . . . . 6 (𝜑𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
72713ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
7372, 30ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) ∈ (1...𝑀))
743, 68, 73, 30fvmptd 6955 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
75743expb 1120 . 2 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑋 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
761, 75sylan2b 594 1 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋 = 𝑀𝑋 < 𝐼)) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt13  40589
  Copyright terms: Public domain W3C validator