Theorem bcp1ctr 27242

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 12403	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
2		df-2 12303	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
3	1, 2	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
4	3	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5		nn0cn 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddi 11218	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
9	6, 7, 8	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11		2nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		nn0mulcl 12537	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15		addass 11216	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
16	7, 7, 15	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
19	18	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20		peano2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22		nn0p1nn 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12615	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		bcpasc 14339	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
26	19, 25	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27		nn0z 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
28		bccl 14340	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12318	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
32	21	nn0red 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33	32, 22	nndivred 12294	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11263	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
35	30, 31, 34	mul12d 11444	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36		1cnd 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37	14, 36, 5	addsubd 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
38	5	2timesd 12484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
39	5, 5, 38	mvrladdd 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
40	39	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
41	37, 40	eqtr2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
42	41	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
43	42	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44		fzctr 13657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45		bcp1n 14334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
47	43, 46	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
48	47	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
49	35, 48	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50		bccmpl 14327	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
51	21, 23, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
52	22	nncnd 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
53	38	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
54	5, 5, 36	addassd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
55	53, 54	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
56	5, 52, 55	mvrraddd 11649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
57	56	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
58	51, 57	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59		pncan 11488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
60	5, 7, 59	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
61	60	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
62	58, 61	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63		bccl 14340	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
64	21, 27, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12484	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
67	62, 66	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
68	49, 67	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
69	26, 68	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  Ccbc 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-fac 14292  df-bc 14321

This theorem is referenced by:  bclbnd  27243