Theorem flt4lem5elem 43416

Description: Version of fltaccoprm 43405 and fltbccoprm 43406 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16803, dvds2addd 16367, and prmdvdsexp 16791, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5elem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5elem	⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5elem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2		flt4lem5elem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		flt4lem5elem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
4	2, 3	prmdvdsncoprmbd 16803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
5	4	necon2bbid 3003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
8		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		prmz 16750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11		flt4lem5elem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	2	nnsqcld 14293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
18	2	nnzd 12628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20		prmdvdssq 16794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
21	8, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
22	7, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
23	10, 13, 16, 17, 22	dvds2subd 16368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
24	14	nncnd 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
26	3	nnsqcld 14293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29		flt4lem5elem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
31	25, 28, 30	mvrladdd 11638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
32	23, 31	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
33	3	nnzd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35		prmdvdssq 16794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
36	8, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
37	32, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
38	7, 37	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
39	38	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
40	39	reximdva 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
41	6, 40	mtod 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
42	2, 11	prmdvdsncoprmbd 16803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
43	42	necon2bbid 3003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
44	41, 43	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	45, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
47	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
48	26	nnzd 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
51		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
52	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
53	45, 52, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
55	46, 47, 49, 50, 54	dvds2subd 16368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
56	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
57	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
58	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
59	56, 57, 58	mvrraddd 11637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
60	55, 59	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
61	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
62	45, 61, 20	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
63	60, 62	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
64	63, 51	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
65	64	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
66	65	reximdva 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
67	6, 66	mtod 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
68	3, 11	prmdvdsncoprmbd 16803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
69	68	necon2bbid 3003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
70	67, 69	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
71	44, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452  ℕcn 12244  2c2 12306  ℤcz 12602  ↑cexp 14110   ∥ cdvds 16327   gcd cgcd 16569  ℙcprime 16746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747

This theorem is used by:  flt4lem5e  43421