MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1ctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1ctr 26427
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12136 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
2 df-2 12036 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2766 . . . . . 6 (2 · 1) = (1 + 1)
43oveq2i 7286 . . . . 5 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5 nn0cn 12243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cn 12048 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10929 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddi 10960 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
96, 7, 8mp3an13 1451 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11 2nn0 12250 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
12 nn0mulcl 12269 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12mpan 687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12295 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15 addass 10958 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1452 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2804 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
1918oveq1d 7290 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20 peano2nn0 12273 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22 nn0p1nn 12272 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnzd 12425 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 bcpasc 14035 . . . 4 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2619, 25eqtr4d 2781 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27 nn0z 12343 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
28 bccl 14036 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
2913, 27, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12295 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31 2cnd 12051 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3221nn0red 12294 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
3332, 22nndivred 12027 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
3433recnd 11003 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
3530, 31, 34mul12d 11184 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36 1cnd 10970 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3714, 36, 5addsubd 11353 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
3852timesd 12216 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
395, 5, 38mvrladdd 11388 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
4039oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
4137, 40eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
4241oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
4342oveq2d 7291 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44 fzctr 13368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45 bcp1n 14030 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4743, 46eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
4847oveq2d 7291 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
4935, 48eqtrd 2778 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50 bccmpl 14023 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5121, 23, 50syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5222nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5338oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
545, 5, 36addassd 10997 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
5553, 54eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
565, 52, 55mvrraddd 11387 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
5756oveq2d 7291 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
5851, 57eqtrd 2778 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59 pncan 11227 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
605, 7, 59sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6160oveq2d 7291 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
6258, 61oveq12d 7293 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63 bccl 14036 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6421, 27, 63syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 12295 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66652timesd 12216 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6762, 66eqtr4d 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6849, 67eqtr4d 2781 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6926, 68eqtr4d 2781 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  ...cfz 13239  Ccbc 14016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017
This theorem is referenced by:  bclbnd  26428
  Copyright terms: Public domain W3C validator