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Theorem bcp1ctr 25225
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 11378 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
2 df-2 11281 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2793 . . . . . 6 (2 · 1) = (1 + 1)
43oveq2i 6804 . . . . 5 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5 nn0cn 11504 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cn 11293 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddi 10227 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
96, 7, 8mp3an13 1563 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11 2nn0 11511 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
12 nn0mulcl 11531 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12mpan 670 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11555 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15 addass 10225 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1564 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2831 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
1918oveq1d 6808 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20 peano2nn0 11535 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22 nn0p1nn 11534 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnzd 11683 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 bcpasc 13312 . . . 4 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 573 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2619, 25eqtr4d 2808 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
28 bccl 13313 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
2913, 27, 28syl2anc 573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11555 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31 2cnd 11295 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3221nn0red 11554 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
3332, 22nndivred 11271 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
3433recnd 10270 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
3530, 31, 34mul12d 10447 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36 1cnd 10258 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3714, 36, 5addsubd 10615 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
3852timesd 11477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3938oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
405, 5pncand 10595 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
4139, 40eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
4241oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
4337, 42eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
4443oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
4544oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
46 fzctr 12659 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
47 bcp1n 13307 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4945, 48eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
5049oveq2d 6809 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
5135, 50eqtrd 2805 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
52 bccmpl 13300 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5321, 23, 52syl2anc 573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5438oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
555, 5, 36addassd 10264 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
5654, 55eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
5756oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + (𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
5822nncnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
595, 58pncand 10595 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + (𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
6057, 59eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
6160oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
6253, 61eqtrd 2805 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
63 pncan 10489 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
645, 7, 63sylancl 574 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6564oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
6662, 65oveq12d 6811 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
67 bccl 13313 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6821, 27, 67syl2anc 573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11555 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
70692timesd 11477 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
7166, 70eqtr4d 2808 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
7251, 71eqtr4d 2808 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
7326, 72eqtr4d 2808 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533  Ccbc 13293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-fac 13265  df-bc 13294
This theorem is referenced by:  bclbnd  25226
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