Theorem bcp1ctr 26782

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 12375	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
2		df-2 12275	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
3	1, 2	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
4	3	oveq2i 7420	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5		nn0cn 12482	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddi 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
9	6, 7, 8	mp3an13 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11		2nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		nn0mulcl 12508	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
13	11, 12	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15		addass 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
16	7, 7, 15	mp3an23 1454	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
19	18	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20		peano2nn0 12512	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22		nn0p1nn 12511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		bcpasc 14281	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
25	21, 23, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
26	19, 25	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27		nn0z 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
28		bccl 14282	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
29	13, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12534	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
32	21	nn0red 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33	32, 22	nndivred 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
35	30, 31, 34	mul12d 11423	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36		1cnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
37	14, 36, 5	addsubd 11592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
38	5	2timesd 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
39	5, 5, 38	mvrladdd 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
40	39	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
41	37, 40	eqtr2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
42	41	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
43	42	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44		fzctr 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45		bcp1n 14276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
47	43, 46	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
48	47	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
49	35, 48	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50		bccmpl 14269	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
51	21, 23, 50	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
52	22	nncnd 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
53	38	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
54	5, 5, 36	addassd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
55	53, 54	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
56	5, 52, 55	mvrraddd 11626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
57	56	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
58	51, 57	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59		pncan 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
60	5, 7, 59	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
61	60	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
62	58, 61	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63		bccl 14282	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
64	21, 27, 63	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12534	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12455	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
67	62, 66	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
68	49, 67	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
69	26, 68	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ...cfz 13484  Ccbc 14262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263

This theorem is referenced by:  bclbnd  26783