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Theorem 2sqblem 26685
Description: Lemma for 2sqb 26686. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
2sqblem (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
21simpld 496 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 nprmdvds1 16509 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5 prmz 16478 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 1z 12456 . . . . 5 1 ∈ ℤ
8 dvdsnegb 16083 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
96, 7, 8sylancl 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
104, 9mtbid 324 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11 2sqb.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
1211simpld 496 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
13 2sqb.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
1412, 13zmulcld 12538 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15 zsqcl 13954 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17 dvdsmul1 16087 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
186, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
1911simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℤ)
2019, 13zmulcld 12538 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21 zsqcl 13954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23 peano2zm 12469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12533 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26 zsqcl 13954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2714, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
2928zcnd 12533 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
3025, 29addcomd 11283 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
3127zcnd 12533 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3422zcnd 12533 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
3531, 33, 34ppncand 11478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36 zsqcl 13954 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3837zcnd 12533 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39 zsqcl 13954 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4019, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4140zcnd 12533 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
4216zcnd 12533 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4338, 41, 42adddird 11106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
4544oveq1d 7357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
4612zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4846, 47sqmuld 13982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
4919zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
5049, 47sqmuld 13982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
5148, 50oveq12d 7360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
5243, 45, 513eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5330, 35, 523eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5418, 53breqtrrd 5125 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
56 dvdsmul1 16087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
576, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
586, 55zmulcld 12538 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59 dvdsnegb 16083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
606, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
6157, 60mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
6220zcnd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63 negsubdi2 11386 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6432, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6558zcnd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
6619zred 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
67 absresq 15114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6966resqcld 14071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70 prmnn 16477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
712, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7271nnred 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
7372resqcld 14071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74 zsqcl2 13962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
7512, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
76 nn0addge2 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ0) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7769, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7877, 44breqtrrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
796zcnd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8079exp1d 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82 2z 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84 prmuz2 16499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
852, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
86 eluz2gt1 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑃)
88 1lt2 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 2)
90 ltexp2a 13990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9172, 81, 83, 87, 89, 90syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9280, 91eqbrtrrd 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 < (𝑃↑2))
9369, 72, 73, 78, 92lelttrd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
9468, 93eqbrtrd 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
9549abscld 15248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
9649absge0d 15256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
9771nnnn0d 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
9897nn0ge0d 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
9995, 72, 96, 98lt2sqd 14079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
10094, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
1016zred 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
10295, 101ltnled 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103100, 102mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104 sqnprm 16505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10512, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10649abs00ad 15102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
10744, 2eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108 sq0i 14016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109108oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110109eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111107, 110syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
11238addid1d 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113112eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114111, 113sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115106, 114sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116105, 115mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117 nn0abscl 15124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
11819, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
119 elnn0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘𝑌) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121120ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122116, 121mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123 dvdsle 16119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
1246, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125103, 124mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126 dvdsabsb 16085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
1276, 19, 126syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128125, 127mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑌)
129 coprm 16514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
1302, 19, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133131, 132eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
13465, 62, 133mvrraddd 11493 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135134negeqd 11321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
13664, 135eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
13761, 136breqtrrd 5125 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
13820peano2zd 12535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139 peano2zm 12469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
14020, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141 dvdsmultr2 16107 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
1426, 138, 140, 141syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143137, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144 sq1 14018 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
145144oveq2i 7353 . . . . . . . . 9 (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146 subsq 14032 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
14762, 32, 146sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148145, 147eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149143, 148breqtrrd 5125 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150 dvdsadd2b 16115 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
1516, 28, 24, 149, 150syl112anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
15254, 151mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153 subneg 11376 . . . . . 6 ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
15431, 32, 153sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155152, 154breqtrrd 5125 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156 oveq1 7349 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157156oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158157breq2d 5109 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159158rspcev 3574 . . . 4 (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
16014, 155, 159syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161 neg1z 12462 . . . 4 -1 ∈ ℤ
162 eldifsn 4739 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1631, 162sylibr 233 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164 lgsqr 26605 . . . 4 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165161, 163, 164sylancr 588 . . 3 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
16610, 160, 165mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (-1 /L 𝑃) = 1)
167 m1lgs 26642 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168163, 167syl 17 . 2 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169166, 168mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3899  {csn 4578   class class class wbr 5097  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311  -cneg 11312  cn 12079  2c2 12134  4c4 12136  0cn0 12339  cz 12425  cuz 12688   mod cmo 13695  cexp 13888  abscabs 15045  cdvds 16063   gcd cgcd 16301  cprime 16474   /L clgs 26548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-ec 8576  df-qs 8580  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302  df-prm 16475  df-phi 16565  df-pc 16636  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-imas 17317  df-qus 17318  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-nsg 18850  df-eqg 18851  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-field 20096  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-lidl 20542  df-rsp 20543  df-2idl 20609  df-nzr 20635  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-idom 20662  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-zn 20814  df-assa 21166  df-asp 21167  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-evls 21388  df-evl 21389  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-evl1 21588  df-mdeg 25323  df-deg1 25324  df-mon1 25401  df-uc1p 25402  df-q1p 25403  df-r1p 25404  df-lgs 26549
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