MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1ctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1ctr 26015
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 11880 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
2 df-2 11780 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2761 . . . . . 6 (2 · 1) = (1 + 1)
43oveq2i 7182 . . . . 5 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5 nn0cn 11987 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cn 11792 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10674 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddi 10705 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
96, 7, 8mp3an13 1453 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11 2nn0 11994 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
12 nn0mulcl 12013 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12mpan 690 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12039 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15 addass 10703 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1454 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2799 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
1918oveq1d 7186 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20 peano2nn0 12017 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22 nn0p1nn 12016 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnzd 12168 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 bcpasc 13774 . . . 4 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2619, 25eqtr4d 2776 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27 nn0z 12087 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
28 bccl 13775 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
2913, 27, 28syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12039 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31 2cnd 11795 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3221nn0red 12038 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
3332, 22nndivred 11771 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
3433recnd 10748 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
3530, 31, 34mul12d 10928 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36 1cnd 10715 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3714, 36, 5addsubd 11097 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
3852timesd 11960 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
395, 5, 38mvrladdd 11132 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
4039oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
4137, 40eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
4241oveq2d 7187 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
4342oveq2d 7187 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44 fzctr 13111 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45 bcp1n 13769 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4743, 46eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
4847oveq2d 7187 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
4935, 48eqtrd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50 bccmpl 13762 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5121, 23, 50syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5222nncnd 11733 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5338oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
545, 5, 36addassd 10742 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
5553, 54eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
565, 52, 55mvrraddd 11131 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
5756oveq2d 7187 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
5851, 57eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59 pncan 10971 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
605, 7, 59sylancl 589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6160oveq2d 7187 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
6258, 61oveq12d 7189 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63 bccl 13775 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6421, 27, 63syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 12039 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66652timesd 11960 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6762, 66eqtr4d 2776 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6849, 67eqtr4d 2776 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6926, 68eqtr4d 2776 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  (class class class)co 7171  cc 10614  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619   · cmul 10621  cmin 10949   / cdiv 11376  2c2 11772  0cn0 11977  cz 12063  ...cfz 12982  Ccbc 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-fz 12983  df-seq 13462  df-fac 13727  df-bc 13756
This theorem is referenced by:  bclbnd  26016
  Copyright terms: Public domain W3C validator