Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 43988
 Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corrolary of fmtnorec2 43987, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0nnaddcl 11928 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11938 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5 1red 10641 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6 nnre 11644 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 11906 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 11665 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
1110adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11254 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 10619 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11115 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
1712, 16mpbid 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18 elfz2nn0 13005 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20 fzfid 13348 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13009 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23 2nn0 11914 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2624, 25nn0expcld 13615 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
2724, 26nn0expcld 13615 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12085 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
2928peano2zd 12090 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
3029adantl 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31 df-fmtno 43972 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 6870 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 15686 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
3534breq1d 5063 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3635rspcv 3605 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38 elfznn0 13007 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 fmtnonn 43975 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4241nncnd 11653 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
4320, 42fprodcl 15309 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 11715 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45 nn0cn 11907 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46 nncn 11645 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47 addcl 10618 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
4845, 46, 47syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49 npcan1 11064 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
5251fveq2d 6666 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53 fmtnorec2 43987 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5552, 54eqtrd 2859 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11051 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
5737, 56breqtrrd 5081 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3920   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   ≤ cle 10675   − cmin 10869  ℕcn 11637  2c2 11692  ℕ0cn0 11897  ℤcz 11981  ...cfz 12897  ↑cexp 13437  ∏cprod 15262   ∥ cdvds 15610  FermatNocfmtno 43971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-prod 15263  df-dvds 15611  df-fmtno 43972 This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  43989
 Copyright terms: Public domain W3C validator