MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom1dif 15783
Description: A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) and (๐ดโ†‘๐‘). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom1dif ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binom1dif
StepHypRef Expression
1 fzfid 13942 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 fzssp1 13548 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
3 nn0cn 12486 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
6 npcan 11473 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
74, 5, 6sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
87oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘))
92, 8sseqtrid 4033 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...๐‘))
109sselda 3981 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
11 bccl2 14287 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1211adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12232 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
14 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 elfznn0 13598 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
16 expcl 14049 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 16syl2an 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1813, 17mulcld 11238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1910, 18syldan 589 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
201, 19fsumcl 15683 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
21 expcl 14049 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
22 addcom 11404 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2314, 5, 22sylancl 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2423oveq1d 7426 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) = ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))
25 binom1p 15781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
26 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27 nn0uz 12868 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2826, 27eleqtrdi 2841 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
29 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C๐‘))
30 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
3129, 30oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
3228, 18, 31fsumm1 15701 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
33 bcnn 14276 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
3433adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
3534oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
3621mullidd 11236 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘๐‘))
3735, 36eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘๐‘))
3837oveq2d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
3932, 38eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
4024, 25, 393eqtrd 2774 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
4120, 21, 40mvrraddd 11630 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  Ccbc 14266  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator