2sqblem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqblem 27815

Description: Lemma for 2sqb 27816. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqb.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6	⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqblem	⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		nprmdvds1 16926	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5		prmz 16894	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		1z 12766	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		dvdsnegb 16487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
10	4, 9	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11		2sqb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
12	11	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13		2sqb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
14	12, 13	zmulcld 12849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15		zsqcl 14312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17		dvdsmul1 16491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
18	6, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
19	11	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
20	19, 13	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23		peano2zm 12779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
27	14, 26	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcomd 11551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
31	27	zcnd 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
34	22	zcnd 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ppncand 11748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
40	19, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
42	16	zcnd 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddird 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
45	44	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
46	12	zcnd 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
48	46, 47	sqmuld 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
49	19	zcnd 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
50	49, 47	sqmuld 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
51	48, 50	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
53	30, 35, 52	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
54	18, 53	breqtrrd 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		dvdsmul1 16491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
57	6, 55, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
58	6, 55	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59		dvdsnegb 16487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
60	6, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
61	57, 60	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
62	20	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 11656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
64	32, 62, 63	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
65	58	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
66	19	zred 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
67		absresq 15512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
69	66	resqcld 14308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70		prmnn 16893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
71	2, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
73	72	resqcld 14308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74		zsqcl2 14321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
75	12, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
76		nn0addge2 12693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ₀) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
77	69, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
78	77, 44	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
79	6	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
80	79	exp1d 14324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82		2z 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84		prmuz2 16915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
85	2, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
86		eluz2gt1 13087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑃)
87	85, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
88		1lt2 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
90		ltexp2a 14349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
91	72, 81, 83, 87, 89, 90	syl32anc 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃↑2))
93	69, 72, 73, 78, 92	lelttrd 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
94	68, 93	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
95	49	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
96	49	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
97	71	nnnn0d 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
98	97	nn0ge0d 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
99	95, 72, 96, 98	lt2sqd 14441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
100	94, 99	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
101	6	zred 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
102	95, 101	ltnled 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103	100, 102	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104		sqnprm 16922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
105	12, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
106	49	abs00ad 15500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
107	44, 2	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108		sq0i 14376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109	108	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110	109	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111	107, 110	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
112	38	addridd 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113	112	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114	111, 113	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115	106, 114	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116	105, 115	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117		nn0abscl 15522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
118	19, 117	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
119		elnn0 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ₀ ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120	118, 119	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121	120	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122	116, 121	mt3d 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123		dvdsle 16524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
124	6, 122, 123	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125	103, 124	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126		dvdsabsb 16489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
127	6, 19, 126	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128	125, 127	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑌)
129		coprm 16931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
130	2, 19, 129	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131	128, 130	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133	131, 132	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134	65, 62, 133	mvrraddd 11766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135	134	negeqd 11590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
136	64, 135	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
137	61, 136	breqtrrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
138	20	peano2zd 12846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139		peano2zm 12779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
140	20, 139	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141		dvdsmultr2 16512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
142	6, 138, 140, 141	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143	137, 142	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144		sq1 14378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
145	144	oveq2i 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146		subsq 14394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147	62, 32, 146	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148	145, 147	eqtr3id 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149	143, 148	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150		dvdsadd2b 16520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
151	6, 28, 24, 149, 150	syl112anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
152	54, 151	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153		subneg 11646	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
154	31, 32, 153	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155	152, 154	breqtrrd 5139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157	156	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158	157	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159	158	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
160	14, 155, 159	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161		neg1z 12772	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
162		eldifsn 4750	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
163	1, 162	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164		lgsqr 27735	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (( -1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165	161, 163, 164	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
166	10, 160, 165	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -1 /_L 𝑃) = 1)
167		m1lgs 27772	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (( -1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168	163, 167	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169	166, 168	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∃wrex 3090 ∖ cdif 4048 {csn 4588 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 -cneg 11581 ℕcn 12375 2c2 12437 4c4 12439 ℕ₀cn0 12646 ℤcz 12733 ℤ_≥cuz 13005 mod cmo 14049 ↑cexp 14244 abscabs 15444 ∥ cdvds 16466 gcd cgcd 16708 ℙcprime 16890 /_L clgs 27678

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317 ax-addf 11318 ax-mulf 11319

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-of 7725 df-ofr 7726 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-supp 8215 df-tpos 8281 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-oadd 8518 df-er 8755 df-ec 8757 df-qs 8761 df-map 8887 df-pm 8888 df-ixp 8964 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-fsupp 9392 df-sup 9471 df-inf 9472 df-oi 9541 df-dju 10019 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-5 12448 df-6 12449 df-7 12450 df-8 12451 df-9 12452 df-n0 12647 df-xnn0 12720 df-z 12734 df-dec 12855 df-uz 13006 df-q 13116 df-rp 13161 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245 df-hash 14516 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-dvds 16467 df-gcd 16709 df-prm 16891 df-phi 16987 df-pc 17059 df-struct 17369 df-sets 17386 df-slot 17404 df-ndx 17416 df-base 17432 df-ress 17453 df-plusg 17486 df-mulr 17487 df-starv 17488 df-sca 17489 df-vsca 17490 df-ip 17491 df-tset 17492 df-ple 17493 df-ds 17495 df-unif 17496 df-hom 17497 df-cco 17498 df-euf 17499 df-0g 17662 df-gsum 17663 df-prds 17668 df-pws 17670 df-imas 17730 df-qus 17731 df-mre 17806 df-mrc 17807 df-acs 17809 df-mgm 18866 df-sgrp 18958 df-mnd 18974 df-mhm 19028 df-submnd 19029 df-grp 19197 df-minusg 19198 df-sbg 19199 df-mulg 19328 df-subg 19383 df-nsg 19384 df-eqg 19385 df-ghm 19478 df-cntz 19582 df-cmn 20047 df-abl 20048 df-mgp 20412 df-rng 20426 df-ur 20459 df-srg 20464 df-ring 20512 df-cring 20513 df-oppr 20618 df-dvdsr 20638 df-unit 20639 df-invr 20669 df-dvr 20682 df-rhm 20753 df-nzr 20814 df-subrng 20849 df-subrg 20873 df-rlreg 20997 df-domn 20998 df-idom 20999 df-drng 21033 df-field 21034 df-lmod 21188 df-lss 21258 df-lsp 21298 df-sra 21499 df-rgmod 21500 df-lidl 21537 df-rsp 21538 df-2idl 21594 df-cnfld 21730 df-zring 21807 df-zrh 21864 df-zn 21867 df-assa 22216 df-asp 22217 df-ascl 22218 df-psr 22272 df-mvr 22273 df-mpl 22274 df-opsr 22276 df-evls 22438 df-evl 22439 df-psr1 22553 df-vr1 22554 df-ply1 22555 df-coe1 22556 df-evl1 22689 df-mdeg 26428 df-deg1 26429 df-mon1 26504 df-uc1p 26505 df-q1p 26506 df-r1p 26507 df-lgs 27679

This theorem is used by: 2sqb 27816

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