| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2rp 13039 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 2 | | rpdivcl 13060 |
. . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 /
𝐵) ∈
ℝ+) |
| 3 | 1, 2 | mpan 690 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ (2 / 𝐵) ∈
ℝ+) |
| 4 | 3 | rpred 13077 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ (2 / 𝐵) ∈
ℝ) |
| 5 | | 2re 12340 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 6 | | 1lt2 12437 |
. . . . 5
⊢ 1 <
2 |
| 7 | | expnbnd 14271 |
. . . . 5
⊢ (((2 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ 2
∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎)) |
| 8 | 5, 6, 7 | mp3an23 1455 |
. . . 4
⊢ ((2 /
𝐵) ∈ ℝ →
∃𝑎 ∈ ℕ (2
/ 𝐵) < (2↑𝑎)) |
| 9 | 4, 8 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ ℝ+
→ ∃𝑎 ∈
ℕ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎)) |
| 10 | 9 | adantl 481 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑎 ∈
ℕ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎)) |
| 11 | | simprl 771 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℕ) |
| 12 | | simpll 767 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℕ) |
| 13 | | nnaddm1cl 12675 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ) |
| 14 | 11, 12, 13 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ) |
| 15 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐵 ∈
ℝ+) |
| 16 | | rerpdivcl 13065 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐵
∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ) |
| 17 | 5, 15, 16 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ∈
ℝ) |
| 18 | 11 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℕ0) |
| 19 | | reexpcl 14119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝑎
∈ ℕ0) → (2↑𝑎) ∈ ℝ) |
| 20 | 5, 18, 19 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑𝑎) ∈
ℝ) |
| 21 | 11, 12 | nnaddcld 12318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ) |
| 22 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ0) |
| 23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈
ℕ0) |
| 24 | | peano2nn0 12566 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0
→ (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℕ0) |
| 25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℕ0) |
| 26 | 25 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ) |
| 27 | 26 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℤ) |
| 28 | 23 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℕ) |
| 29 | 28 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℤ) |
| 30 | 12 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℤ) |
| 31 | 29, 30 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈
ℤ) |
| 32 | 27, 31 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
ℤ) |
| 33 | | rpexpcl 14121 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ+) |
| 34 | 1, 32, 33 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ+) |
| 35 | 34 | rpred 13077 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈
ℝ) |
| 36 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) < (2↑𝑎)) |
| 37 | 17, 20, 36 | ltled 11409 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤ (2↑𝑎)) |
| 38 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2
∈ ℝ) |
| 39 | | 1le2 12475 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ≤
2 |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1 ≤
2) |
| 41 | 11 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℝ) |
| 42 | 28 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℝ) |
| 43 | 18 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 0 ≤
𝑎) |
| 44 | 28 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1 ≤
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) |
| 45 | 41, 42, 43, 44 | lemulge12d 12206 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
| 46 | | facp1 14317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0
→ (!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) =
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
| 47 | 23, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) =
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
| 48 | 47 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
| 49 | 28 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℂ) |
| 50 | 25 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈
ℂ) |
| 51 | 12 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 52 | 49, 50, 51 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
| 53 | 11 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℂ) |
| 54 | 21 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ) |
| 55 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 1
∈ ℂ) |
| 56 | 54, 55 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴)) |
| 57 | 53, 51, 56 | mvrraddd 11675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎) |
| 58 | 57 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
| 59 | 48, 52, 58 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎)) |
| 60 | 45, 59 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) |
| 61 | 11 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝑎 ∈
ℤ) |
| 62 | | eluz 12892 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) →
(((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
| 63 | 61, 32, 62 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
| 64 | 60, 63 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈
(ℤ≥‘𝑎)) |
| 65 | 38, 40, 64 | leexp2ad 14293 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑𝑎) ≤
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
| 66 | 17, 20, 35, 37, 65 | letrd 11418 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
| 67 | | rpcnne0 13053 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (2 ∈
ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
| 68 | 1, 67 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
| 69 | | expsub 14151 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)))) |
| 70 | 68, 27, 31, 69 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)) −
((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)))) |
| 71 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2
∈ ℂ) |
| 73 | 12 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐴 ∈
ℕ0) |
| 74 | 28 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈
ℕ0) |
| 75 | 72, 73, 74 | expmuld 14189 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴)) =
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) |
| 76 | 75 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
(2↑((!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)) ·
𝐴))) =
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
| 77 | | rpexpcl 14121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℝ+) |
| 78 | 1, 27, 77 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℝ+) |
| 79 | 78 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ∈
ℂ) |
| 80 | | rpexpcl 14121 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) →
(2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1))) ∈
ℝ+) |
| 81 | 1, 29, 80 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1))) ∈
ℝ+) |
| 82 | 81, 30 | rpexpcld 14286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈
ℝ+) |
| 83 | 82 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈
ℂ) |
| 84 | 82 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0) |
| 85 | 79, 83, 84 | divrecd 12046 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
| 86 | 70, 76, 85 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))) |
| 87 | 66, 86 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
𝐵) ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
| 88 | 82 | rpreccld 13087 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈
ℝ+) |
| 89 | 78, 88 | rpmulcld 13093 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ+) |
| 90 | 89 | rpred 13077 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ) |
| 91 | 38, 90, 15 | ledivmuld 13130 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((2 /
𝐵) ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))))) |
| 92 | 87, 91 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2 ≤
(𝐵 ·
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
| 93 | 15 | rpcnd 13079 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 94 | 88 | rpcnd 13079 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈
ℂ) |
| 95 | 93, 79, 94 | mul12d 11470 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 ·
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
| 96 | 92, 95 | breqtrd 5169 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → 2 ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))))) |
| 97 | 15, 88 | rpmulcld 13093 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ+) |
| 98 | 97 | rpred 13077 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈
ℝ) |
| 99 | 38, 98, 78 | ledivmuld 13130 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → ((2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤
((2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))
· (𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))))) |
| 100 | 96, 99 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 · (1 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
| 101 | 26 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ0) |
| 102 | | expneg 14110 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈
ℕ0) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
| 103 | 71, 101, 102 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) = (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
| 104 | 103 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1)))))) |
| 105 | 78 | rpne0d 13082 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1))) ≠
0) |
| 106 | 72, 79, 105 | divrecd 12046 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) = (2
· (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))) |
| 107 | 104, 106 | eqtr4d 2780 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 /
(2↑(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1))))) |
| 108 | 93, 83, 84 | divrecd 12046 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
| 109 | 100, 107,
108 | 3brtr4d 5175 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) → (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
| 110 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
| 111 | 110 | negeqd 11502 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) |
| 112 | 111 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) =
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) +
1)))) |
| 113 | 112 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))) |
| 114 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) |
| 115 | 114 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))) |
| 116 | 115 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) |
| 117 | 116 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) |
| 118 | 113, 117 | breq12d 5156 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) ≤ (𝐵 /
((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 ·
(2↑-(!‘(((𝑎 +
𝐴) − 1) + 1)))) ≤
(𝐵 /
((2↑(!‘((𝑎 +
𝐴) − 1)))↑𝐴)))) |
| 119 | 118 | rspcev 3622 |
. . 3
⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2
· (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 ·
(2↑-(!‘(𝑥 +
1)))) ≤ (𝐵 /
((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |
| 120 | 14, 109, 119 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
∧ (𝑎 ∈ ℕ
∧ (2 / 𝐵) <
(2↑𝑎))) →
∃𝑥 ∈ ℕ (2
· (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |
| 121 | 10, 120 | rexlimddv 3161 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑥 ∈
ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴))) |