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Theorem bcp1ctr 27323
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2t1e2 12429 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
2 df-2 12329 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtri 2765 . . . . . 6 (2 · 1) = (1 + 1)
43oveq2i 7442 . . . . 5 ((2 · 𝑁) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))
5 nn0cn 12536 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddi 11244 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
96, 7, 8mp3an13 1454 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
11 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
12 nn0mulcl 12562 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12mpan 690 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
15 addass 11242 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
167, 7, 15mp3an23 1455 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
184, 10, 173eqtr4a 2803 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) + 1))
1918oveq1d 7446 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
20 peano2nn0 12566 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
22 nn0p1nn 12565 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnzd 12640 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 bcpasc 14360 . . . 4 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1)))
2619, 25eqtr4d 2780 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
27 nn0z 12638 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
28 bccl 14361 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
2913, 27, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ)
31 2cnd 12344 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3221nn0red 12588 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
3332, 22nndivred 12320 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
3433recnd 11289 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
3530, 31, 34mul12d 11470 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
36 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3714, 36, 5addsubd 11641 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1))
3852timesd 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
395, 5, 38mvrladdd 11676 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
4039oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1))
4137, 40eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))
4241oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))
4342oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
44 fzctr 13680 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
45 bcp1n 14355 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁))))
4743, 46eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
4847oveq2d 7447 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
4935, 48eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
50 bccmpl 14348 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5121, 23, 50syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))))
5222nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5338oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
545, 5, 36addassd 11283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
5553, 54eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1)))
565, 52, 55mvrraddd 11675 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
5756oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
5851, 57eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
59 pncan 11514 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
605, 7, 59sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6160oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
6258, 61oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
63 bccl 14361 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6421, 27, 63syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈ ℂ)
66652timesd 12509 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6762, 66eqtr4d 2780 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
6849, 67eqtr4d 2780 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6926, 68eqtr4d 2780 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 + 1))C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  Ccbc 14341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342
This theorem is referenced by:  bclbnd  27324
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