Theorem ptolemy 26473

Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 16130, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptolemy	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))))

Proof of Theorem ptolemy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	coscld 16089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 + 𝐷)) ∈ ℂ)
4	3	negnegd 11487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → --(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = (cos‘(𝐶 + 𝐷)))
5		addlid 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → (0 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + 𝐷))
6	5	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))))
8		0cnd 11128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → 0 ∈ ℂ)
9		addcl 11111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
11	10	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12	8, 11, 2	pnpcan2d 11534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = (0 − (𝐴 + 𝐵)))
13		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π)
14	13	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − π))
15	7, 12, 14	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − π) = (0 − (𝐴 + 𝐵)))
16		df-neg 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (0 − (𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − π) = -(𝐴 + 𝐵))
18	17	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = (cos‘-(𝐴 + 𝐵)))
19		cosmpi 26465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = -(cos‘(𝐶 + 𝐷)))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = -(cos‘(𝐶 + 𝐷)))
21		cosneg 16105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘-(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → -(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
24	23	negeqd 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → --(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = -(cos‘(𝐴 + 𝐵)))
25	4, 24	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 + 𝐷)) = -(cos‘(𝐴 + 𝐵)))
26	25	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − -(cos‘(𝐴 + 𝐵))))
27		subcl 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
29	28	coscld 16089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
30	29	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
31	11	coscld 16089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
32	30, 31	subnegd 11503	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − -(cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
33	26, 32	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
34	33	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
35	34	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
36		subcl 11383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
38	37	coscld 16089	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38, 31	subcld 11496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ)
40	30, 31	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ)
41		2cnne0 12377	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
43		divdir 11825	. . . . 5 ⊢ ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
45	38, 31, 30	nppcan3d 11523	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) = ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
46	45	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
47	44, 46	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
48	35, 47	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
49		sinmul 16130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
50	49	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
51		sinmul 16130	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷)) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2))
52	51	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷)) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2))
53	50, 52	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)))
54		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
55		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	pnpcan2d 11534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶)) = (𝐵 − 𝐴))
58	57	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
59	58	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
60	1	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
61	10, 60, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
62	61	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
63		addass 11116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))))
65		oveq1 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
66	65	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
67		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
69	67, 68, 67	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
70	69	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
71		ppncan 11427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 + 𝐶))
72	71	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
74		simp1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
75	67, 67	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
76	75	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
77		add4 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
78	74, 76, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
79		addcl 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
80	79	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
81		addcl 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
82	81	ad2ant2lr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
83	80, 82	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ))
84	83	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ))
85		addcom 11323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
87	73, 78, 86	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
88	64, 66, 87	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
89		picn 26435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
90		addcom 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
91	89, 28, 90	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
92	91	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
93	88, 92	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
94	93	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)))
95		cosppi 26467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
96	28, 95	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
97	96	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
98	94, 97	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶))) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
99	59, 98	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))))
100		subcl 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
101	100	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
103	102	coscld 16089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
104	103, 29	subnegd 11503	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
105	104	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
106	99, 105	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
107	106	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2) = (((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
108		sinmul 16130	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
109	82, 80, 108	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
110	109	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
111		cosneg 16105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐴 − 𝐵)))
112	36, 111	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐴 − 𝐵)))
113		negsubdi2 11444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
114	113	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
115	112, 114	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
116	115	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
117	116	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
118	117	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2) = (((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
119	107, 110, 118	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
120	48, 53, 119	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  sincsin 16019  cosccos 16020  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

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