Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 46884
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 46883, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0nnaddcl 12534 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12544 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5 1red 11246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12250 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12271 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11860 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11721 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
1712, 16mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18 elfz2nn0 13625 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1341 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20 fzfid 13971 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13629 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23 2nn0 12520 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2624, 25nn0expcld 14241 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
2724, 26nn0expcld 14241 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12615 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
2928peano2zd 12700 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31 df-fmtno 46868 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7124 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16311 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
3534breq1d 5158 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3635rspcv 3605 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38 elfznn0 13627 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 fmtnonn 46871 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4241nncnd 12259 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
4320, 42fprodcl 15929 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 12321 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45 nn0cn 12513 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46 nncn 12251 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47 addcl 11221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
4845, 46, 47syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49 npcan1 11670 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
5251fveq2d 6901 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53 fmtnorec2 46883 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5552, 54eqtrd 2768 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11657 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
5737, 56breqtrrd 5176 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wss 3947   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  cle 11280  cmin 11475  cn 12243  2c2 12298  0cn0 12503  cz 12589  ...cfz 13517  cexp 14059  cprod 15882  cdvds 16231  FermatNocfmtno 46867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-prod 15883  df-dvds 16232  df-fmtno 46868
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  46885
  Copyright terms: Public domain W3C validator