Proof of Theorem bcp1ctr
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2t1e2 12429 |
. . . . . . 7
⊢ (2
· 1) = 2 |
| 2 | | df-2 12329 |
. . . . . . 7
⊢ 2 = (1 +
1) |
| 3 | 1, 2 | eqtri 2765 |
. . . . . 6
⊢ (2
· 1) = (1 + 1) |
| 4 | 3 | oveq2i 7442 |
. . . . 5
⊢ ((2
· 𝑁) + (2 ·
1)) = ((2 · 𝑁) + (1
+ 1)) |
| 5 | | nn0cn 12536 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
| 6 | | 2cn 12341 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 7 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 8 | | adddi 11244 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ 𝑁
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1))) |
| 9 | 6, 7, 8 | mp3an13 1454 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2
· (𝑁 + 1)) = ((2
· 𝑁) + (2 ·
1))) |
| 10 | 5, 9 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (𝑁 + 1))
= ((2 · 𝑁) + (2
· 1))) |
| 11 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 12 | | nn0mulcl 12562 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 13 | 11, 12 | mpan 690 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁)
∈ ℕ0) |
| 14 | 13 | nn0cnd 12589 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁)
∈ ℂ) |
| 15 | | addass 11242 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))) |
| 16 | 7, 7, 15 | mp3an23 1455 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝑁) ∈ ℂ
→ (((2 · 𝑁) +
1) + 1) = ((2 · 𝑁) +
(1 + 1))) |
| 17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) + 1) = ((2 · 𝑁) +
(1 + 1))) |
| 18 | 4, 10, 17 | 3eqtr4a 2803 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (𝑁 + 1))
= (((2 · 𝑁) + 1) +
1)) |
| 19 | 18 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = ((((2
· 𝑁) + 1) +
1)C(𝑁 +
1))) |
| 20 | | peano2nn0 12566 |
. . . . 5
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℕ0) |
| 21 | 13, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
∈ ℕ0) |
| 22 | | nn0p1nn 12565 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ) |
| 23 | 22 | nnzd 12640 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℤ) |
| 24 | | bcpasc 14360 |
. . . 4
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 ·
𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1))) |
| 25 | 21, 23, 24 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1))) |
| 26 | 19, 25 | eqtr4d 2780 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = ((((2
· 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) |
| 27 | | nn0z 12638 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
| 28 | | bccl 14361 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
| 29 | 13, 27, 28 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
| 30 | 29 | nn0cnd 12589 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) |
| 31 | | 2cnd 12344 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
| 32 | 21 | nn0red 12588 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
∈ ℝ) |
| 33 | 32, 22 | nndivred 12320 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) ∈
ℝ) |
| 34 | 33 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) ∈
ℂ) |
| 35 | 30, 31, 34 | mul12d 11470 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))))) |
| 36 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
| 37 | 14, 36, 5 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) − 𝑁) = (((2
· 𝑁) − 𝑁) + 1)) |
| 38 | 5 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁) =
(𝑁 + 𝑁)) |
| 39 | 5, 5, 38 | mvrladdd 11676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)
− 𝑁) = 𝑁) |
| 40 | 39 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)
− 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1)) |
| 41 | 37, 40 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) = (((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁)) |
| 42 | 41 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) = (((2
· 𝑁) + 1) / (((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁))) |
| 43 | 42 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
| 44 | | fzctr 13680 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈ (0...(2
· 𝑁))) |
| 45 | | bcp1n 14355 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
| 46 | 44, 45 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
| 47 | 43, 46 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
| 48 | 47 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
| 49 | 35, 48 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
| 50 | | bccmpl 14348 |
. . . . . . 7
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 ·
𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)))) |
| 51 | 21, 23, 50 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)))) |
| 52 | 22 | nncnd 12282 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℂ) |
| 53 | 38 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
= ((𝑁 + 𝑁) + 1)) |
| 54 | 5, 5, 36 | addassd 11283 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1))) |
| 55 | 53, 54 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
= (𝑁 + (𝑁 + 1))) |
| 56 | 5, 52, 55 | mvrraddd 11675 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁) |
| 57 | 56 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(((2 · 𝑁) + 1)
− (𝑁 + 1))) = (((2
· 𝑁) + 1)C𝑁)) |
| 58 | 51, 57 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁)) |
| 59 | | pncan 11514 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑁 + 1)
− 1) = 𝑁) |
| 60 | 5, 7, 59 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) − 1)
= 𝑁) |
| 61 | 60 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C((𝑁 + 1) − 1)) =
(((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
| 62 | 58, 61 | oveq12d 7449 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
| 63 | | bccl 14361 |
. . . . . . 7
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈
ℕ0) |
| 64 | 21, 27, 63 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) ∈
ℕ0) |
| 65 | 64 | nn0cnd 12589 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) ∈
ℂ) |
| 66 | 65 | 2timesd 12509 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
| 67 | 62, 66 | eqtr4d 2780 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2
· 𝑁) + 1)C𝑁))) |
| 68 | 49, 67 | eqtr4d 2780 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) |
| 69 | 26, 68 | eqtr4d 2780 |
1
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = (((2
· 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))))) |