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Theorem 2sqblem 26022
 Description: Lemma for 2sqb 26023. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
2sqblem (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
21simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 nprmdvds1 16042 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5 prmz 16011 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 1z 12002 . . . . 5 1 ∈ ℤ
8 dvdsnegb 15621 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
96, 7, 8sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
104, 9mtbid 327 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11 2sqb.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
1211simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
13 2sqb.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
1412, 13zmulcld 12083 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15 zsqcl 13492 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17 dvdsmul1 15625 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
186, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
1911simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℤ)
2019, 13zmulcld 12083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21 zsqcl 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23 peano2zm 12015 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26 zsqcl 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2714, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
2928zcnd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
3025, 29addcomd 10833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
3127zcnd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32 ax-1cn 10586 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3422zcnd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
3531, 33, 34ppncand 11028 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36 zsqcl 13492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3837zcnd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39 zsqcl 13492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4019, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4140zcnd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
4216zcnd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4338, 41, 42adddird 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
4544oveq1d 7150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
4612zcnd 12078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713zcnd 12078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4846, 47sqmuld 13520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
4919zcnd 12078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
5049, 47sqmuld 13520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
5148, 50oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
5243, 45, 513eqtr4rd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5330, 35, 523eqtrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5418, 53breqtrrd 5058 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
56 dvdsmul1 15625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
576, 55, 56syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
586, 55zmulcld 12083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59 dvdsnegb 15621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
606, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
6157, 60mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
6220zcnd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63 negsubdi2 10936 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6432, 62, 63sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6558zcnd 12078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
6619zred 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
67 absresq 14656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6966resqcld 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70 prmnn 16010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
712, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7271nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
7372resqcld 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74 zsqcl2 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
7512, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
76 nn0addge2 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ0) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7769, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7877, 44breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
796zcnd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8079exp1d 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82 2z 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84 prmuz2 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
852, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
86 eluz2gt1 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑃)
88 1lt2 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 2)
90 ltexp2a 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9172, 81, 83, 87, 89, 90syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9280, 91eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 < (𝑃↑2))
9369, 72, 73, 78, 92lelttrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
9468, 93eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
9549abscld 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
9649absge0d 14798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
9771nnnn0d 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
9897nn0ge0d 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
9995, 72, 96, 98lt2sqd 13617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
10094, 99mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
1016zred 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
10295, 101ltnled 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103100, 102mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104 sqnprm 16038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10512, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10649abs00ad 14644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
10744, 2eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108 sq0i 13554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109108oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110109eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111107, 110syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
11238addid1d 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113112eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114111, 113sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115106, 114sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116105, 115mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117 nn0abscl 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
11819, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
119 elnn0 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘𝑌) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120118, 119sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121120ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122116, 121mt3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123 dvdsle 15654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
1246, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125103, 124mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126 dvdsabsb 15623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
1276, 19, 126syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128125, 127mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑌)
129 coprm 16047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
1302, 19, 129syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131128, 130mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133131, 132eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
13465, 62, 133mvrraddd 11043 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135134negeqd 10871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
13664, 135eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
13761, 136breqtrrd 5058 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
13820peano2zd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139 peano2zm 12015 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
14020, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141 dvdsmultr2 15643 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
1426, 138, 140, 141syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143137, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144 sq1 13556 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
145144oveq2i 7146 . . . . . . . . 9 (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146 subsq 13570 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
14762, 32, 146sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148145, 147syl5eqr 2847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149143, 148breqtrrd 5058 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150 dvdsadd2b 15650 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
1516, 28, 24, 149, 150syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
15254, 151mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153 subneg 10926 . . . . . 6 ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
15431, 32, 153sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155152, 154breqtrrd 5058 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156 oveq1 7142 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157156oveq1d 7150 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158157breq2d 5042 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159158rspcev 3571 . . . 4 (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
16014, 155, 159syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161 neg1z 12008 . . . 4 -1 ∈ ℤ
162 eldifsn 4680 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1631, 162sylibr 237 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164 lgsqr 25942 . . . 4 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165161, 163, 164sylancr 590 . . 3 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
16610, 160, 165mpbir2and 712 . 2 (𝜑 → (-1 /L 𝑃) = 1)
167 m1lgs 25979 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168163, 167syl 17 . 2 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169166, 168mpbid 235 1 (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   · cmul 10533   < clt 10666   ≤ cle 10667   − cmin 10861  -cneg 10862  ℕcn 11627  2c2 11682  4c4 11684  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233   mod cmo 13234  ↑cexp 13427  abscabs 14587   ∥ cdvds 15601   gcd cgcd 15835  ℙcprime 16007   /L clgs 25885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-ofr 7391  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-phi 16095  df-pc 16166  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-nsg 18272  df-eqg 18273  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-2idl 20001  df-nzr 20027  df-rlreg 20052  df-domn 20053  df-idom 20054  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20201  df-zn 20204  df-assa 20546  df-asp 20547  df-ascl 20548  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-evls 20749  df-evl 20750  df-psr1 20816  df-vr1 20817  df-ply1 20818  df-coe1 20819  df-evl1 20947  df-mdeg 24663  df-deg1 24664  df-mon1 24738  df-uc1p 24739  df-q1p 24740  df-r1p 24741  df-lgs 25886 This theorem is referenced by:  2sqb  26023
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