2sqblem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqblem 25689

Description: Lemma for 2sqb 25690. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqb.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6	⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqblem	⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2	1	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		nprmdvds1 15879	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5		prmz 15848	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		1z 11861	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		dvdsnegb 15460	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
10	4, 9	mtbid 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11		2sqb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
12	11	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13		2sqb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
14	12, 13	zmulcld 11942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15		zsqcl 13344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17		dvdsmul1 15464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
18	6, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
19	11	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
20	19, 13	zmulcld 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21		zsqcl 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23		peano2zm 11874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26		zsqcl 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcomd 10689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
31	27	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32		ax-1cn 10441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
34	22	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ppncand 10885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36		zsqcl 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39		zsqcl 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
40	19, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
42	16	zcnd 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddird 10512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
45	44	oveq1d 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
46	12	zcnd 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
48	46, 47	sqmuld 13372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
49	19	zcnd 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
50	49, 47	sqmuld 13372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
51	48, 50	oveq12d 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
53	30, 35, 52	3eqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
54	18, 53	breqtrrd 4990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		dvdsmul1 15464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
57	6, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
58	6, 55	zmulcld 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59		dvdsnegb 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
60	6, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
61	57, 60	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
62	20	zcnd 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 10793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
64	32, 62, 63	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
65	58	zcnd 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
66	19	zred 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
67		absresq 14496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
69	66	resqcld 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70		prmnn 15847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	nnred 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
73	72	resqcld 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74		zsqcl2 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
75	12, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
76		nn0addge2 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ₀) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
77	69, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
78	77, 44	breqtrrd 4990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
79	6	zcnd 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
80	79	exp1d 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82		2z 11863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84		prmuz2 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
85	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
86		eluz2gt1 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑃)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
88		1lt2 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
90		ltexp2a 13380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
91	72, 81, 83, 87, 89, 90	syl32anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 4986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃↑2))
93	69, 72, 73, 78, 92	lelttrd 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
94	68, 93	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
95	49	abscld 14630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
96	49	absge0d 14638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
97	71	nnnn0d 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
98	97	nn0ge0d 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
99	95, 72, 96, 98	lt2sqd 13469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
100	94, 99	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
101	6	zred 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
102	95, 101	ltnled 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103	100, 102	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104		sqnprm 15875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
105	12, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
106	49	abs00ad 14484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
107	44, 2	eqeltrrd 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108		sq0i 13406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109	108	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110	109	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111	107, 110	syl5ibcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
112	38	addid1d 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113	112	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114	111, 113	sylibd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115	106, 114	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116	105, 115	mtod 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117		nn0abscl 14506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
118	19, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
119		elnn0 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ₀ ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120	118, 119	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121	120	ord 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122	116, 121	mt3d 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123		dvdsle 15493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
124	6, 122, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125	103, 124	mtod 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126		dvdsabsb 15462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
127	6, 19, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128	125, 127	mtbird 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑌)
129		coprm 15884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
130	2, 19, 129	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131	128, 130	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133	131, 132	eqtr3d 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134	65, 62, 133	mvrraddd 10900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135	134	negeqd 10727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
136	64, 135	eqtr3d 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
137	61, 136	breqtrrd 4990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
138	20	peano2zd 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139		peano2zm 11874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
140	20, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141		dvdsmultr2 15482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
142	6, 138, 140, 141	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143	137, 142	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144		sq1 13408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
145	144	oveq2i 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146		subsq 13422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147	62, 32, 146	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148	145, 147	syl5eqr 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149	143, 148	breqtrrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150		dvdsadd2b 15489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
151	6, 28, 24, 149, 150	syl112anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
152	54, 151	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153		subneg 10783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
154	31, 32, 153	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155	152, 154	breqtrrd 4990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156		oveq1 7023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157	156	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158	157	breq2d 4974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159	158	rspcev 3559	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
160	14, 155, 159	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161		neg1z 11867	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
162		eldifsn 4626	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
163	1, 162	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164		lgsqr 25609	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165	161, 163, 164	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
166	10, 160, 165	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 /_L 𝑃) = 1)
167		m1lgs 25646	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168	163, 167	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169	166, 168	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 842 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 ≠ wne 2984 ∃wrex 3106 ∖ cdif 3856 {csn 4472 class class class wbr 4962 ‘cfv 6225 (class class class)co 7016 ℂcc 10381 ℝcr 10382 0cc0 10383 1c1 10384 + caddc 10386 · cmul 10388 < clt 10521 ≤ cle 10522 − cmin 10717 -cneg 10718 ℕcn 11486 2c2 11540 4c4 11542 ℕ₀cn0 11745 ℤcz 11829 ℤ_≥cuz 12093 mod cmo 13087 ↑cexp 13279 abscabs 14427 ∥ cdvds 15440 gcd cgcd 15676 ℙcprime 15844 /_L clgs 25552

