MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem8 25554
Description: Lemma for aaliou3 25560. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 12785 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
2 rpdivcl 12805 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
31, 2mpan 688 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
43rpred 12822 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
5 2re 12097 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
6 1lt2 12194 . . . . 5 1 < 2
7 expnbnd 13997 . . . . 5 (((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
85, 6, 7mp3an23 1453 . . . 4 ((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
94, 8syl 17 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
109adantl 483 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
11 simprl 769 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
12 simpll 765 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
13 nnaddm1cl 12427 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
15 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 rerpdivcl 12810 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
175, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
1811nnnn0d 12343 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 13849 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
205, 18, 19sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
2111, 12nnaddcld 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„•)
22 nnm1nn0 12324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
24 peano2nn0 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14048 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12475 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค)
2823faccld 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
2928nnzd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
3012nnzd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 12482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3227, 31zsubcld 12481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
33 rpexpcl 13851 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
341, 32, 33sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
3534rpred 12822 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
36 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
3717, 20, 36ltled 11173 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘๐‘Ž))
385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
39 1le2 12232 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค 2)
4111nnred 12038 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
4228nnred 12038 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
4318nn0ge0d 12346 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
4428nnge1d 12071 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
4541, 42, 43, 44lemulge12d 11963 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
46 facp1 14042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4847oveq1d 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
4928nncnd 12039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5025nn0cnd 12345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„‚)
5112nncnd 12039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5249, 50, 51subdid 11481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
5311nncnd 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5421nncnd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5654, 55npcand 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘Ž + ๐ด))
5753, 51, 56mvrraddd 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
5857oveq2d 7323 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
5948, 52, 583eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
6045, 59breqtrrd 5109 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
6111nnzd 12475 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
62 eluz 12646 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6361, 32, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž))
6538, 40, 64leexp2ad 14021 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6617, 20, 35, 37, 65letrd 11182 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
67 rpcnne0 12798 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
681, 67mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
69 expsub 13881 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
7068, 27, 31, 69syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
71 2cn 12098 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7312nnnn0d 12343 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
7428nnnn0d 12343 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7572, 73, 74expmuld 13917 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
7675oveq2d 7323 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
77 rpexpcl 13851 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
781, 27, 77sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
7978rpcnd 12824 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„‚)
80 rpexpcl 13851 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
811, 29, 80sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
8281, 30rpexpcld 14012 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8382rpcnd 12824 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
8482rpne0d 12827 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โ‰  0)
8579, 83, 84divrecd 11804 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8670, 76, 853eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) = (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
8766, 86breqtrrd 5109 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8882rpreccld 12832 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
8978, 88rpmulcld 12838 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9089rpred 12822 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9138, 90, 15ledivmuld 12875 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9315rpcnd 12824 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9488rpcnd 12824 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9593, 79, 94mul12d 11234 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9692, 95breqtrd 5107 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9715, 88rpmulcld 12838 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9897rpred 12822 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9938, 98, 78ledivmuld 12875 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
10096, 99mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
10126nnnn0d 12343 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0)
102 expneg 13840 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10371, 101, 102sylancr 588 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
104103oveq2d 7323 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
10578rpne0d 12827 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โ‰  0)
10672, 79, 105divrecd 11804 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
107104, 106eqtr4d 2779 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10893, 83, 84divrecd 11804 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
109100, 107, 1083brtr4d 5113 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
110 fvoveq1 7330 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
111110negeqd 11265 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ -(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = -(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
112111oveq2d 7323 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1))) = (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))
113112oveq2d 7323 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) = (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
114 fveq2 6804 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
115114oveq2d 7323 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ)) = (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))))
116115oveq1d 7322 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
117116oveq2d 7323 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) = (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
118113, 117breq12d 5094 . . . 4 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) โ†” (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
119118rspcev 3566 . . 3 ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12014, 109, 119syl2anc 585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12110, 120rexlimddv 3155 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5081  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  โ„‚cc 10919  โ„cr 10920  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   ยท cmul 10926   < clt 11059   โ‰ค cle 11060   โˆ’ cmin 11255  -cneg 11256   / cdiv 11682  โ„•cn 12023  2c2 12078  โ„•0cn0 12283  โ„คcz 12369  โ„คโ‰ฅcuz 12632  โ„+crp 12780  โ†‘cexp 13832  !cfa 14037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fl 13562  df-seq 13772  df-exp 13833  df-fac 14038
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25559
  Copyright terms: Public domain W3C validator