Theorem metakunt10 40799

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt10.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt10.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt10.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt10.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt10.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt10.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) = 𝐼))
4		breq1 5144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → 𝑥 = (𝐶‘𝑋))
6		oveq1 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶‘𝑋) − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4548	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
10		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 𝑀 → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = (𝐶‘𝑀))
12		metakunt10.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
14		iftrue 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
16		1zzd 12575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		metakunt10.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17	nnge1d 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
20	17	nnred 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	leidd 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
22	16, 18, 18, 19, 21	elfzd 13474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
23		metakunt10.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
24	13, 15, 22, 23	fvmptd 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
26	11, 25	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) = 𝐼)
27		iftrue 4528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶‘𝑋) = 𝐼 → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑀)
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
30	29	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 = 𝑋)
31	28, 30	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
32	31	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
33	9, 32	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
34		metakunt10.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
35	17, 23, 34, 12	metakunt2 40791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37		metakunt10.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
39	36, 38	ffvelcdmd 7072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐶‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
40	2, 33, 39, 38	fvmptd 6991	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4522   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  1c1 11093   + caddc 11095   < clt 11230   ≤ cle 11231   − cmin 11426  ℕcn 12194  ...cfz 13466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467

This theorem is referenced by:  metakunt13  40802