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Theorem ftalem1 26566
Description: Lemma for fta 26573: "growth lemma". There exists some π‘Ÿ such that 𝐹 is arbitrarily close in proportion to its dominant term. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem1.5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ftalem1.6 𝑇 = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝐸)
Assertion
Ref Expression
ftalem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝐴   𝐸,π‘Ÿ   π‘˜,𝑁,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐸(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem ftalem1
StepHypRef Expression
1 ftalem1.6 . . . 4 𝑇 = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝐸)
2 fzfid 13934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
3 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
4 ftalem.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
54coef3 25737 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
7 elfznn0 13590 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
96, 7, 8syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
109abscld 15379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
112, 10fsumrecl 15676 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
12 ftalem1.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1311, 12rerpdivcld 13043 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝐸) ∈ ℝ)
141, 13eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
15 1re 11210 . . 3 1 ∈ ℝ
16 ifcl 4572 . . 3 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) ∈ ℝ)
18 fzfid 13934 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
196adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2019, 8sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
21 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
22 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2420, 23mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
257, 24sylan2 593 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2618, 25fsumcl 15675 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
27 ftalem.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2827nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3019, 29ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ β„‚)
3121, 29expcld 14107 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
3230, 31mulcld 11230 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)) ∈ β„‚)
333adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
34 ftalem.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
354, 34coeid2 25744 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
3633, 21, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
37 nn0uz 12860 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3829, 37eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
39 elfznn0 13590 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4039, 24sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
41 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘))
42 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘₯↑𝑁))
4341, 42oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))
4438, 40, 43fsumm1 15693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) + ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁))))
4536, 44eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) + ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁))))
4626, 32, 45mvrraddd 11622 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
4746fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
4826abscld 15379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
4925abscld 15379 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
5018, 49fsumrecl 15676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
5112adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
5251rpred 13012 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5321abscld 15379 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5453, 29reexpcld 14124 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ ℝ)
5552, 54remulcld 11240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ℝ)
5618, 25fsumabs 15743 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
5711adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5827adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
59 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6153, 60reexpcld 14124 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6257, 61remulcld 11240 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
6310adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6461adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6563, 64remulcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
6620, 23absmuld 15397 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜))))
677, 66sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜))))
687, 23sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6968abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
707, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7170absge0d 15387 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)))
72 absexp 15247 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘₯)β†‘π‘˜))
7321, 7, 72syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘₯)β†‘π‘˜))
7453adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7515a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
7617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) ∈ ℝ)
77 max1 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
7815, 14, 77sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
80 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))
8175, 76, 53, 79, 80lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 1 < (absβ€˜π‘₯))
8275, 53, 81ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π‘₯))
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π‘₯))
84 elfzuz3 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
8674, 83, 85leexp2ad 14213 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)β†‘π‘˜) ≀ ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
8773, 86eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜)) ≀ ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
8869, 64, 63, 71, 87lemul2ad 12150 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘₯β†‘π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
8967, 88eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9018, 49, 65, 89fsumle 15741 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9161recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9263recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
9318, 91, 92fsummulc1 15727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9490, 93breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
96 max2 13162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
9715, 14, 96sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ≀ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1))
9995, 76, 53, 98, 80lelttrd 11368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 < (absβ€˜π‘₯))
1001, 99eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝐸) < (absβ€˜π‘₯))
10157, 53, 51ltdivmuld 13063 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝐸) < (absβ€˜π‘₯) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) < (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯))))
102100, 101mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) < (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)))
10352, 53remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10460nn0zd 12580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
105 0red 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ∈ ℝ)
106 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 0 < 1)
108105, 75, 53, 107, 81lttrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 0 < (absβ€˜π‘₯))
109 expgt0 14057 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < (absβ€˜π‘₯)) β†’ 0 < ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
11053, 104, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 0 < ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
111 ltmul1 12060 . . . . . . . . . 10 ((Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) < (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) ↔ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) < ((𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
11257, 103, 61, 110, 111syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) < (𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) ↔ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) < ((𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
113102, 112mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) < ((𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
11453recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
115 expm1t 14052 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (absβ€˜π‘₯)))
116114, 58, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (absβ€˜π‘₯)))
11791, 114mulcomd 11231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (absβ€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘₯) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
118116, 117eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁) = ((absβ€˜π‘₯) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
119118oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
12052recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
121120, 114, 91mulassd 11233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
122119, 121eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = ((𝐸 Β· (absβ€˜π‘₯)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))))
123113, 122breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· ((absβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
12450, 62, 55, 94, 123lelttrd 11368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
12548, 50, 55, 56, 124lelttrd 11368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
12647, 125eqbrtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
127126expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁))))
128127ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁))))
129 breq1 5150 . . 3 (π‘Ÿ = if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) β†’ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) ↔ if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯)))
130129rspceaimv 3616 . 2 ((if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (if(1 ≀ 𝑇, 𝑇, 1) < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁))))
13117, 128, 130syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ ((π΄β€˜π‘) Β· (π‘₯↑𝑁)))) < (𝐸 Β· ((absβ€˜π‘₯)↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4527   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  abscabs 15177  Ξ£csu 15628  Polycply 25689  coeffccoe 25691  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
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