Theorem metakunt10 39808

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt10.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt10.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt10.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt10.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt10.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt10.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) = 𝐼))
4		breq1 5046	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → 𝑥 = (𝐶‘𝑋))
6		oveq1 7209	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶‘𝑋) − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4457	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
9	8	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
10		fveq2 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 𝑀 → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
11	10	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
12		metakunt10.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
14		iftrue 4435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
15	14	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
16		1zzd 12191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		metakunt10.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17	nnge1d 11861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
20	17	nnred 11828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	leidd 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
22	16, 18, 18, 19, 21	elfzd 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
23		metakunt10.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
24	13, 15, 22, 23	fvmptd 6814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
26	11, 25	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = 𝐼)
27		iftrue 4435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶‘𝑋) = 𝐼 → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
29		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
30	29	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 = 𝑋)
31	28, 30	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
32	31	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
33	9, 32	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
34		metakunt10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
35	17, 23, 34, 12	metakunt2 39800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37		metakunt10.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	37	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
39	36, 38	ffvelrnd 6894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
40	2, 33, 39, 38	fvmptd 6814	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ifcif 4429   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045  ℕcn 11813  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  metakunt13  39811