Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5elem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5elem 42638
Description: Version of fltaccoprm 42627 and fltbccoprm 42628 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16761, dvds2addd 16326, and prmdvdsexp 16749, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5elem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5elem (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem5elem.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2 flt4lem5elem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 flt4lem5elem.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
42, 3prmdvdsncoprmbd 16761 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
54necon2bbid 2982 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
61, 5mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆))
7 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
8 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 prmz 16709 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11 flt4lem5elem.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
142nnsqcld 14280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
1514nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
182nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20 prmdvdssq 16752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
218, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
227, 21mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
2310, 13, 16, 17, 22dvds2subd 16327 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
2414nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
263nnsqcld 14280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
2726nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29 flt4lem5elem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
3125, 28, 30mvrladdd 11674 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
3223, 31breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
333nnzd 12638 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3433ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35 prmdvdssq 16752 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
368, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
387, 37jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑅𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
3938ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑅𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
4039reximdva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
416, 40mtod 198 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀))
422, 11prmdvdsncoprmbd 16761 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
4342necon2bbid 2982 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑀)))
4441, 43mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
4645, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4712ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4826nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
4948ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑀)
51 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑆)
5233ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
5345, 52, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑆𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
5451, 53mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
5546, 47, 49, 50, 54dvds2subd 16327 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
5624ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5727ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5829ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5956, 57, 58mvrraddd 11673 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
6055, 59breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
6118ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
6245, 61, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
6360, 62mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → 𝑝𝑅)
6463, 51jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑆𝑝𝑀)) → (𝑝𝑅𝑝𝑆))
6564ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑆𝑝𝑀) → (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
6665reximdva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑅𝑝𝑆)))
676, 66mtod 198 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀))
683, 11prmdvdsncoprmbd 16761 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
6968necon2bbid 2982 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑆𝑝𝑀)))
7067, 69mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
7144, 70jca 511 1 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42643
  Copyright terms: Public domain W3C validator