Theorem binom1dif 15756

Description: A summation for the difference between ((𝐴 + 1)↑𝑁) and (𝐴↑𝑁). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
binom1dif	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2		fzssp1 13483	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
3		nn0cn 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11084	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 11389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
9	2, 8	sseqtrid 3976	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
10	9	sselda 3933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
11		bccl2 14246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12161	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		elfznn0 13536	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 14002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
19	10, 18	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
20	1, 19	fsumcl 15656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
21		expcl 14002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
22		addcom 11319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
23	14, 5, 22	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
24	23	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
25		binom1p 15754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0uz 12789	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	26, 27	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
29		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
30		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑𝑁))
31	29, 30	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
32	28, 18, 31	fsumm1 15674	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁))))
33		bcnn 14235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑁) = 1)
35	34	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
36	21	mullidd 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
37	35, 36	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
38	37	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + ((𝑁C𝑁) · (𝐴↑𝑁))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
39	32, 38	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
40	24, 25, 39	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + (𝐴↑𝑁)))
41	20, 21, 40	mvrraddd 11549	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1)↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · (𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  Ccbc 14225  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by: (None)