Theorem flt4lem5elem 42772

Description: Version of fltaccoprm 42761 and fltbccoprm 42762 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16642, dvds2addd 16207, and prmdvdsexp 16630, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5elem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5elem	⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5elem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2		flt4lem5elem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		flt4lem5elem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
4	2, 3	prmdvdsncoprmbd 16642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
5	4	necon2bbid 2972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
8		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		prmz 16590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11		flt4lem5elem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	2	nnsqcld 14155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
18	2	nnzd 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20		prmdvdssq 16633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
21	8, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
22	7, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
23	10, 13, 16, 17, 22	dvds2subd 16208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
24	14	nncnd 12150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
26	3	nnsqcld 14155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29		flt4lem5elem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
31	25, 28, 30	mvrladdd 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
32	23, 31	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
33	3	nnzd 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35		prmdvdssq 16633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
36	8, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
37	32, 36	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
38	7, 37	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
40	39	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
41	6, 40	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
42	2, 11	prmdvdsncoprmbd 16642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
43	42	necon2bbid 2972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
44	41, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	45, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
47	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
48	26	nnzd 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
51		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
52	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
53	45, 52, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
54	51, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
55	46, 47, 49, 50, 54	dvds2subd 16208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
56	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
57	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
58	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
59	56, 57, 58	mvrraddd 11538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
60	55, 59	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
61	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
62	45, 61, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
63	60, 62	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
64	63, 51	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
65	64	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
66	65	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
67	6, 66	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
68	3, 11	prmdvdsncoprmbd 16642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
69	68	necon2bbid 2972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
70	67, 69	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
71	44, 70	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  1c1 11016   + caddc 11018   − cmin 11353  ℕcn 12134  2c2 12189  ℤcz 12477  ↑cexp 13972   ∥ cdvds 16167   gcd cgcd 16409  ℙcprime 16586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-dvds 16168  df-gcd 16410  df-prm 16587

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42777