MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom1dif 15784
Description: A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) and (๐ดโ†‘๐‘). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom1dif ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binom1dif
StepHypRef Expression
1 fzfid 13943 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 fzssp1 13549 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
3 nn0cn 12487 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 ax-1cn 11172 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
6 npcan 11474 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
87oveq2d 7428 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘))
92, 8sseqtrid 4034 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โІ (0...๐‘))
109sselda 3982 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
11 bccl2 14288 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1211adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12233 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
14 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 elfznn0 13599 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
16 expcl 14050 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 16syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1813, 17mulcld 11239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1910, 18syldan 590 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
201, 19fsumcl 15684 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
21 expcl 14050 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
22 addcom 11405 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2314, 5, 22sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2423oveq1d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) = ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))
25 binom1p 15782 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
26 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27 nn0uz 12869 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2826, 27eleqtrdi 2842 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
29 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C๐‘))
30 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
3129, 30oveq12d 7430 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
3228, 18, 31fsumm1 15702 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
33 bcnn 14277 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘C๐‘) = 1)
3534oveq1d 7427 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
3621mullidd 11237 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘๐‘))
3735, 36eqtrd 2771 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘๐‘))
3837oveq2d 7428 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((๐‘C๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
3932, 38eqtrd 2771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
4024, 25, 393eqtrd 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + (๐ดโ†‘๐‘)))
4120, 21, 40mvrraddd 11631 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267  ฮฃcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator