2sqblem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqblem 27357

Description: Lemma for 2sqb 27358. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqb.1	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6	⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqblem	⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		nprmdvds1 16670	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5		prmz 16639	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		1z 12616	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		dvdsnegb 16244	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9	6, 7, 8	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
10	4, 9	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11		2sqb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
12	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13		2sqb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
14	12, 13	zmulcld 12696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15		zsqcl 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17		dvdsmul1 16248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
18	6, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
19	11	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
20	19, 13	zmulcld 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21		zsqcl 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23		peano2zm 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26		zsqcl 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcomd 11440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
31	27	zcnd 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
34	22	zcnd 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ppncand 11635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36		zsqcl 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39		zsqcl 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
40	19, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
42	16	zcnd 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddird 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
45	44	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
46	12	zcnd 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
48	46, 47	sqmuld 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
49	19	zcnd 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
50	49, 47	sqmuld 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
51	48, 50	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
53	30, 35, 52	3eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
54	18, 53	breqtrrd 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		dvdsmul1 16248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
57	6, 55, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
58	6, 55	zmulcld 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59		dvdsnegb 16244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
60	6, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
61	57, 60	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
62	20	zcnd 12691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 11543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
64	32, 62, 63	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
65	58	zcnd 12691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
66	19	zred 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
67		absresq 15275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
69	66	resqcld 14115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70		prmnn 16638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
73	72	resqcld 14115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74		zsqcl2 14128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
75	12, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ₀)
76		nn0addge2 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ₀) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
77	69, 75, 76	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
78	77, 44	breqtrrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
79	6	zcnd 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
80	79	exp1d 14131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82		2z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84		prmuz2 16660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
85	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
86		eluz2gt1 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑃)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
88		1lt2 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
90		ltexp2a 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
91	72, 81, 83, 87, 89, 90	syl32anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃↑2))
93	69, 72, 73, 78, 92	lelttrd 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
94	68, 93	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
95	49	abscld 15409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
96	49	absge0d 15417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
97	71	nnnn0d 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
98	97	nn0ge0d 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
99	95, 72, 96, 98	lt2sqd 14244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
100	94, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
101	6	zred 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
102	95, 101	ltnled 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103	100, 102	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104		sqnprm 16666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
105	12, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
106	49	abs00ad 15263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
107	44, 2	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108		sq0i 14182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109	108	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110	109	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111	107, 110	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
112	38	addridd 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113	112	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114	111, 113	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115	106, 114	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116	105, 115	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117		nn0abscl 15285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
118	19, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ₀)
119		elnn0 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ₀ ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120	118, 119	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121	120	ord 863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122	116, 121	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123		dvdsle 16280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
124	6, 122, 123	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125	103, 124	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126		dvdsabsb 16246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
127	6, 19, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑌 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128	125, 127	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑌)
129		coprm 16675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
130	2, 19, 129	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131	128, 130	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133	131, 132	eqtr3d 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134	65, 62, 133	mvrraddd 11650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135	134	negeqd 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
136	64, 135	eqtr3d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
137	61, 136	breqtrrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
138	20	peano2zd 12693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139		peano2zm 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
140	20, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141		dvdsmultr2 16268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
142	6, 138, 140, 141	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143	137, 142	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144		sq1 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
145	144	oveq2i 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146		subsq 14199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147	62, 32, 146	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148	145, 147	eqtr3id 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149	143, 148	breqtrrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150		dvdsadd2b 16276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
151	6, 28, 24, 149, 150	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
152	54, 151	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153		subneg 11533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
154	31, 32, 153	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155	152, 154	breqtrrd 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157	156	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158	157	breq2d 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159	158	rspcev 3607	. . . 4 ⊢ (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
160	14, 155, 159	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161		neg1z 12622	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
162		eldifsn 4786	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
163	1, 162	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164		lgsqr 27277	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165	161, 163, 164	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
166	10, 160, 165	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 /_L 𝑃) = 1)
167		m1lgs 27314	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168	163, 167	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 /_L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169	166, 168	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 846 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∃wrex 3065 ∖ cdif 3941 {csn 4624 class class class wbr 5142 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℂcc 11130 ℝcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 + caddc 11135 · cmul 11137 < clt 11272 ≤ cle 11273 − cmin 11468 -cneg 11469 ℕcn 12236 2c2 12291 4c4 12293 ℕ₀cn0 12496 ℤcz 12582 ℤ_≥cuz 12846 mod cmo 13860 ↑cexp 14052 abscabs 15207 ∥ cdvds 16224 gcd cgcd 16462 ℙcprime 16635 /_L clgs 27220

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210 ax-addf 11211 ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-ofr 7680 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-tpos 8225 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8718 df-ec 8720 df-qs 8724 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9380 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9527 df-dju 9918 df-card 9956 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-xnn0 12569 df-z 12583 df-dec 12702 df-uz 12847 df-q 12957 df-rp 13001 df-fz 13511 df-fzo 13654 df-fl 13783 df-mod 13861 df-seq 13993 df-exp 14053 df-hash 14316 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-dvds 16225 df-gcd 16463 df-prm 16636 df-phi 16728 df-pc 16799 df-struct 17109 df-sets 17126 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17174 df-ress 17203 df-plusg 17239 df-mulr 17240 df-starv 17241 df-sca 17242 df-vsca 17243 df-ip 17244 df-tset 17245 df-ple 17246 df-ds 17248 df-unif 17249 df-hom 17250 df-cco 17251 df-0g 17416 df-gsum 17417 df-prds 17422 df-pws 17424 df-imas 17483 df-qus 17484 df-mre 17559 df-mrc 17560 df-acs 17562 df-mgm 18593 df-sgrp 18672 df-mnd 18688 df-mhm 18733 df-submnd 18734 df-grp 18886 df-minusg 18887 df-sbg 18888 df-mulg 19017 df-subg 19071 df-nsg 19072 df-eqg 19073 df-ghm 19161 df-cntz 19261 df-cmn 19730 df-abl 19731 df-mgp 20068 df-rng 20086 df-ur 20115 df-srg 20120 df-ring 20168 df-cring 20169 df-oppr 20266 df-dvdsr 20289 df-unit 20290 df-invr 20320 df-dvr 20333 df-rhm 20404 df-nzr 20445 df-subrng 20476 df-subrg 20501 df-drng 20619 df-field 20620 df-lmod 20738 df-lss 20809 df-lsp 20849 df-sra 21051 df-rgmod 21052 df-lidl 21097 df-rsp 21098 df-2idl 21137 df-rlreg 21223 df-domn 21224 df-idom 21225 df-cnfld 21273 df-zring 21366 df-zrh 21422 df-zn 21425 df-assa 21780 df-asp 21781 df-ascl 21782 df-psr 21835 df-mvr 21836 df-mpl 21837 df-opsr 21839 df-evls 22011 df-evl 22012 df-psr1 22092 df-vr1 22093 df-ply1 22094 df-coe1 22095 df-evl1 22228 df-mdeg 25981 df-deg1 25982 df-mon1 26059 df-uc1p 26060 df-q1p 26061 df-r1p 26062 df-lgs 27221

This theorem is referenced by: 2sqb 27358

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