MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom1dif 15048
Description: A summation for the difference between ((𝐴 + 1)↑𝑁) and (𝐴𝑁). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom1dif ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom1dif
StepHypRef Expression
1 fzfid 13156 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2 fzssp1 12766 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
3 nn0cn 11718 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
43adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10393 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
6 npcan 10696 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 577 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87oveq2d 6992 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
92, 8syl5sseq 3909 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
109sselda 3858 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
11 bccl2 13498 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1211adantl 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1312nncnd 11457 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
14 simpl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 elfznn0 12816 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 expcl 13262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16syl2an 586 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17mulcld 10460 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
1910, 18syldan 582 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
201, 19fsumcl 14950 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
21 expcl 13262 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
22 addcom 10626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2314, 5, 22sylancl 577 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2423oveq1d 6991 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
25 binom1p 15046 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
26 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 nn0uz 12094 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2826, 27syl6eleq 2876 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
29 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
30 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑁))
3129, 30oveq12d 6994 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)))
3228, 18, 31fsumm1 14966 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))))
33 bcnn 13487 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
3433adantl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑁) = 1)
3534oveq1d 6991 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (1 · (𝐴𝑁)))
3621mulid2d 10458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
3735, 36eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
3837oveq2d 6992 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
3932, 38eqtrd 2814 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
4024, 25, 393eqtrd 2818 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
4120, 21, 40mvrraddd 10853 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  cn 11439  0cn0 11707  cuz 12058  ...cfz 12708  cexp 13244  Ccbc 13477  Σcsu 14903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator