Theorem fmtnodvds 47668

Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 47667, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnodvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0nnaddcl 12419	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3		nnm1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5		1red 11120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		nn0re 12397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnge1 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
12	5, 7, 9, 11	leadd2dd 11739	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13		readdcl 11096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
14	8, 6, 13	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15		leaddsub 11600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
16	9, 5, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
17	12, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18		elfz2nn0 13520	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
19	1, 4, 17, 18	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20		fzfid 13882	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21		fz0ssnn0 13524	. . . . 5 ⊢ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23		2nn0 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
26	24, 25	nn0expcld 14155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
27	24, 26	nn0expcld 14155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31		df-fmtno 47652	. . . . 5 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
32	30, 31	fmptd 7053	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
33	20, 22, 32	fprodfvdvdsd 16247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
35	34	breq1d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
36	35	rspcv 3569	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
37	19, 33, 36	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38		elfznn0 13522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		fmtnonn 47655	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12148	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
43	20, 42	fprodcl 15861	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 12210	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45		nn0cn 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		nncn 12140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47		addcl 11095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49		npcan1 11549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
51	50	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
52	51	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53		fmtnorec2 47667	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
54	4, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
55	52, 54	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
56	43, 44, 55	mvrraddd 11536	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
57	37, 56	breqtrrd 5121	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ...cfz 13409  ↑cexp 13970  ∏cprod 15812   ∥ cdvds 16165  FermatNocfmtno 47651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-prod 15813  df-dvds 16166  df-fmtno 47652

This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  47669