Theorem metakunt10 39641

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt10.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt10.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt10.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt10.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt10.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt10.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) = 𝐼))
4		breq1 5028	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → 𝑥 = (𝐶‘𝑋))
6		oveq1 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶‘𝑋) − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
9	8	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
10		fveq2 6651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 𝑀 → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
11	10	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
12		metakunt10.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
14		iftrue 4419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
15	14	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
16		1zzd 12037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		metakunt10.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17	nnge1d 11707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
20	17	nnred 11674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	leidd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
22	16, 18, 18, 19, 21	elfzd 12932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
23		metakunt10.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
24	13, 15, 22, 23	fvmptd 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
25	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
26	11, 25	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = 𝐼)
27		iftrue 4419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶‘𝑋) = 𝐼 → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
30	29	eqcomd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 = 𝑋)
31	28, 30	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
32	31	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
33	9, 32	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
34		metakunt10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
35	17, 23, 34, 12	metakunt2 39633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37		metakunt10.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
39	36, 38	ffvelrnd 6836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
40	2, 33, 39, 38	fvmptd 6759	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ifcif 4413   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  ℕcn 11659  ...cfz 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925

This theorem is referenced by:  metakunt13  39644