Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5elem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5elem 40044
Description: Version of fltaccoprm 40033 and fltbccoprm 40034 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16160, dvds2addd 15730, and prmdvdsexp 16149, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5elem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5elem (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem5elem.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2 flt4lem5elem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 flt4lem5elem.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
42, 3prmdvdsncoprmbd 16160 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
54necon2bbid 2977 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
61, 5mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆))
7 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
8 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 prmz 16109 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11 flt4lem5elem.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
142nnsqcld 13690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
1514nnzd 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
182nnzd 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20 prmdvdssq 16152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
218, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
227, 21mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
2310, 13, 16, 17, 22dvds2subd 15731 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
2414nncnd 11725 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
263nnsqcld 13690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
2726nncnd 11725 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29 flt4lem5elem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3125, 28, 30mvrladdd 11124 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
3223, 31breqtrd 5053 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
333nnzd 12160 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3433ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35 prmdvdssq 16152 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
368, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
3732, 36mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
387, 37jca 515 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
3938ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑅𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
4039reximdva 3183 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
416, 40mtod 201 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀))
422, 11prmdvdsncoprmbd 16160 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
4342necon2bbid 2977 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀)))
4441, 43mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
4645, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4712ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4826nnzd 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
4948ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
51 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
5233ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5345, 52, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
5451, 53mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
5546, 47, 49, 50, 54dvds2subd 15731 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
5624ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5727ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5829ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5956, 57, 58mvrraddd 11123 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
6055, 59breqtrd 5053 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
6118ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
6245, 61, 20syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
6360, 62mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
6463, 51jca 515 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
6564ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑆𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
6665reximdva 3183 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
676, 66mtod 201 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀))
683, 11prmdvdsncoprmbd 16160 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
6968necon2bbid 2977 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀)))
7067, 69mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
7144, 70jca 515 1 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wrex 3054   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  cc 10606  1c1 10609   + caddc 10611  cmin 10941  cn 11709  2c2 11764  cz 12055  cexp 13514  cdvds 15692   gcd cgcd 15930  cprime 16105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  40049
  Copyright terms: Public domain W3C validator