Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnodvds 46510
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 46509, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0nnaddcl 12507 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„•)
3 nnm1nn0 12517 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5 1red 11219 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12223 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12485 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12244 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
1110adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11195 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
1712, 16mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))
18 elfz2nn0 13596 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ ((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1341 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)))
20 fzfid 13942 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13600 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) βŠ† β„•0)
23 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2624, 25nn0expcld 14213 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
2724, 26nn0expcld 14213 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12588 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑛)) ∈ β„€)
2928peano2zd 12673 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
3029adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ β„€)
31 df-fmtno 46494 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7114 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ FermatNo:β„•0βŸΆβ„€)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16281 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
34 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) = (FermatNoβ€˜π‘))
3534breq1d 5157 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ↔ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3635rspcv 3607 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘›) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
38 elfznn0 13598 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3938adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
40 fmtnonn 46497 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nncnd 12232 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4320, 42fprodcl 15900 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 2cnd 12294 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
45 nn0cn 12486 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 nncn 12224 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
47 addcl 11194 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
4845, 46, 47syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚)
49 npcan1 11643 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2736 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1))
5251fveq2d 6894 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)))
53 fmtnorec2 46509 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1) + 1)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5552, 54eqtrd 2770 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) = (βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11630 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2) = βˆπ‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) βˆ’ 1))(FermatNoβ€˜π‘˜))
5737, 56breqtrrd 5175 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑁 + 𝑀)) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  βˆcprod 15853   βˆ₯ cdvds 16201  FermatNocfmtno 46493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-fmtno 46494
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  46511
  Copyright terms: Public domain W3C validator