Theorem binom1dif 15190

Description: A summation for the difference between ((𝐴 + 1)↑𝑁) and (𝐴↑𝑁). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
binom1dif	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2		fzssp1 12953	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
3		nn0cn 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10597	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 10897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
9	2, 8	sseqtrid 4021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
10	9	sselda 3969	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
11		bccl2 13686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
12	11	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11656	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
14		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		elfznn0 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 13450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
19	10, 18	syldan 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
20	1, 19	fsumcl 15092	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
21		expcl 13450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
22		addcom 10828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
23	14, 5, 22	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
24	23	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
25		binom1p 15188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
26		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0uz 12283	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	26, 27	eleqtrdi 2925	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
29		oveq2 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
30		oveq2 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑𝑁))
31	29, 30	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
32	28, 18, 31	fsumm1 15108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁))))
33		bcnn 13675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
34	33	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑁) = 1)
35	34	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
36	21	mulid2d 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
37	35, 36	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
38	37	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
39	32, 38	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
40	24, 25, 39	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
41	20, 21, 40	mvrraddd 11054	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Ccbc 13665  Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045

This theorem is referenced by: (None)