Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5elem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5elem 41393
Description: Version of fltaccoprm 41382 and fltbccoprm 41383 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16663, dvds2addd 16235, and prmdvdsexp 16652, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5elem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5elem (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem5elem.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2 flt4lem5elem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 flt4lem5elem.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
42, 3prmdvdsncoprmbd 16663 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
54necon2bbid 2985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆))
7 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
8 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 prmz 16612 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11 flt4lem5elem.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
142nnsqcld 14207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
1514nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
182nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20 prmdvdssq 16655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
218, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
227, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
2310, 13, 16, 17, 22dvds2subd 16236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
2414nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
263nnsqcld 14207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
2726nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29 flt4lem5elem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3125, 28, 30mvrladdd 11627 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
3223, 31breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
333nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35 prmdvdssq 16655 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
368, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
387, 37jca 513 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
3938ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑅𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
4039reximdva 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
416, 40mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀))
422, 11prmdvdsncoprmbd 16663 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
4342necon2bbid 2985 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀)))
4441, 43mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
4645, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4712ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4826nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
51 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
5233ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5345, 52, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
5546, 47, 49, 50, 54dvds2subd 16236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
5624ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5727ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5829ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5956, 57, 58mvrraddd 11626 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
6055, 59breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
6118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
6245, 61, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
6360, 62mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
6463, 51jca 513 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
6564ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑆𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
6665reximdva 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
676, 66mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀))
683, 11prmdvdsncoprmbd 16663 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
6968necon2bbid 2985 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀)))
7067, 69mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
7144, 70jca 513 1 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113  cmin 11444  cn 12212  2c2 12267  cz 12558  cexp 14027  cdvds 16197   gcd cgcd 16435  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  41398
  Copyright terms: Public domain W3C validator