Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5elem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5elem 41032
Description: Version of fltaccoprm 41021 and fltbccoprm 41022 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16607, dvds2addd 16179, and prmdvdsexp 16596, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5elem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5elem (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem5elem.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2 flt4lem5elem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 flt4lem5elem.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
42, 3prmdvdsncoprmbd 16607 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
54necon2bbid 2984 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆))
7 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
8 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 prmz 16556 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11 flt4lem5elem.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
142nnsqcld 14153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
1514nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
182nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20 prmdvdssq 16599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
218, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
227, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
2310, 13, 16, 17, 22dvds2subd 16180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
2414nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
263nnsqcld 14153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
2726nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29 flt4lem5elem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3125, 28, 30mvrladdd 11573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
3223, 31breqtrd 5132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
333nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35 prmdvdssq 16599 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
368, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
387, 37jca 513 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
3938ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑅𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
4039reximdva 3162 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
416, 40mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀))
422, 11prmdvdsncoprmbd 16607 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
4342necon2bbid 2984 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀)))
4441, 43mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
4645, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4712ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4826nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
51 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
5233ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5345, 52, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
5546, 47, 49, 50, 54dvds2subd 16180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
5624ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5727ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5829ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5956, 57, 58mvrraddd 11572 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
6055, 59breqtrd 5132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
6118ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
6245, 61, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
6360, 62mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
6463, 51jca 513 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
6564ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑆𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
6665reximdva 3162 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
676, 66mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀))
683, 11prmdvdsncoprmbd 16607 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
6968necon2bbid 2984 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀)))
7067, 69mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
7144, 70jca 513 1 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  cn 12158  2c2 12213  cz 12504  cexp 13973  cdvds 16141   gcd cgcd 16379  cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  41037
  Copyright terms: Public domain W3C validator