Theorem metakunt14 41664

Description: A is a primitive permutation that moves the I-th element to the end and C is its inverse that moves the last element back to the I-th position. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt14.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt14.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt14.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt14.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt14.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt14	⊢ (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡𝐴 = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt14.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt14.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5	1, 2, 3, 4	metakunt1 41651	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6		metakunt14.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
7	1, 2, 3, 6	metakunt2 41652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
8	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
10	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → 𝑎 ∈ (1...𝑀))
12	8, 9, 10, 4, 6, 11	metakunt9 41659	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘(𝐴‘𝑎)) = 𝑎)
13	12	ralrimiva 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝑀)(𝐶‘(𝐴‘𝑎)) = 𝑎)
14	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
16	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → 𝑏 ∈ (1...𝑀))
18	14, 15, 16, 4, 6, 17	metakunt13 41663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴‘(𝐶‘𝑏)) = 𝑏)
19	18	ralrimiva 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝑀)(𝐴‘(𝐶‘𝑏)) = 𝑏)
20	5, 7, 13, 19	2fvidf1od 7301	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
21	5, 7, 13, 19	2fvidinvd 7302	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐴 = 𝐶)
22	20, 21	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   + caddc 11135   < clt 11272   ≤ cle 11273   − cmin 11468  ℕcn 12236  ...cfz 13510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511

This theorem is referenced by:  metakunt34  41684