Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 45810
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 45809, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0nnaddcl 12451 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„•)
3 nnm1nn0 12461 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5 1red 11163 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12167 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12429 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12188 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
1110adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11141 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11638 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
1712, 16mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))
18 elfz2nn0 13539 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
20 fzfid 13885 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13543 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0)
23 2nn0 12437 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2624, 25nn0expcld 14156 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
2724, 26nn0expcld 14156 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12532 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„€)
2928peano2zd 12617 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
3029adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
31 df-fmtno 45794 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7067 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ FermatNo:β„•0βŸΆβ„€)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16223 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
34 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) = (FermatNoβ€˜π‘))
3534breq1d 5120 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ↔ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3635rspcv 3580 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
38 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3938adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
40 fmtnonn 45797 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nncnd 12176 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4320, 42fprodcl 15842 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 2cnd 12238 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
45 nn0cn 12430 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 nncn 12168 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
47 addcl 11140 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
4845, 46, 47syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
49 npcan1 11587 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1))
5251fveq2d 6851 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)))
53 fmtnorec2 45809 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5552, 54eqtrd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11574 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2) = βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
5737, 56breqtrrd 5138 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  βˆcprod 15795   βˆ₯ cdvds 16143  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  45811
  Copyright terms: Public domain W3C validator