Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnodvds 46212
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 46211, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0nnaddcl 12503 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„•)
3 nnm1nn0 12513 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5 1red 11215 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12219 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12481 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12240 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
1110adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11829 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11193 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11690 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
1712, 16mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))
18 elfz2nn0 13592 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
20 fzfid 13938 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13596 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0)
23 2nn0 12489 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2624, 25nn0expcld 14209 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
2724, 26nn0expcld 14209 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„€)
2928peano2zd 12669 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
3029adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
31 df-fmtno 46196 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7114 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ FermatNo:β„•0βŸΆβ„€)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16277 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
34 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) = (FermatNoβ€˜π‘))
3534breq1d 5159 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ↔ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3635rspcv 3609 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
38 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3938adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
40 fmtnonn 46199 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nncnd 12228 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4320, 42fprodcl 15896 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 2cnd 12290 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
45 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 nncn 12220 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
47 addcl 11192 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
4845, 46, 47syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
49 npcan1 11639 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1))
5251fveq2d 6896 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)))
53 fmtnorec2 46211 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5552, 54eqtrd 2773 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11626 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2) = βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
5737, 56breqtrrd 5177 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆcprod 15849   βˆ₯ cdvds 16197  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-fmtno 46196
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  46213
  Copyright terms: Public domain W3C validator