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Theorem aaliou3lem8 25705
Description: Lemma for aaliou3 25711. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 12920 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12940 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ+)
31, 2mpan 688 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ+)
43rpred 12957 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
5 2re 12227 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 1lt2 12324 . . . . 5 1 < 2
7 expnbnd 14135 . . . . 5 (((2 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
85, 6, 7mp3an23 1453 . . . 4 ((2 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
94, 8syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
109adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
11 simprl 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
12 simpll 765 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ)
13 nnaddm1cl 12560 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
1411, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
15 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
16 rerpdivcl 12945 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
175, 15, 16sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
1811nnnn0d 12473 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 reexpcl 13984 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
205, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
2111, 12nnaddcld 12205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
24 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
2625faccld 14184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
2726nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
2823faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
2928nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ)
3012nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℤ)
3129, 30zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)
3227, 31zsubcld 12612 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ+)
341, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ+)
3534rpred 12957 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
36 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
3717, 20, 36ltled 11303 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑𝑎))
385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℝ)
39 1le2 12362 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ 2)
4111nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
4228nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
4318nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
4428nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
4541, 42, 43, 44lemulge12d 12093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
46 facp1 14178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
4847oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
4928nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
5025nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℂ)
5112nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5249, 50, 51subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
5311nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
5421nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ)
55 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ∈ ℂ)
5654, 55npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴))
5753, 51, 56mvrraddd 11567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎)
5857oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
5948, 52, 583eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
6045, 59breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
6111nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62 eluz 12777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
6361, 32, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
6460, 63mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎))
6538, 40, 64leexp2ad 14157 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
6617, 20, 35, 37, 65letrd 11312 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
67 rpcnne0 12933 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
681, 67mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
69 expsub 14016 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
7068, 27, 31, 69syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
71 2cn 12228 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℂ)
7312nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
7428nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ0)
7572, 73, 74expmuld 14054 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
7675oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
77 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ+)
781, 27, 77sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ+)
7978rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℂ)
80 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ+)
811, 29, 80sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ+)
8281, 30rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℝ+)
8382rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℂ)
8482rpne0d 12962 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0)
8579, 83, 84divrecd 11934 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
8670, 76, 853eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
8766, 86breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
8882rpreccld 12967 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℝ+)
8978, 88rpmulcld 12973 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ+)
9089rpred 12957 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
9138, 90, 15ledivmuld 13010 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
9315rpcnd 12959 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9488rpcnd 12959 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℂ)
9593, 79, 94mul12d 11364 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
9692, 95breqtrd 5131 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
9715, 88rpmulcld 12973 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ+)
9897rpred 12957 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
9938, 98, 78ledivmuld 13010 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
10096, 99mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
10126nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ0)
102 expneg 13975 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ0) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
10371, 101, 102sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
104103oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
10578rpne0d 12962 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ≠ 0)
10672, 79, 105divrecd 11934 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
107104, 106eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
10893, 83, 84divrecd 11934 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
109100, 107, 1083brtr4d 5137 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
110 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
111110negeqd 11395 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
112111oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) = (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))
113112oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
114 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
115114oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))))
116115oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
117116oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
118113, 117breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
119118rspcev 3581 . . 3 ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
12014, 109, 119syl2anc 584 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
12110, 120rexlimddv 3158 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  cexp 13967  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25710
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