2sqblem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqblem 27280

Description: Lemma for 2sqb 27281. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqb.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6	⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqblem	⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		nprmdvds1 16640	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5		prmz 16609	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		1z 12589	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		dvdsnegb 16214	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9	6, 7, 8	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
10	4, 9	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11		2sqb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
12	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13		2sqb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
14	12, 13	zmulcld 12669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15		zsqcl 14091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17		dvdsmul1 16218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
18	6, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
19	11	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
20	19, 13	zmulcld 12669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21		zsqcl 14091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23		peano2zm 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26		zsqcl 14091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcomd 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
31	27	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
34	22	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ppncand 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36		zsqcl 14091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39		zsqcl 14091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
40	19, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
42	16	zcnd 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddird 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
45	44	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
46	12	zcnd 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
48	46, 47	sqmuld 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
49	19	zcnd 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
50	49, 47	sqmuld 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
51	48, 50	oveq12d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
53	30, 35, 52	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
54	18, 53	breqtrrd 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		dvdsmul1 16218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
57	6, 55, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
58	6, 55	zmulcld 12669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59		dvdsnegb 16214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
60	6, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
61	57, 60	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
62	20	zcnd 12664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
64	32, 62, 63	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
65	58	zcnd 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
66	19	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
67		absresq 15246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
69	66	resqcld 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70		prmnn 16608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
73	72	resqcld 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74		zsqcl2 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
75	12, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
76		nn0addge2 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ₀) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
77	69, 75, 76	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
78	77, 44	breqtrrd 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
79	6	zcnd 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
80	79	exp1d 14103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82		2z 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84		prmuz2 16630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
85	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
86		eluz2gt1 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑃)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
88		1lt2 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
90		ltexp2a 14128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
91	72, 81, 83, 87, 89, 90	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃↑2))
93	69, 72, 73, 78, 92	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
94	68, 93	eqbrtrd 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
95	49	abscld 15380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
96	49	absge0d 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
97	71	nnnn0d 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
98	97	nn0ge0d 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
99	95, 72, 96, 98	lt2sqd 14216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
100	94, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
101	6	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
102	95, 101	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103	100, 102	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104		sqnprm 16636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
105	12, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
106	49	abs00ad 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
107	44, 2	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108		sq0i 14154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109	108	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110	109	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111	107, 110	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
112	38	addridd 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113	112	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114	111, 113	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115	106, 114	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116	105, 115	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117		nn0abscl 15256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
118	19, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
119		elnn0 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ₀ ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120	118, 119	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121	120	ord 861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122	116, 121	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123		dvdsle 16250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
124	6, 122, 123	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125	103, 124	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126		dvdsabsb 16216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
127	6, 19, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128	125, 127	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑌)
129		coprm 16645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
130	2, 19, 129	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131	128, 130	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133	131, 132	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134	65, 62, 133	mvrraddd 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135	134	negeqd 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
136	64, 135	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
137	61, 136	breqtrrd 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
138	20	peano2zd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139		peano2zm 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
140	20, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141		dvdsmultr2 16238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
142	6, 138, 140, 141	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143	137, 142	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144		sq1 14156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
145	144	oveq2i 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146		subsq 14171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147	62, 32, 146	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148	145, 147	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149	143, 148	breqtrrd 5166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150		dvdsadd2b 16246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
151	6, 28, 24, 149, 150	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
152	54, 151	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153		subneg 11506	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
154	31, 32, 153	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155	152, 154	breqtrrd 5166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157	156	oveq1d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158	157	breq2d 5150	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159	158	rspcev 3604	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
160	14, 155, 159	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161		neg1z 12595	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
162		eldifsn 4782	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
163	1, 162	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164		lgsqr 27200	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165	161, 163, 164	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
166	10, 160, 165	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 /_L 𝑃) = 1)
167		m1lgs 27237	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168	163, 167	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169	166, 168	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∃wrex 3062 ∖ cdif 3937 {csn 4620 class class class wbr 5138 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 -cneg 11442 ℕcn 12209 2c2 12264 4c4 12266 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ℤ_≥cuz 12819 mod cmo 13831 ↑cexp 14024 abscabs 15178 ∥ cdvds 16194 gcd cgcd 16432 ℙcprime 16605 /_L clgs 27143

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-iin 4990 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-of 7663 df-ofr 7664 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8141 df-tpos 8206 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-2o 8462 df-oadd 8465 df-er 8699 df-ec 8701 df-qs 8705 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-xnn0 12542 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-dvds 16195 df-gcd 16433 df-prm 16606 df-phi 16698 df-pc 16769 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-prds 17392 df-pws 17394 df-imas 17453 df-qus 17454 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-mhm 18703 df-submnd 18704 df-grp 18856 df-minusg 18857 df-sbg 18858 df-mulg 18986 df-subg 19040 df-nsg 19041 df-eqg 19042 df-ghm 19129 df-cntz 19223 df-cmn 19692 df-abl 19693 df-mgp 20030 df-rng 20048 df-ur 20077 df-srg 20082 df-ring 20130 df-cring 20131 df-oppr 20226 df-dvdsr 20249 df-unit 20250 df-invr 20280 df-dvr 20293 df-rhm 20364 df-nzr 20405 df-subrng 20436 df-subrg 20461 df-drng 20579 df-field 20580 df-lmod 20698 df-lss 20769 df-lsp 20809 df-sra 21011 df-rgmod 21012 df-lidl 21057 df-rsp 21058 df-2idl 21097 df-rlreg 21183 df-domn 21184 df-idom 21185 df-cnfld 21229 df-zring 21302 df-zrh 21358 df-zn 21361 df-assa 21716 df-asp 21717 df-ascl 21718 df-psr 21771 df-mvr 21772 df-mpl 21773 df-opsr 21775 df-evls 21945 df-evl 21946 df-psr1 22022 df-vr1 22023 df-ply1 22024 df-coe1 22025 df-evl1 22157 df-mdeg 25910 df-deg1 25911 df-mon1 25988 df-uc1p 25989 df-q1p 25990 df-r1p 25991 df-lgs 27144

This theorem is referenced by: 2sqb 27281

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