Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnodvds 46198
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 46197, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0nnaddcl 12499 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„•)
3 nnm1nn0 12509 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5 1red 11211 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12215 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12477 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12236 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11825 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11189 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11686 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
1712, 16mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))
18 elfz2nn0 13588 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
20 fzfid 13934 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13592 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0)
23 2nn0 12485 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2624, 25nn0expcld 14205 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
2724, 26nn0expcld 14205 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12580 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„€)
2928peano2zd 12665 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
3029adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
31 df-fmtno 46182 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7110 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ FermatNo:β„•0βŸΆβ„€)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16273 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
34 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) = (FermatNoβ€˜π‘))
3534breq1d 5157 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ↔ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3635rspcv 3608 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
38 elfznn0 13590 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3938adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
40 fmtnonn 46185 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nncnd 12224 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4320, 42fprodcl 15892 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 2cnd 12286 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
45 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 nncn 12216 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
47 addcl 11188 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
4845, 46, 47syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
49 npcan1 11635 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1))
5251fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)))
53 fmtnorec2 46197 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5552, 54eqtrd 2772 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11622 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2) = βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
5737, 56breqtrrd 5175 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  βˆcprod 15845   βˆ₯ cdvds 16193  FermatNocfmtno 46181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-fmtno 46182
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  46199
  Copyright terms: Public domain W3C validator