Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt11 41722
Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt11.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt11.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt11.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt11.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt11.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt11.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt11
StepHypRef Expression
1 metakunt11.4 . . 3 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 eqeq1 2729 . . . . 5 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) = 𝐼))
4 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) < 𝐼))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶𝑋) → 𝑥 = (𝐶𝑋))
6 oveq1 7422 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐶𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶𝑋) − 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4552 . . . . 5 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
83, 7ifbieq2d 4550 . . . 4 (𝑥 = (𝐶𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
98adantl 480 . . 3 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
10 metakunt11.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
12 eqeq1 2729 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
13 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
14 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
15 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
1613, 14, 15ifbieq12d 4552 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
1712, 16ifbieq2d 4550 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
1817adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
19 metakunt11.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
20 elfznn 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2221nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
24 metakunt11.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2524nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
27 metakunt11.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2827nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
30 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
31 metakunt11.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼𝑀)
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
3323, 26, 29, 30, 32ltletrd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
3423, 33ltned 11378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝑀)
35 df-ne 2931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
37 iffalse 4533 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
4039adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
4138, 40eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
4241adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
4318, 42eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
4419adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
4511, 43, 44, 44fvmptd 7006 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) = 𝑋)
46 eqeq1 2729 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋) = 𝑋 → ((𝐶𝑋) = 𝐼𝑋 = 𝐼))
4746ifbid 4547 . . . . . 6 ((𝐶𝑋) = 𝑋 → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
4845, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))))
4923, 30ltned 11378 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝐼)
5049neneqd 2935 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
51 iffalse 4533 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
5250, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
5345eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐶𝑋))
54 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐶𝑋) → (𝑋 < 𝐼 ↔ (𝐶𝑋) < 𝐼))
55 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐶𝑋) → 𝑋 = (𝐶𝑋))
56 oveq1 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐶𝑋) → (𝑋 − 1) = ((𝐶𝑋) − 1))
5754, 55, 56ifbieq12d 4552 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (𝐶𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)))
5958eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
6030iftrued 4532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
6159, 60eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1)) = 𝑋)
6252, 61eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6348, 62eqtrd 2765 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
6463adantr 479 . . 3 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if((𝐶𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶𝑋) < 𝐼, (𝐶𝑋), ((𝐶𝑋) − 1))) = 𝑋)
659, 64eqtrd 2765 . 2 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
6627, 24, 31, 10metakunt2 41713 . . . 4 (𝜑𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6766adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6867, 44ffvelcdmd 7089 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶𝑋) ∈ (1...𝑀))
692, 65, 68, 44fvmptd 7006 1 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cmpt 5226  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276  cle 11277  cmin 11472  cn 12240  ...cfz 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515
This theorem is referenced by:  metakunt13  41724
  Copyright terms: Public domain W3C validator