MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem8 25858
Description: Lemma for aaliou3 25864. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 12979 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
2 rpdivcl 12999 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
31, 2mpan 689 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
43rpred 13016 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
5 2re 12286 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
6 1lt2 12383 . . . . 5 1 < 2
7 expnbnd 14195 . . . . 5 (((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
85, 6, 7mp3an23 1454 . . . 4 ((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
94, 8syl 17 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
109adantl 483 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
11 simprl 770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
12 simpll 766 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
13 nnaddm1cl 12619 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 rerpdivcl 13004 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
175, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
1811nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 14044 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
205, 18, 19sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
2111, 12nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„•)
22 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
24 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14244 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค)
2823faccld 14244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
2928nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
3012nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3227, 31zsubcld 12671 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
33 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
341, 32, 33sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
3534rpred 13016 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
36 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
3717, 20, 36ltled 11362 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘๐‘Ž))
385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
39 1le2 12421 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค 2)
4111nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
4228nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
4318nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
4428nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
4541, 42, 43, 44lemulge12d 12152 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
46 facp1 14238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4847oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
4928nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5025nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„‚)
5112nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5249, 50, 51subdid 11670 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
5311nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5421nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5654, 55npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘Ž + ๐ด))
5753, 51, 56mvrraddd 11626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
5857oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
5948, 52, 583eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
6045, 59breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
6111nnzd 12585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
62 eluz 12836 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6361, 32, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž))
6538, 40, 64leexp2ad 14217 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6617, 20, 35, 37, 65letrd 11371 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
67 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
681, 67mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
69 expsub 14076 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
7068, 27, 31, 69syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
71 2cn 12287 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7312nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
7428nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7572, 73, 74expmuld 14114 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
7675oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
77 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
781, 27, 77sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
7978rpcnd 13018 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„‚)
80 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
811, 29, 80sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
8281, 30rpexpcld 14210 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8382rpcnd 13018 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
8482rpne0d 13021 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โ‰  0)
8579, 83, 84divrecd 11993 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8670, 76, 853eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) = (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
8766, 86breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8882rpreccld 13026 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
8978, 88rpmulcld 13032 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9089rpred 13016 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9138, 90, 15ledivmuld 13069 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9315rpcnd 13018 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9488rpcnd 13018 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9593, 79, 94mul12d 11423 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9692, 95breqtrd 5175 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9715, 88rpmulcld 13032 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9897rpred 13016 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9938, 98, 78ledivmuld 13069 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
10096, 99mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
10126nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0)
102 expneg 14035 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10371, 101, 102sylancr 588 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
104103oveq2d 7425 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
10578rpne0d 13021 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โ‰  0)
10672, 79, 105divrecd 11993 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
107104, 106eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10893, 83, 84divrecd 11993 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
109100, 107, 1083brtr4d 5181 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
110 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
111110negeqd 11454 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ -(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = -(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
112111oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1))) = (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))
113112oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) = (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
114 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
115114oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ)) = (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))))
116115oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
117116oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) = (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
118113, 117breq12d 5162 . . . 4 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) โ†” (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
119118rspcev 3613 . . 3 ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12014, 109, 119syl2anc 585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12110, 120rexlimddv 3162 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25863
  Copyright terms: Public domain W3C validator