Theorem flt4lem5elem 42666

Description: Version of fltaccoprm 42655 and fltbccoprm 42656 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16765, dvds2addd 16330, and prmdvdsexp 16753, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5elem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5elem	⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5elem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2		flt4lem5elem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		flt4lem5elem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
4	2, 3	prmdvdsncoprmbd 16765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
5	4	necon2bbid 2983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
8		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		prmz 16713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11		flt4lem5elem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	2	nnsqcld 14284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
18	2	nnzd 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20		prmdvdssq 16756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
21	8, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
22	7, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
23	10, 13, 16, 17, 22	dvds2subd 16331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
24	14	nncnd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
26	3	nnsqcld 14284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29		flt4lem5elem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
31	25, 28, 30	mvrladdd 11677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
32	23, 31	breqtrd 5168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
33	3	nnzd 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35		prmdvdssq 16756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
36	8, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
37	32, 36	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
38	7, 37	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
40	39	reximdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
41	6, 40	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
42	2, 11	prmdvdsncoprmbd 16765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
43	42	necon2bbid 2983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
44	41, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	45, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
47	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
48	26	nnzd 12642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
51		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
52	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
53	45, 52, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
54	51, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
55	46, 47, 49, 50, 54	dvds2subd 16331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
56	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
57	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
58	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
59	56, 57, 58	mvrraddd 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
60	55, 59	breqtrd 5168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
61	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
62	45, 61, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
63	60, 62	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
64	63, 51	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
65	64	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
66	65	reximdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
67	6, 66	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
68	3, 11	prmdvdsncoprmbd 16765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
69	68	necon2bbid 2983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
70	67, 69	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
71	44, 70	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  1c1 11157   + caddc 11159   − cmin 11493  ℕcn 12267  2c2 12322  ℤcz 12615  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291   gcd cgcd 16532  ℙcprime 16709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42671