aaliou3lem8 - Metamath Proof Explorer

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Theorem aaliou3lem8 25210

Description: Lemma for aaliou3 25216. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
aaliou3lem8	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem aaliou3lem8 Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12574	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
2		rpdivcl 12594	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	1, 2	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
4	3	rpred 12611	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		2re 11887	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		1lt2 11984	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
7		expnbnd 13782	. . . . 5 ⊢ (((2 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
8	5, 6, 7	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ ((2 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
10	9	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
11		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
12		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ)
13		nnaddm1cl 12217	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
15		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
16		rerpdivcl 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
17	5, 15, 16	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	11	nnnn0d 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
19		reexpcl 13635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
20	5, 18, 19	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
21	11, 12	nnaddcld 11865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ)
22		nnm1nn0 12114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀)
24		peano2nn0 12113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ₀)
26	25	faccld 13833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
28	23	faccld 13833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ)
30	12	nnzd 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)
32	27, 31	zsubcld 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33		rpexpcl 13637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
34	1, 32, 33	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
36		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
37	17, 20, 36	ltled 10963	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑𝑎))
38	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℝ)
39		1le2 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ 2)
41	11	nnred 11828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
42	28	nnred 11828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
43	18	nn0ge0d 12136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
44	28	nnge1d 11861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
45	41, 42, 43, 44	lemulge12d 11753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
46		facp1 13827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
47	23, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
48	47	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
49	28	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
50	25	nn0cnd 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℂ)
51	12	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	subdid 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
53	11	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
54	21	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ)
55		1cnd 10811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	npcand 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴))
57	53, 51, 56	mvrraddd 11227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎)
58	57	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
59	48, 52, 58	3eqtr2d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
60	45, 59	breqtrrd 5071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
61	11	nnzd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62		eluz 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
63	61, 32, 62	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
64	60, 63	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ_≥‘𝑎))
65	38, 40, 64	leexp2ad 13806	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
66	17, 20, 35, 37, 65	letrd 10972	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
67		rpcnne0 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68	1, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
69		expsub 13666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
70	68, 27, 31, 69	syl12anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
71		2cn 11888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℂ)
73	12	nnnn0d 12133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ₀)
74	28	nnnn0d 12133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ₀)
75	72, 73, 74	expmuld 13702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
76	75	oveq2d 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
77		rpexpcl 13637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
78	1, 27, 77	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ⁺)
79	78	rpcnd 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℂ)
80		rpexpcl 13637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
81	1, 29, 80	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ⁺)
82	81, 30	rpexpcld 13797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℝ⁺)
83	82	rpcnd 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℂ)
84	82	rpne0d 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0)
85	79, 83, 84	divrecd 11594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
86	70, 76, 85	3eqtrrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
87	66, 86	breqtrrd 5071	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
88	82	rpreccld 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℝ⁺)
89	78, 88	rpmulcld 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpred 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
91	38, 90, 15	ledivmuld 12664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
92	87, 91	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
93	15	rpcnd 12613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	88	rpcnd 12613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℂ)
95	93, 79, 94	mul12d 11024	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
96	92, 95	breqtrd 5069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
97	15, 88	rpmulcld 12627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ⁺)
98	97	rpred 12611	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
99	38, 98, 78	ledivmuld 12664	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
100	96, 99	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
101	26	nnnn0d 12133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀)
102		expneg 13626	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ₀) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
103	71, 101, 102	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
104	103	oveq2d 7218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
105	78	rpne0d 12616	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ≠ 0)
106	72, 79, 105	divrecd 11594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
107	104, 106	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
108	93, 83, 84	divrecd 11594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
109	100, 107, 108	3brtr4d 5075	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
110		fvoveq1 7225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
111	110	negeqd 11055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
112	111	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) = (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))
113	112	oveq2d 7218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
114		fveq2 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
115	114	oveq2d 7218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))))
116	115	oveq1d 7217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
117	116	oveq2d 7218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
118	113, 117	breq12d 5056	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
119	118	rspcev 3530	. . 3 ⊢ ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
120	14, 109, 119	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
121	10, 120	rexlimddv 3203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2935 ∃wrex 3055 class class class wbr 5043 ‘cfv 6369 (class class class)co 7202 ℂcc 10710 ℝcr 10711 0cc0 10712 1c1 10713 + caddc 10715 · cmul 10717 < clt 10850 ≤ cle 10851 − cmin 11045 -cneg 11046 / cdiv 11472 ℕcn 11813 2c2 11868 ℕ₀cn0 12073 ℤcz 12159 ℤ_≥cuz 12421 ℝ⁺crp 12569 ↑cexp 13618 !cfa 13822

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5181 ax-nul 5188 ax-pow 5247 ax-pr 5311 ax-un 7512 ax-cnex 10768 ax-resscn 10769 ax-1cn 10770 ax-icn 10771 ax-addcl 10772 ax-addrcl 10773 ax-mulcl 10774 ax-mulrcl 10775 ax-mulcom 10776 ax-addass 10777 ax-mulass 10778 ax-distr 10779 ax-i2m1 10780 ax-1ne0 10781 ax-1rid 10782 ax-rnegex 10783 ax-rrecex 10784 ax-cnre 10785 ax-pre-lttri 10786 ax-pre-lttrn 10787 ax-pre-ltadd 10788 ax-pre-mulgt0 10789 ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2812 df-nfc 2882 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3059 df-rex 3060 df-reu 3061 df-rmo 3062 df-rab 3063 df-v 3403 df-sbc 3688 df-csb 3803 df-dif 3860 df-un 3862 df-in 3864 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4228 df-if 4430 df-pw 4505 df-sn 4532 df-pr 4534 df-tp 4536 df-op 4538 df-uni 4810 df-iun 4896 df-br 5044 df-opab 5106 df-mpt 5125 df-tr 5151 df-id 5444 df-eprel 5449 df-po 5457 df-so 5458 df-fr 5498 df-we 5500 df-xp 5546 df-rel 5547 df-cnv 5548 df-co 5549 df-dm 5550 df-rn 5551 df-res 5552 df-ima 5553 df-pred 6149 df-ord 6205 df-on 6206 df-lim 6207 df-suc 6208 df-iota 6327 df-fun 6371 df-fn 6372 df-f 6373 df-f1 6374 df-fo 6375 df-f1o 6376 df-fv 6377 df-riota 7159 df-ov 7205 df-oprab 7206 df-mpo 7207 df-om 7634 df-2nd 7751 df-wrecs 8036 df-recs 8097 df-rdg 8135 df-er 8380 df-en 8616 df-dom 8617 df-sdom 8618 df-sup 9047 df-inf 9048 df-pnf 10852 df-mnf 10853 df-xr 10854 df-ltxr 10855 df-le 10856 df-sub 11047 df-neg 11048 df-div 11473 df-nn 11814 df-2 11876 df-n0 12074 df-z 12160 df-uz 12422 df-rp 12570 df-fl 13350 df-seq 13558 df-exp 13619 df-fac 13823

This theorem is referenced by: aaliou3lem9 25215

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