MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolydiflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolydiflem 15271
Description: Lemma for bpolydif 15272. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bpolydiflem.2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bpolydiflem.3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11770 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 bpolydiflem.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 peano2cn 10614 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
6 bpolyval 15266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) = (((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
72, 5, 6syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) = (((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
8 bpolyval 15266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
92, 3, 8syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
107, 9oveq12d 6996 . 2 (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
115, 2expcld 13328 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
12 fzfid 13159 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
13 elfzelz 12727 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 bccl 13500 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
152, 13, 14syl2an 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 11772 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
17 elfznn0 12819 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 bpolycl 15269 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
1917, 5, 18syl2anr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
20 fzssp1 12769 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
211nncnd 11459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
22 ax-1cn 10395 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
23 npcan 10698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2421, 22, 23sylancl 577 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2524oveq2d 6994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
2620, 25syl5sseq 3911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
2726sselda 3860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
28 fznn0sub 12758 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
30 nn0p1nn 11751 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3231nncnd 11459 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
3331nnne0d 11493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
3419, 32, 33divcld 11219 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
3516, 34mulcld 10462 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
3612, 35fsumcl 14953 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
373, 2expcld 13328 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
38 bpolycl 15269 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3917, 3, 38syl2anr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
4039, 32, 33divcld 11219 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
4116, 40mulcld 10462 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
4212, 41fsumcl 14953 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
4311, 36, 37, 42sub4d 10849 . 2 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
4426sselda 3860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
45 bccl2 13501 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑚) ∈ ℕ)
4645adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑚) ∈ ℕ)
4746nncnd 11459 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑚) ∈ ℂ)
48 elfznn0 12819 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
49 expcl 13265 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
503, 48, 49syl2an 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
5147, 50mulcld 10462 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
5244, 51syldan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
5312, 52fsumcl 14953 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
54 addcom 10628 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑋 + 1) = (1 + 𝑋))
553, 22, 54sylancl 577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + 1) = (1 + 𝑋))
5655oveq1d 6993 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝑋)↑𝑁))
57 binom1p 15049 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑋)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
583, 2, 57syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 𝑋)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
5956, 58eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
60 nn0uz 12097 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
612, 60syl6eleq 2876 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
62 oveq2 6986 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁C𝑚) = (𝑁C𝑁))
63 oveq2 6986 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝑋𝑚) = (𝑋𝑁))
6462, 63oveq12d 6996 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)))
6561, 51, 64fsumm1 14969 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁))))
66 bcnn 13490 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
672, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C𝑁) = 1)
6867oveq1d 6993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)) = (1 · (𝑋𝑁)))
6937mulid2d 10460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · (𝑋𝑁)) = (𝑋𝑁))
7068, 69eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)) = (𝑋𝑁))
7170oveq2d 6994 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)))
7259, 65, 713eqtrd 2818 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)))
7353, 37, 72mvrraddd 10855 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
74 nnm1nn0 11753 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
751, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7675, 60syl6eleq 2876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
77 oveq2 6986 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑁 − 1) → (𝑁C𝑚) = (𝑁C(𝑁 − 1)))
78 oveq2 6986 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑁 − 1) → (𝑋𝑚) = (𝑋↑(𝑁 − 1)))
7977, 78oveq12d 6996 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 − 1) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
8076, 52, 79fsumm1 14969 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
81 1cnd 10436 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8221, 81, 81subsub4d 10831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
83 df-2 11506 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8483oveq2i 6989 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 2) = (𝑁 − (1 + 1))
8582, 84syl6eqr 2832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
8685oveq2d 6994 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) − 1)) = (0...(𝑁 − 2)))
8786sumeq1d 14921 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
88 bcnm1 13505 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(𝑁 − 1)) = 𝑁)
892, 88syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 − 1)) = 𝑁)
9089oveq1d 6993 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
9187, 90oveq12d 6996 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
9273, 80, 913eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
93 oveq2 6986 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C0))
94 oveq1 6985 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) = (0 BernPoly (𝑋 + 1)))
95 oveq2 6986 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑁𝑘) = (𝑁 − 0))
9695oveq1d 6993 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁 − 0) + 1))
9794, 96oveq12d 6996 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1)))
9893, 97oveq12d 6996 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))))
9976, 35, 98fsum1p 14971 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
100 bpoly0 15267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 1) ∈ ℂ → (0 BernPoly (𝑋 + 1)) = 1)
1015, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 BernPoly (𝑋 + 1)) = 1)
102101oveq1d 6993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1)) = (1 / ((𝑁 − 0) + 1)))
103102oveq2d 6994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) = ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))))
104103oveq1d 6993 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
10599, 104eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
106 oveq1 6985 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
107106, 96oveq12d 6996 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1)))
10893, 107oveq12d 6996 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))))
10976, 41, 108fsum1p 14971 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
110 bpoly0 15267 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
112111oveq1d 6993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1)) = (1 / ((𝑁 − 0) + 1)))
113112oveq2d 6994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) = ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))))
114113oveq1d 6993 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
115109, 114eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