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5081 ax-sep 5094 ax-nul 5101 ax-pow 5157 ax-pr 5221 ax-un 7319 ax-cnex 10439 ax-resscn 10440 ax-1cn 10441 ax-icn 10442 ax-addcl 10443 ax-addrcl 10444 ax-mulcl 10445 ax-mulrcl 10446 ax-mulcom 10447 ax-addass 10448 ax-mulass 10449 ax-distr 10450 ax-i2m1 10451 ax-1ne0 10452 ax-1rid 10453 ax-rnegex 10454 ax-rrecex 10455 ax-cnre 10456 ax-pre-lttri 10457 ax-pre-lttrn 10458 ax-pre-ltadd 10459 ax-pre-mulgt0 10460 ax-pre-sup 10461 ax-addf 10462 ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rmo 3113 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3707 df-csb 3812 df-dif 3862 df-un 3864 df-in 3866 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4212 df-if 4382 df-pw 4455 df-sn 4473 df-pr 4475 df-tp 4477 df-op 4479 df-uni 4746 df-int 4783 df-iun 4827 df-iin 4828 df-br 4963 df-opab 5025 df-mpt 5042 df-tr 5064 df-id 5348 df-eprel 5353 df-po 5362 df-so 5363 df-fr 5402 df-se 5403 df-we 5404 df-xp 5449 df-rel 5450 df-cnv 5451 df-co 5452 df-dm 5453 df-rn 5454 df-res 5455 df-ima 5456 df-pred 6023 df-ord 6069 df-on 6070 df-lim 6071 df-suc 6072 df-iota 6189 df-fun 6227 df-fn 6228 df-f 6229 df-f1 6230 df-fo 6231 df-f1o 6232 df-fv 6233 df-isom 6234 df-riota 6977 df-ov 7019 df-oprab 7020 df-mpo 7021 df-of 7267 df-ofr 7268 df-om 7437 df-1st 7545 df-2nd 7546 df-supp 7682 df-tpos 7743 df-wrecs 7798 df-recs 7860 df-rdg 7898 df-1o 7953 df-2o 7954 df-oadd 7957 df-er 8139 df-ec 8141 df-qs 8145 df-map 8258 df-pm 8259 df-ixp 8311 df-en 8358 df-dom 8359 df-sdom 8360 df-fin 8361 df-fsupp 8680 df-sup 8752 df-inf 8753 df-oi 8820 df-dju 9176 df-card 9214 df-pnf 10523 df-mnf 10524 df-xr 10525 df-ltxr 10526 df-le 10527 df-sub 10719 df-neg 10720 df-div 11146 df-nn 11487 df-2 11548 df-3 11549 df-4 11550 df-5 11551 df-6 11552 df-7 11553 df-8 11554 df-9 11555 df-n0 11746 df-xnn0 11816 df-z 11830 df-dec 11948 df-uz 12094 df-q 12198 df-rp 12240 df-fz 12743 df-fzo 12884 df-fl 13012 df-mod 13088 df-seq 13220 df-exp 13280 df-hash 13541 df-cj 14292 df-re 14293 df-im 14294 df-sqrt 14428 df-abs 14429 df-dvds 15441 df-gcd 15677 df-prm 15845 df-phi 15932 df-pc 16003 df-struct 16314 df-ndx 16315 df-slot 16316 df-base 16318 df-sets 16319 df-ress 16320 df-plusg 16407 df-mulr 16408 df-starv 16409 df-sca 16410 df-vsca 16411 df-ip 16412 df-tset 16413 df-ple 16414 df-ds 16416 df-unif 16417 df-hom 16418 df-cco 16419 df-0g 16544 df-gsum 16545 df-prds 16550 df-pws 16552 df-imas 16610 df-qus 16611 df-mre 16686 df-mrc 16687 df-acs 16689 df-mgm 17681 df-sgrp 17723 df-mnd 17734 df-mhm 17774 df-submnd 17775 df-grp 17864 df-minusg 17865 df-sbg 17866 df-mulg 17982 df-subg 18030 df-nsg 18031 df-eqg 18032 df-ghm 18097 df-cntz 18188 df-cmn 18635 df-abl 18636 df-mgp 18930 df-ur 18942 df-srg 18946 df-ring 18989 df-cring 18990 df-oppr 19063 df-dvdsr 19081 df-unit 19082 df-invr 19112 df-dvr 19123 df-rnghom 19157 df-drng 19194 df-field 19195 df-subrg 19223 df-lmod 19326 df-lss 19394 df-lsp 19434 df-sra 19634 df-rgmod 19635 df-lidl 19636 df-rsp 19637 df-2idl 19694 df-nzr 19720 df-rlreg 19745 df-domn 19746 df-idom 19747 df-assa 19774 df-asp 19775 df-ascl 19776 df-psr 19824 df-mvr 19825 df-mpl 19826 df-opsr 19828 df-evls 19973 df-evl 19974 df-psr1 20031 df-vr1 20032 df-ply1 20033 df-coe1 20034 df-evl1 20162 df-cnfld 20228 df-zring 20300 df-zrh 20333 df-zn 20336 df-mdeg 24332 df-deg1 24333 df-mon1 24407 df-uc1p 24408 df-q1p 24409 df-r1p 24410 df-lgs 25553

This theorem is referenced by: 2sqb 25690

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