MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem8 26094
Description: Lemma for aaliou3 26100. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 12983 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
2 rpdivcl 13003 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
31, 2mpan 686 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
43rpred 13020 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
5 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
6 1lt2 12387 . . . . 5 1 < 2
7 expnbnd 14199 . . . . 5 (((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
85, 6, 7mp3an23 1451 . . . 4 ((2 / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
94, 8syl 17 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
109adantl 480 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
11 simprl 767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
12 simpll 763 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
13 nnaddm1cl 12623 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13syl2anc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
15 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 rerpdivcl 13008 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
175, 15, 16sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โˆˆ โ„)
1811nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 14048 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
205, 18, 19sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„)
2111, 12nnaddcld 12268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„•)
22 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
24 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค)
2823faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
2928nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
3012nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3227, 31zsubcld 12675 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
33 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
341, 32, 33sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„+)
3534rpred 13020 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
36 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))
3717, 20, 36ltled 11366 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘๐‘Ž))
385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
39 1le2 12425 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค 2)
4111nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
4228nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
4318nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
4428nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
4541, 42, 43, 44lemulge12d 12156 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
46 facp1 14242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
4847oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
4928nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5025nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„‚)
5112nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5249, 50, 51subdid 11674 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = (((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
5311nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5421nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐‘Ž + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5654, 55npcand 11579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘Ž + ๐ด))
5753, 51, 56mvrraddd 11630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
5857oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
5948, 52, 583eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐‘Ž))
6045, 59breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
6111nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
62 eluz 12840 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6361, 32, 62syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘Ž โ‰ค ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6460, 63mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž))
6538, 40, 64leexp2ad 14221 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘๐‘Ž) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
6617, 20, 35, 37, 65letrd 11375 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
67 rpcnne0 12996 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
681, 67mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
69 expsub 14080 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
7068, 27, 31, 69syl12anc 833 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
71 2cn 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7312nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
7428nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7572, 73, 74expmuld 14118 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
7675oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / (2โ†‘((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
77 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
781, 27, 77sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„+)
7978rpcnd 13022 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ โ„‚)
80 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
811, 29, 80sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
8281, 30rpexpcld 14214 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8382rpcnd 13022 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
8482rpne0d 13025 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด) โ‰  0)
8579, 83, 84divrecd 11997 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8670, 76, 853eqtrrd 2775 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) = (2โ†‘((!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆ’ ((!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
8766, 86breqtrrd 5175 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
8882rpreccld 13030 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
8978, 88rpmulcld 13036 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9089rpred 13020 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9138, 90, 15ledivmuld 13073 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / ๐ต) โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9315rpcnd 13022 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9488rpcnd 13022 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9593, 79, 94mul12d 11427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))) = ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9692, 95breqtrd 5173 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))))
9715, 88rpmulcld 13036 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„+)
9897rpred 13020 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โˆˆ โ„)
9938, 98, 78ledivmuld 13073 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ ((2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†” 2 โ‰ค ((2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) ยท (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))))
10096, 99mpbird 256 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
10126nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0)
102 expneg 14039 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10371, 101, 102sylancr 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) = (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
104103oveq2d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
10578rpne0d 13025 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))) โ‰  0)
10672, 79, 105divrecd 11997 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 ยท (1 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))))
107104, 106eqtr4d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) = (2 / (2โ†‘(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
10893, 83, 84divrecd 11997 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)) = (๐ต ยท (1 / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
109100, 107, 1083brtr4d 5179 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
110 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
111110negeqd 11458 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ -(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = -(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))
112111oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1))) = (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1))))
113112oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) = (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))))
114 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))
115114oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ)) = (2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1))))
116115oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด) = ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))
117116oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) = (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด)))
118113, 117breq12d 5160 . . . 4 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)) โ†” (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))))
119118rspcev 3611 . . 3 ((((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1) + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜((๐‘Ž + ๐ด) โˆ’ 1)))โ†‘๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12014, 109, 119syl2anc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (2 / ๐ต) < (2โ†‘๐‘Ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
12110, 120rexlimddv 3159 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘ฅ + 1)))) โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘ฅ))โ†‘๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26099
  Copyright terms: Public domain W3C validator