Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt14 39354
 Description: A is a primitive permutation that moves the I-th element to the end and C is its inverse that moves the last element back to the I-th position. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt14.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt14.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt14.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt14.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt14.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
Assertion
Ref Expression
metakunt14 (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ 𝐴 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt14
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt14.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt14.2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt14.3 . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt14.4 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
51, 2, 3, 4metakunt1 39341 . . 3 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6 metakunt14.5 . . . 4 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
71, 2, 3, 6metakunt2 39342 . . 3 (𝜑𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
81adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
92adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
103adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼𝑀)
11 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
128, 9, 10, 4, 6, 11metakunt9 39349 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐴𝑎)) = 𝑎)
1312ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝑀)(𝐶‘(𝐴𝑎)) = 𝑎)
141adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
152adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
163adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼𝑀)
17 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑏 ∈ (1...𝑀))
1814, 15, 16, 4, 6, 17metakunt13 39353 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴‘(𝐶𝑏)) = 𝑏)
1918ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝑀)(𝐴‘(𝐶𝑏)) = 𝑏)
205, 7, 13, 192fvidf1od 7036 . 2 (𝜑𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
215, 7, 13, 192fvidinvd 7037 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
2220, 21jca 515 1 (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ 𝐴 = 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator