Theorem fmtnodvds 47528

Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 47527, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnodvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0nnaddcl 12415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3		nnm1nn0 12425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5		1red 11116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6		nnre 12135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		nn0re 12393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnge1 12156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
12	5, 7, 9, 11	leadd2dd 11735	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13		readdcl 11092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
14	8, 6, 13	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15		leaddsub 11596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
16	9, 5, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
17	12, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18		elfz2nn0 13521	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
19	1, 4, 17, 18	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20		fzfid 13880	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21		fz0ssnn0 13525	. . . . 5 ⊢ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23		2nn0 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
26	24, 25	nn0expcld 14153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
27	24, 26	nn0expcld 14153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12583	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31		df-fmtno 47512	. . . . 5 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
32	30, 31	fmptd 7048	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
33	20, 22, 32	fprodfvdvdsd 16245	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
35	34	breq1d 5102	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
36	35	rspcv 3573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
37	19, 33, 36	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38		elfznn0 13523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		fmtnonn 47515	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12144	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
43	20, 42	fprodcl 15859	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 12206	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45		nn0cn 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		nncn 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47		addcl 11091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49		npcan1 11545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
51	50	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
52	51	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53		fmtnorec2 47527	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
54	4, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
55	52, 54	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
56	43, 44, 55	mvrraddd 11532	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
57	37, 56	breqtrrd 5120	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ↑cexp 13968  ∏cprod 15810   ∥ cdvds 16163  FermatNocfmtno 47511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811  df-dvds 16164  df-fmtno 47512

This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  47529