MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom1dif 15729
Description: A summation for the difference between ((𝐴 + 1)↑𝑁) and (𝐴𝑁). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom1dif ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom1dif
StepHypRef Expression
1 fzfid 13888 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2 fzssp1 13494 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
3 nn0cn 12432 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 11118 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
6 npcan 11419 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
92, 8sseqtrid 3999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
109sselda 3947 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
11 bccl2 14233 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1211adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
1312nncnd 12178 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
14 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 elfznn0 13544 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 expcl 13995 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17mulcld 11184 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
1910, 18syldan 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
201, 19fsumcl 15629 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
21 expcl 13995 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
22 addcom 11350 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2314, 5, 22sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2423oveq1d 7377 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
25 binom1p 15727 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
26 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 nn0uz 12814 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2826, 27eleqtrdi 2842 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
29 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
30 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑁))
3129, 30oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)))
3228, 18, 31fsumm1 15647 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))))
33 bcnn 14222 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑁) = 1)
3534oveq1d 7377 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (1 · (𝐴𝑁)))
3621mullidd 11182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
3735, 36eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
3837oveq2d 7378 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴𝑁))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
3932, 38eqtrd 2771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
4024, 25, 393eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑁)))
4120, 21, 40mvrraddd 11576 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  cmin 11394  cn 12162  0cn0 12422  cuz 12772  ...cfz 13434  cexp 13977  Ccbc 14212  Σcsu 15582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator