2sqblem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqblem 26934

Description: Lemma for 2sqb 26935. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqb.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6	⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqblem	⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2	1	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		nprmdvds1 16643	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5		prmz 16612	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		1z 12592	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		dvdsnegb 16217	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9	6, 7, 8	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
10	4, 9	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11		2sqb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
12	11	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13		2sqb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
14	12, 13	zmulcld 12672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15		zsqcl 14094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17		dvdsmul1 16221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
18	6, 16, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
19	11	simprd 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
20	19, 13	zmulcld 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23		peano2zm 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcomd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
31	27	zcnd 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
34	22	zcnd 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ppncand 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
40	19, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
42	16	zcnd 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddird 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
45	44	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
46	12	zcnd 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
48	46, 47	sqmuld 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
49	19	zcnd 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
50	49, 47	sqmuld 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
51	48, 50	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
53	30, 35, 52	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
54	18, 53	breqtrrd 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		dvdsmul1 16221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
57	6, 55, 56	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
58	6, 55	zmulcld 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59		dvdsnegb 16217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
60	6, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
61	57, 60	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
62	20	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 11519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
64	32, 62, 63	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
65	58	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
66	19	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
67		absresq 15249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
69	66	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70		prmnn 16611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
73	72	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74		zsqcl2 14103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
75	12, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
76		nn0addge2 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ₀) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
77	69, 75, 76	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
78	77, 44	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
79	6	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
80	79	exp1d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82		2z 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84		prmuz2 16633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
85	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
86		eluz2gt1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑃)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
88		1lt2 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
90		ltexp2a 14131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
91	72, 81, 83, 87, 89, 90	syl32anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃↑2))
93	69, 72, 73, 78, 92	lelttrd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
94	68, 93	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
95	49	abscld 15383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
96	49	absge0d 15391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
97	71	nnnn0d 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
98	97	nn0ge0d 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
99	95, 72, 96, 98	lt2sqd 14219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
100	94, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
101	6	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
102	95, 101	ltnled 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103	100, 102	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104		sqnprm 16639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
105	12, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
106	49	abs00ad 15237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
107	44, 2	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108		sq0i 14157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109	108	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110	109	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111	107, 110	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
112	38	addridd 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113	112	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114	111, 113	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115	106, 114	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116	105, 115	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117		nn0abscl 15259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
118	19, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
119		elnn0 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ₀ ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120	118, 119	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121	120	ord 863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122	116, 121	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123		dvdsle 16253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
124	6, 122, 123	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125	103, 124	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126		dvdsabsb 16219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
127	6, 19, 126	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128	125, 127	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑌)
129		coprm 16648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
130	2, 19, 129	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131	128, 130	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133	131, 132	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134	65, 62, 133	mvrraddd 11626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135	134	negeqd 11454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
136	64, 135	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
137	61, 136	breqtrrd 5177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
138	20	peano2zd 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139		peano2zm 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
140	20, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141		dvdsmultr2 16241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
142	6, 138, 140, 141	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143	137, 142	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144		sq1 14159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
145	144	oveq2i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146		subsq 14174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147	62, 32, 146	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148	145, 147	eqtr3id 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149	143, 148	breqtrrd 5177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150		dvdsadd2b 16249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
151	6, 28, 24, 149, 150	syl112anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
152	54, 151	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153		subneg 11509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
154	31, 32, 153	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155	152, 154	breqtrrd 5177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157	156	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158	157	breq2d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159	158	rspcev 3613	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
160	14, 155, 159	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161		neg1z 12598	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
162		eldifsn 4791	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
163	1, 162	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164		lgsqr 26854	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165	161, 163, 164	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
166	10, 160, 165	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 /_L 𝑃) = 1)
167		m1lgs 26891	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168	163, 167	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169	166, 168	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∨ wo 846 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∃wrex 3071 ∖ cdif 3946 {csn 4629 class class class wbr 5149 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 < clt 11248 ≤ cle 11249 − cmin 11444 -cneg 11445 ℕcn 12212 2c2 12267 4c4 12269 ℕ₀cn0 12472 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 mod cmo 13834 ↑cexp 14027 abscabs 15181 ∥ cdvds 16197 gcd cgcd 16435 ℙcprime 16608 /_L clgs 26797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 ax-addf 11189 ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7670 df-ofr 7671 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-tpos 8211 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-oadd 8470 df-er 8703 df-ec 8705 df-qs 8709 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-dju 9896 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-hash 14291 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-dvds 16198 df-gcd 16436 df-prm 16609 df-phi 16699 df-pc 16770 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-prds 17393 df-pws 17395 df-imas 17454 df-qus 17455 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-mhm 18671 df-submnd 18672 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-sbg 18824 df-mulg 18951 df-subg 19003 df-nsg 19004 df-eqg 19005 df-ghm 19090 df-cntz 19181 df-cmn 19650 df-abl 19651 df-mgp 19988 df-ur 20005 df-srg 20010 df-ring 20058 df-cring 20059 df-oppr 20150 df-dvdsr 20171 df-unit 20172 df-invr 20202 df-dvr 20215 df-rnghom 20251 df-nzr 20292 df-subrg 20317 df-drng 20359 df-field 20360 df-lmod 20473 df-lss 20543 df-lsp 20583 df-sra 20785 df-rgmod 20786 df-lidl 20787 df-rsp 20788 df-2idl 20857 df-rlreg 20899 df-domn 20900 df-idom 20901 df-cnfld 20945 df-zring 21018 df-zrh 21053 df-zn 21056 df-assa 21408 df-asp 21409 df-ascl 21410 df-psr 21462 df-mvr 21463 df-mpl 21464 df-opsr 21466 df-evls 21635 df-evl 21636 df-psr1 21704 df-vr1 21705 df-ply1 21706 df-coe1 21707 df-evl1 21835 df-mdeg 25570 df-deg1 25571 df-mon1 25648 df-uc1p 25649 df-q1p 25650 df-r1p 25651 df-lgs 26798

This theorem is referenced by: 2sqb 26935

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