116105, 115oveq12d 6996 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
117 0z 11807 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
118 bccl 13500 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁C0) ∈ ℕ0)
1192, 117, 118sylancl 577 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C0) ∈ ℕ0)
120119nn0cnd 11772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C0) ∈ ℂ)
12121subid1d 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
122121, 1eqeltrd 2866 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
123122peano2nnd 11460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 0) + 1) ∈ ℕ)
124123nnrecred 11494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / ((𝑁 − 0) + 1)) ∈ ℝ)
125124recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / ((𝑁 − 0) + 1)) ∈ ℂ)
126120, 125mulcld 10462 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) ∈ ℂ)
127 fzfid 13159 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
128 fzp1ss 12777 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1)))
129117, 128ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1))
130129sseli 3856 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
131130, 35sylan2 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
132127, 131fsumcl 14953 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
133130, 41sylan2 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
134127, 133fsumcl 14953 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
135126, 132, 134pnpcand 10837 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
136 1zzd 11829 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
137 0zd 11808 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
1381nnzd 11902 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
139 2z 11830 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
140 zsubcl 11840 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
141138, 139, 140sylancl 577 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
142 fzssp1 12769 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑁 − 2)) ⊆ (0...((𝑁 − 2) + 1))
143 2m1e1 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
144143oveq2i 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
145 2cnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14621, 145, 81subsubd 10828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
147144, 146syl5reqr 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
148147oveq2d 6994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑁 − 2) + 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
149142, 148syl5sseq 3911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝑁 − 2)) ⊆ (0...(𝑁 − 1)))
150149sselda 3860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
151150, 52syldan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
152 oveq2 6986 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑚) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
153 oveq2 6986 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑋𝑚) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
154152, 153oveq12d 6996 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
155136, 137, 141, 151, 154fsumshft 14998 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
156147oveq2d 6994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1)))
157156sumeq1d 14921 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
158155, 157eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
159 0p1e1 11572 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
160159oveq1i 6988 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
161160eleq2i 2857 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
162 fzssp1 12769 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
16324oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
164162, 163syl5sseq 3911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
165164sselda 3860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
166 bcm1k 13493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
167165, 166syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
1681adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
169168nncnd 11459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
170 elfznn 12755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
171170adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
172171nncnd 11459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
173 1cnd 10436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
174169, 172, 173subsubd 10828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁𝑘) + 1))
175174oveq1d 6993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘) = (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘))
176175oveq2d 6994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)))
177167, 176eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)))
178 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
179178oveq1d 6993 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) / ((𝑁𝑘) + 1)))
180161, 130sylbir 227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
181180, 19sylan2 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
182180, 39sylan2 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
183180, 32sylan2 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
184180, 33sylan2 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
185181, 182, 183, 184divsubdird 11258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))
1863adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
187 nnm1nn0 11753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
188171, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
189186, 188expcld 13328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
190172, 189, 183, 184div23d 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
191179, 185, 1903eqtr3d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
192177, 191oveq12d 6996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
193180, 16sylan2 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
194181, 183, 184divcld 11219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
195182, 183, 184divcld 11219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
196193, 194, 195subdid 10899 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
197168nnnn0d 11770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
198188nn0zd 11901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
199 bccl 13500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
200197, 198, 199syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
201200nn0cnd 11772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
202171nnne0d 11493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ≠ 0)
203183, 172, 202divcld 11219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
204172, 183, 184divcld 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
205204, 189mulcld 10462 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
206201, 203, 205mulassd 10465 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))))
207183, 172, 184, 202divcan6d 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) = 1)
208207oveq1d 6993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (1 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
209203, 204, 189mulassd 10465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
210189mulid2d 10460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
211208, 209, 2103eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
212211oveq2d 6994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
213206, 212eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
214192, 196, 2133eqtr3d 2822 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
215161, 214sylan2b 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
216215sumeq2dv 14923 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
217127, 131, 133fsumsub 15006 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
218158, 216, 2173eqtr2rd 2821 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
219116, 135, 2183eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
22092, 219oveq12d 6996 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚))))
221 fzfid 13159 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
222221, 151fsumcl 14953 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
2233, 75expcld 13328 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22421, 223mulcld 10462 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
225222, 224pncan2d 10802 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
226220, 225eqtrd 2814 . 2 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
22710, 43, 2263eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wss 3831  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  cmin 10672   / cdiv 11100  cn 11441  2c2 11498  0cn0 11710  cz 11796  cuz 12061  ...cfz 12711  cexp 13247  Ccbc 13480  Σcsu 14906   BernPoly cbp 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-bpoly 15264
This theorem is referenced by:  bpolydif  15272
  Copyright terms: Public domain W3C validator