Theorem bcp1ctr 27612

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 12509	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
2		df-2 12409	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
3	1, 2	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
4	3	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5		nn0cn 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cn 12422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddi 11293	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
9	6, 7, 8	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11		2nn0 12627	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		nn0mulcl 12646	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
13	11, 12	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15		addass 11291	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
16	7, 7, 15	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
19	18	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20		peano2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22		nn0p1nn 12649	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12723	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		bcpasc 14469	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
26	19, 25	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27		nn0z 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
28		bccl 14470	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
29	13, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12673	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
32	21	nn0red 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33	32, 22	nndivred 12396	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
35	30, 31, 34	mul12d 11523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36		1cnd 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37	14, 36, 5	addsubd 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
38	5	2timesd 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
39	5, 5, 38	mvrladdd 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
40	39	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
41	37, 40	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
42	41	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
43	42	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44		fzctr 13778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45		bcp1n 14464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
46	44, 45	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
47	43, 46	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
48	47	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
49	35, 48	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50		bccmpl 14457	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
51	21, 23, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
52	22	nncnd 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
53	38	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
54	5, 5, 36	addassd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
55	53, 54	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
56	5, 52, 55	mvrraddd 11731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
57	56	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
58	51, 57	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59		pncan 11567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
60	5, 7, 59	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
61	60	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
62	58, 61	oveq12d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63		bccl 14470	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
64	21, 27, 63	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12673	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
67	62, 66	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
68	49, 67	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
69	26, 68	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   / cdiv 11977  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ...cfz 13643  Ccbc 14450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-fac 14422  df-bc 14451

This theorem is used by:  bclbnd  27613