MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1ctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1ctr 26643
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12323 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
2 df-2 12223 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2765 . . . . . 6 (2 ยท 1) = (1 + 1)
43oveq2i 7373 . . . . 5 ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1))
5 nn0cn 12430 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 2cn 12235 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
7 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
8 adddi 11147 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
96, 7, 8mp3an13 1453 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
11 2nn0 12437 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
12 nn0mulcl 12456 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1311, 12mpan 689 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1413nn0cnd 12482 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 addass 11145 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1454 . . . . . 6 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2803 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1))
1918oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
20 peano2nn0 12460 . . . . 5 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
22 nn0p1nn 12459 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnzd 12533 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
24 bcpasc 14228 . . . 4 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 585 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
2619, 25eqtr4d 2780 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))))
27 nn0z 12531 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 bccl 14229 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
2913, 27, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
3029nn0cnd 12482 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„‚)
31 2cnd 12238 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3221nn0red 12481 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3332, 22nndivred 12214 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
3433recnd 11190 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3530, 31, 34mul12d 11371 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))
36 1cnd 11157 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3714, 36, 5addsubd 11540 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
3852timesd 12403 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
395, 5, 38mvrladdd 11575 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
4039oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1) = (๐‘ + 1))
4137, 40eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) = (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))
4241oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)))
4342oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
44 fzctr 13560 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
45 bcp1n 14223 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
4743, 46eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
4847oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
4935, 48eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
50 bccmpl 14216 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))))
5121, 23, 50syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))))
5222nncnd 12176 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
5338oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) = ((๐‘ + ๐‘) + 1))
545, 5, 36addassd 11184 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + ๐‘) + 1) = (๐‘ + (๐‘ + 1)))
5553, 54eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) = (๐‘ + (๐‘ + 1)))
565, 52, 55mvrraddd 11574 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) = ๐‘)
5756oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
5851, 57eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
59 pncan 11414 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
605, 7, 59sylancl 587 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
6160oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
6258, 61oveq12d 7380 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
63 bccl 14229 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
6421, 27, 63syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
6564nn0cnd 12482 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„‚)
66652timesd 12403 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
6762, 66eqtr4d 2780 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
6849, 67eqtr4d 2780 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))))
6926, 68eqtr4d 2780 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  Ccbc 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-fac 14181  df-bc 14210
This theorem is referenced by:  bclbnd  26644
  Copyright terms: Public domain W3C validator