Theorem metakunt14 42200

Description: A is a primitive permutation that moves the I-th element to the end and C is its inverse that moves the last element back to the I-th position. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt14.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt14.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt14.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt14.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt14.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt14	⊢ (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡𝐴 = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt14.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt14.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt1 42187	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt14.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt2 42188	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
8	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
10	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
12	8, 9, 10, 4, 6, 11	metakunt9 42195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐴‘𝑎)) = 𝑎)
13	12	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝑀)(𝐶‘(𝐴‘𝑎)) = 𝑎)
14	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
16	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑏 ∈ (1...𝑀))
18	14, 15, 16, 4, 6, 17	metakunt13 42199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴‘(𝐶‘𝑏)) = 𝑏)
19	18	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝑀)(𝐴‘(𝐶‘𝑏)) = 𝑏)
20	5, 7, 13, 19	2fvidf1od 7318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
21	5, 7, 13, 19	2fvidinvd 7319	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐴 = 𝐶)
22	20, 21	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  metakunt34  42220