Theorem flt4lem5elem 40488

Description: Version of fltaccoprm 40477 and fltbccoprm 40478 where 𝑀 is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16431, dvds2addd 16001, and prmdvdsexp 16420, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5elem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
flt4lem5elem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
flt4lem5elem.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5elem	⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Proof of Theorem flt4lem5elem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5elem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
2		flt4lem5elem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		flt4lem5elem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
4	2, 3	prmdvdsncoprmbd 16431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆) ↔ (𝑅 gcd 𝑆) ≠ 1))
5	4	necon2bbid 2987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
6	1, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
7		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
8		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		prmz 16380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
11		flt4lem5elem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	2	nnsqcld 13959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℤ)
17		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
18	2	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
20		prmdvdssq 16423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
21	8, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
22	7, 21	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
23	10, 13, 16, 17, 22	dvds2subd 16002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑅↑2)))
24	14	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
26	3	nnsqcld 13959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℕ)
27	26	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
29		flt4lem5elem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
30	29	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
31	25, 28, 30	mvrladdd 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑅↑2)) = (𝑆↑2))
32	23, 31	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
33	3	nnzd 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
34	33	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
35		prmdvdssq 16423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
36	8, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
37	32, 36	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
38	7, 37	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
39	38	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
40	39	reximdva 3203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
41	6, 40	mtod 197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
42	2, 11	prmdvdsncoprmbd 16431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑅 gcd 𝑀) ≠ 1))
43	42	necon2bbid 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
44	41, 43	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
45		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	45, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
47	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
48	26	nnzd 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℤ)
50		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
51		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑆)
52	33	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑆 ∈ ℤ)
53	45, 52, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑆 ↔ 𝑝 ∥ (𝑆↑2)))
54	51, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑆↑2))
55	46, 47, 49, 50, 54	dvds2subd 16002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑀 − (𝑆↑2)))
56	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
57	27	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
58	29	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
59	56, 57, 58	mvrraddd 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑆↑2)) = (𝑅↑2))
60	55, 59	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ (𝑅↑2))
61	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑅 ∈ ℤ)
62	45, 61, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑝 ∥ (𝑅↑2)))
63	60, 62	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → 𝑝 ∥ 𝑅)
64	63, 51	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆))
65	64	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
66	65	reximdva 3203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ 𝑝 ∥ 𝑆)))
67	6, 66	mtod 197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀))
68	3, 11	prmdvdsncoprmbd 16431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀) ↔ (𝑆 gcd 𝑀) ≠ 1))
69	68	necon2bbid 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑆 ∧ 𝑝 ∥ 𝑀)))
70	67, 69	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
71	44, 70	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  40493