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Theorem ptolemy 26381
Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 16119, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptolemy (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜πΆ) Β· (sinβ€˜π·))) = ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))))

Proof of Theorem ptolemy
StepHypRef Expression
1 addcl 11191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚)
213ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚)
32coscld 16078 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)) ∈ β„‚)
43negnegd 11563 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ --(cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)) = (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)))
5 addlid 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ β†’ (0 + (𝐢 + 𝐷)) = (𝐢 + 𝐷))
65oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ β†’ ((0 + (𝐢 + 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))))
72, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((0 + (𝐢 + 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))))
8 0cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ 0 ∈ β„‚)
9 addcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
11103adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
128, 11, 2pnpcan2d 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((0 + (𝐢 + 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))) = (0 βˆ’ (𝐴 + 𝐡)))
13 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€)
1413oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€))
157, 12, 143eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€) = (0 βˆ’ (𝐴 + 𝐡)))
16 df-neg 11448 . . . . . . . . . . . 12 -(𝐴 + 𝐡) = (0 βˆ’ (𝐴 + 𝐡))
1715, 16eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€) = -(𝐴 + 𝐡))
1817fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€)) = (cosβ€˜-(𝐴 + 𝐡)))
19 cosmpi 26373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€)) = -(cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐢 + 𝐷) βˆ’ Ο€)) = -(cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)))
21 cosneg 16094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜-(𝐴 + 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜-(𝐴 + 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))
2318, 20, 223eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ -(cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)) = (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))
2423negeqd 11455 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ --(cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)) = -(cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))
254, 24eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷)) = -(cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))
2625oveq2d 7420 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) = ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ -(cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))))
27 subcl 11460 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
2928coscld 16078 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) ∈ β„‚)
30293adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) ∈ β„‚)
3111coscld 16078 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
3230, 31subnegd 11579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ -(cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) = ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))))
3326, 32eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) = ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))))
3433oveq1d 7419 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2) = (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2))
3534oveq2d 7420 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2)) = ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2)))
36 subcl 11460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
37363ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
3837coscld 16078 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
3938, 31subcld 11572 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ β„‚)
4030, 31addcld 11234 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ β„‚)
41 2cnne0 12423 . . . . . 6 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
4241a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
43 divdir 11898 . . . . 5 ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))) / 2) = ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))) / 2) = ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2)))
4538, 31, 30nppcan3d 11599 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))) = ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
4645oveq1d 7419 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + ((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)))) / 2) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
4744, 46eqtr3d 2768 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) + (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2)) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
4835, 47eqtrd 2766 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2)) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
49 sinmul 16119 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2))
50493ad2ant1 1130 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2))
51 sinmul 16119 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜πΆ) Β· (sinβ€˜π·)) = (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2))
52513ad2ant2 1131 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((sinβ€˜πΆ) Β· (sinβ€˜π·)) = (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2))
5350, 52oveq12d 7422 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜πΆ) Β· (sinβ€˜π·))) = ((((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡))) / 2) + (((cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ (cosβ€˜(𝐢 + 𝐷))) / 2)))
54 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
55 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
56 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5754, 55, 56pnpcan2d 11610 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ ((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5857fveq2d 6888 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) = (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
59583adant3 1129 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) = (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
601adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚)
6110, 60, 283jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚))
62613adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚))
63 addass 11196 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 + 𝐷) ∈ β„‚ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐡) + ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐡) + ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
65 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€ β†’ (((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
66653ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
67 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
6967, 68, 673jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
70693ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
71 ppncan 11503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (𝐢 + 𝐢))
7271oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐢)))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐢)))
74 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
7567, 67jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
76753ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
77 add4 11435 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐢)) = ((𝐴 + 𝐢) + (𝐡 + 𝐢)))
7874, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐢)) = ((𝐴 + 𝐢) + (𝐡 + 𝐢)))
79 addcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚)
8079ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚)
81 addcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
8281ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
8380, 82jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ ((𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚))
84833adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚))
85 addcom 11401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 𝐢) + (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐢) + (𝐡 + 𝐢)) = ((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))
8773, 78, 863eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + ((𝐢 + 𝐷) + (𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))
8864, 66, 873eqtr3rd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)) = (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
89 picn 26344 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ β„‚
90 addcom 11401 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚) β†’ (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€))
9189, 28, 90sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€))
92913adant3 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (Ο€ + (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = ((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€))
9388, 92eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)) = ((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€))
9493fveq2d 6888 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢))) = (cosβ€˜((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€)))
95 cosppi 26375 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€)) = -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)))
9628, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (cosβ€˜((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€)) = -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)))
97963adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐢 βˆ’ 𝐷) + Ο€)) = -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)))
9894, 97eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢))) = -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷)))
9959, 98oveq12d 7422 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) = ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βˆ’ -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
100 subcl 11460 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
101100ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
102101adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
103102coscld 16078 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„‚)
104103, 29subnegd 11579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βˆ’ -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
1051043adant3 1129 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βˆ’ -(cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
10699, 105eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) = ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
107106oveq1d 7419 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) / 2) = (((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
108 sinmul 16119 . . . . 5 (((𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 + 𝐢) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))) = (((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) / 2))
10982, 80, 108syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)) β†’ ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))) = (((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) / 2))
1101093adant3 1129 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))) = (((cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐢))) βˆ’ (cosβ€˜((𝐡 + 𝐢) + (𝐴 + 𝐢)))) / 2))
111 cosneg 16094 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜-(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))
11236, 111syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜-(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))
113 negsubdi2 11520 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ -(𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
114113fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜-(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
115112, 114eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
1161153ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
117116oveq1d 7419 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) = ((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))))
118117oveq1d 7419 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2) = (((cosβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
119107, 110, 1183eqtr4d 2776 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))) = (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) + (cosβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐷))) / 2))
12048, 53, 1193eqtr4d 2776 1 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) ∧ ((𝐴 + 𝐡) + (𝐢 + 𝐷)) = Ο€) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜πΆ) Β· (sinβ€˜π·))) = ((sinβ€˜(𝐡 + 𝐢)) Β· (sinβ€˜(𝐴 + 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  sincsin 16010  cosccos 16011  Ο€cpi 16013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746
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