aaliou3lem8 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > aaliou3lem8		Structured version Visualization version GIF version

Theorem aaliou3lem8 26409

Description: Lemma for aaliou3 26415. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
aaliou3lem8	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem aaliou3lem8 Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12998	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
2		rpdivcl 13020	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	1, 2	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
4	3	rpred 13037	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		2re 12292	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		1lt2 12390	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
7		expnbnd 14245	. . . . 5 ⊢ (((2 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
8	5, 6, 7	mp3an23 1474	. . . 4 ⊢ ((2 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
10	9	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
11		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
12		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ)
13		nnaddm1cl 12630	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
15		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
16		rerpdivcl 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
17	5, 15, 16	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	11	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
19		reexpcl 14091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
20	5, 18, 19	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
21	11, 12	nnaddcld 12265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ)
22		nnm1nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
24		peano2nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
26	25	faccld 14297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
28	23	faccld 14297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ)
30	12	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 12683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	27, 31	zsubcld 12682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		rpexpcl 14093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
34	1, 32, 33	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 13037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
36		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
37	17, 20, 36	ltled 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑𝑎))
38	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℝ)
39		1le2 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ 2)
41	11	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
42	28	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
43	18	nn0ge0d 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
44	28	nnge1d 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
45	41, 42, 43, 44	lemulge12d 12130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
46		facp1 14291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
47	23, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
48	47	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
49	28	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
50	25	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℂ)
51	12	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subdid 11643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
53	11	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	21	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ)
55		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	npcand 11546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴))
57	53, 51, 56	mvrraddd 11599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎)
58	57	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
59	48, 52, 58	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
60	45, 59	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
61	11	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62		eluz 12853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
63	61, 32, 62	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
64	60, 63	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎))
65	38, 40, 64	leexp2ad 14267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
66	17, 20, 35, 37, 65	letrd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
67		rpcnne0 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
69		expsub 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
70	68, 27, 31, 69	syl12anc 847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
71		2cn 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℂ)
73	12	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
74	28	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ₀)
75	72, 73, 74	expmuld 14162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
76	75	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
77		rpexpcl 14093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
78	1, 27, 77	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
79	78	rpcnd 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℂ)
80		rpexpcl 14093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
81	1, 29, 80	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
82	81, 30	rpexpcld 14260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℝ⁺)
83	82	rpcnd 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℂ)
84	82	rpne0d 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0)
85	79, 83, 84	divrecd 11970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
86	70, 76, 85	3eqtrrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
87	66, 86	breqtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
88	82	rpreccld 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℝ⁺)
89	78, 88	rpmulcld 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpred 13037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
91	38, 90, 15	ledivmuld 13090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
92	87, 91	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
93	15	rpcnd 13039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	88	rpcnd 13039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℂ)
95	93, 79, 94	mul12d 11392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
96	92, 95	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
97	15, 88	rpmulcld 13053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
98	97	rpred 13037	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
99	38, 98, 78	ledivmuld 13090	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
100	96, 99	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
101	26	nnnn0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀)
102		expneg 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
103	71, 101, 102	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
104	103	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
105	78	rpne0d 13042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ≠ 0)
106	72, 79, 105	divrecd 11970	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
107	104, 106	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
108	93, 83, 84	divrecd 11970	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
109	100, 107, 108	3brtr4d 5132	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
110		fvoveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
111	110	negeqd 11424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
112	111	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) = (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))
113	112	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
114		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
115	114	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))))
116	115	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
117	116	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
118	113, 117	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
119	118	rspcev 3581	. . 3 ⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
120	14, 109, 119	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
121	10, 120	rexlimddv 3169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∃wrex 3086 class class class wbr 5100 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 < clt 11216 ≤ cle 11217 − cmin 11414 -cneg 11415 / cdiv 11844 ℕcn 12210 2c2 12272 ℕ₀cn0 12481 ℤcz 12568 ℤ_≥cuz 12839 ℝ⁺crp 12993 ↑cexp 14074 !cfa 14286

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-om 7847 df-2nd 7971 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-er 8678 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-sup 9388 df-inf 9389 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-n0 12482 df-z 12569 df-uz 12840 df-rp 12994 df-fl 13802 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287

This theorem is referenced by: aaliou3lem9 26414

W3C validator