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Theorem aaliou3lem8 26324

Description: Lemma for aaliou3 26330. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
aaliou3lem8	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem aaliou3lem8 Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13021	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
2		rpdivcl 13042	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	1, 2	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
4	3	rpred 13059	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		2re 12322	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		1lt2 12419	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
7		expnbnd 14254	. . . . 5 ⊢ (((2 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
8	5, 6, 7	mp3an23 1454	. . . 4 ⊢ ((2 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
11		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
12		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ)
13		nnaddm1cl 12658	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
15		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
16		rerpdivcl 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
17	5, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	11	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
19		reexpcl 14101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
20	5, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
21	11, 12	nnaddcld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ)
22		nnm1nn0 12550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
24		peano2nn0 12549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
26	25	faccld 14306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
28	23	faccld 14306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ)
30	12	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 12711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	27, 31	zsubcld 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		rpexpcl 14103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
34	1, 32, 33	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
36		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
37	17, 20, 36	ltled 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑𝑎))
38	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℝ)
39		1le2 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ 2)
41	11	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
42	28	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
43	18	nn0ge0d 12573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
44	28	nnge1d 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
45	41, 42, 43, 44	lemulge12d 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
46		facp1 14300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
47	23, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
48	47	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
49	28	nncnd 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
50	25	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℂ)
51	12	nncnd 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subdid 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
53	11	nncnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	21	nncnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ)
55		1cnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	npcand 11606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴))
57	53, 51, 56	mvrraddd 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎)
58	57	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
59	48, 52, 58	3eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
60	45, 59	breqtrrd 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
61	11	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62		eluz 12874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
63	61, 32, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
64	60, 63	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎))
65	38, 40, 64	leexp2ad 14276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
66	17, 20, 35, 37, 65	letrd 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
67		rpcnne0 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
69		expsub 14133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
70	68, 27, 31, 69	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
71		2cn 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℂ)
73	12	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
74	28	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ₀)
75	72, 73, 74	expmuld 14172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
76	75	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
77		rpexpcl 14103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
78	1, 27, 77	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
79	78	rpcnd 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℂ)
80		rpexpcl 14103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
81	1, 29, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
82	81, 30	rpexpcld 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℝ⁺)
83	82	rpcnd 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℂ)
84	82	rpne0d 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0)
85	79, 83, 84	divrecd 12028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
86	70, 76, 85	3eqtrrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
87	66, 86	breqtrrd 5151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
88	82	rpreccld 13069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℝ⁺)
89	78, 88	rpmulcld 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpred 13059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
91	38, 90, 15	ledivmuld 13112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
92	87, 91	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
93	15	rpcnd 13061	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	88	rpcnd 13061	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℂ)
95	93, 79, 94	mul12d 11452	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
96	92, 95	breqtrd 5149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
97	15, 88	rpmulcld 13075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
98	97	rpred 13059	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
99	38, 98, 78	ledivmuld 13112	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
100	96, 99	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
101	26	nnnn0d 12570	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀)
102		expneg 14092	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
103	71, 101, 102	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
104	103	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
105	78	rpne0d 13064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ≠ 0)
106	72, 79, 105	divrecd 12028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
107	104, 106	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
108	93, 83, 84	divrecd 12028	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
109	100, 107, 108	3brtr4d 5155	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
110		fvoveq1 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
111	110	negeqd 11484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
112	111	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) = (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))
113	112	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
114		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
115	114	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))))
116	115	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
117	116	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
118	113, 117	breq12d 5136	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
119	118	rspcev 3605	. . 3 ⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
120	14, 109, 119	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
121	10, 120	rexlimddv 3148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2931 ∃wrex 3059 class class class wbr 5123 ‘cfv 6541 (class class class)co 7413 ℂcc 11135 ℝcr 11136 0cc0 11137 1c1 11138 + caddc 11140 · cmul 11142 < clt 11277 ≤ cle 11278 − cmin 11474 -cneg 11475 / cdiv 11902 ℕcn 12248 2c2 12303 ℕ₀cn0 12509 ℤcz 12596 ℤ_≥cuz 12860 ℝ⁺crp 13016 ↑cexp 14084 !cfa 14295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2706 ax-sep 5276 ax-nul 5286 ax-pow 5345 ax-pr 5412 ax-un 7737 ax-cnex 11193 ax-resscn 11194 ax-1cn 11195 ax-icn 11196 ax-addcl 11197 ax-addrcl 11198 ax-mulcl 11199 ax-mulrcl 11200 ax-mulcom 11201 ax-addass 11202 ax-mulass 11203 ax-distr 11204 ax-i2m1 11205 ax-1ne0 11206 ax-1rid 11207 ax-rnegex 11208 ax-rrecex 11209 ax-cnre 11210 ax-pre-lttri 11211 ax-pre-lttrn 11212 ax-pre-ltadd 11213 ax-pre-mulgt0 11214 ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2808 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4888 df-iun 4973 df-br 5124 df-opab 5186 df-mpt 5206 df-tr 5240 df-id 5558 df-eprel 5564 df-po 5572 df-so 5573 df-fr 5617 df-we 5619 df-xp 5671 df-rel 5672 df-cnv 5673 df-co 5674 df-dm 5675 df-rn 5676 df-res 5677 df-ima 5678 df-pred 6301 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7870 df-2nd 7997 df-frecs 8288 df-wrecs 8319 df-recs 8393 df-rdg 8432 df-er 8727 df-en 8968 df-dom 8969 df-sdom 8970 df-sup 9464 df-inf 9465 df-pnf 11279 df-mnf 11280 df-xr 11281 df-ltxr 11282 df-le 11283 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11903 df-nn 12249 df-2 12311 df-n0 12510 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13017 df-fl 13814 df-seq 14025 df-exp 14085 df-fac 14296

This theorem is referenced by: aaliou3lem9 26329

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