MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1ctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1ctr 27006
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12379 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
2 df-2 12279 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2760 . . . . . 6 (2 ยท 1) = (1 + 1)
43oveq2i 7422 . . . . 5 ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1))
5 nn0cn 12486 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 2cn 12291 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
7 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
8 adddi 11201 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
96, 7, 8mp3an13 1452 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
11 2nn0 12493 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
12 nn0mulcl 12512 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1311, 12mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1413nn0cnd 12538 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 addass 11199 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1453 . . . . . 6 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2798 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1))
1918oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
20 peano2nn0 12516 . . . . 5 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0)
22 nn0p1nn 12515 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnzd 12589 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
24 bcpasc 14285 . . . 4 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1)C(๐‘ + 1)))
2619, 25eqtr4d 2775 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))))
27 nn0z 12587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 bccl 14286 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
2913, 27, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
3029nn0cnd 12538 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„‚)
31 2cnd 12294 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3221nn0red 12537 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3332, 22nndivred 12270 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
3433recnd 11246 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3530, 31, 34mul12d 11427 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))
36 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3714, 36, 5addsubd 11596 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘) = (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
3852timesd 12459 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
395, 5, 38mvrladdd 11631 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
4039oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1) = (๐‘ + 1))
4137, 40eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) = (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))
4241oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘)))
4342oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
44 fzctr 13617 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
45 bcp1n 14280 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ ๐‘))))
4743, 46eqtr4d 2775 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
4847oveq2d 7427 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
4935, 48eqtrd 2772 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
50 bccmpl 14273 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))))
5121, 23, 50syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))))
5222nncnd 12232 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
5338oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) = ((๐‘ + ๐‘) + 1))
545, 5, 36addassd 11240 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + ๐‘) + 1) = (๐‘ + (๐‘ + 1)))
5553, 54eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) = (๐‘ + (๐‘ + 1)))
565, 52, 55mvrraddd 11630 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) = ๐‘)
5756oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ (๐‘ + 1))) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
5851, 57eqtrd 2772 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
59 pncan 11470 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
605, 7, 59sylancl 586 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
6160oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
6258, 61oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
63 bccl 14286 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
6421, 27, 63syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„•0)
6564nn0cnd 12538 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) โˆˆ โ„‚)
66652timesd 12459 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
6762, 66eqtr4d 2775 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
6849, 67eqtr4d 2775 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C(๐‘ + 1)) + (((2 ยท ๐‘) + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))))
6926, 68eqtr4d 2775 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1))C(๐‘ + 1)) = (((2 ยท ๐‘)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) / (๐‘ + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  Ccbc 14266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-fac 14238  df-bc 14267
This theorem is referenced by:  bclbnd  27007
  Copyright terms: Public domain W3C validator