Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 47531
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corollary of fmtnorec2 47530, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0nnaddcl 12557 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12567 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5 1red 11262 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6 nnre 12273 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12535 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 12294 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 11878 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 11238 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 11739 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
1712, 16mpbid 232 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18 elfz2nn0 13658 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20 fzfid 14014 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 13662 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2624, 25nn0expcld 14285 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
2724, 26nn0expcld 14285 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12639 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
2928peano2zd 12725 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31 df-fmtno 47515 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 7134 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 16371 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
3534breq1d 5153 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3635rspcv 3618 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38 elfznn0 13660 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 fmtnonn 47518 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4241nncnd 12282 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
4320, 42fprodcl 15988 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 12344 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45 nn0cn 12536 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46 nncn 12274 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47 addcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
4845, 46, 47syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49 npcan1 11688 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
5251fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53 fmtnorec2 47530 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5552, 54eqtrd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 11675 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
5737, 56breqtrrd 5171 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  cprod 15939  cdvds 16290  FermatNocfmtno 47514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-fmtno 47515
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  47532
  Copyright terms: Public domain W3C validator