Theorem ptolemy 26698

Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 16253, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptolemy	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))))

Proof of Theorem ptolemy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	coscld 16212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 + 𝐷)) ∈ ℂ)
4	3	negnegd 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → --(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = (cos‘(𝐶 + 𝐷)))
5		addlid 11411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → (0 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + 𝐷))
6	5	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))))
7	2, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))))
8		0cnd 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → 0 ∈ ℂ)
9		addcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
11	10	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12	8, 11, 2	pnpcan2d 11625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((0 + (𝐶 + 𝐷)) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = (0 − (𝐴 + 𝐵)))
13		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π)
14	13	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐶 + 𝐷) − π))
15	7, 12, 14	3eqtr3rd 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − π) = (0 − (𝐴 + 𝐵)))
16		df-neg 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (0 − (𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐶 + 𝐷) − π) = -(𝐴 + 𝐵))
18	17	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = (cos‘-(𝐴 + 𝐵)))
19		cosmpi 26690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = -(cos‘(𝐶 + 𝐷)))
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 + 𝐷) − π)) = -(cos‘(𝐶 + 𝐷)))
21		cosneg 16228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
22	11, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘-(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → -(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = (cos‘(𝐴 + 𝐵)))
24	23	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → --(cos‘(𝐶 + 𝐷)) = -(cos‘(𝐴 + 𝐵)))
25	4, 24	eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 + 𝐷)) = -(cos‘(𝐴 + 𝐵)))
26	25	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − -(cos‘(𝐴 + 𝐵))))
27		subcl 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
29	28	coscld 16212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
30	29	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
31	11	coscld 16212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
32	30, 31	subnegd 11594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − -(cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
33	26, 32	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) = ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
34	33	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
35	34	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
36		subcl 11474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
38	37	coscld 16212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38, 31	subcld 11587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ)
40	30, 31	addcld 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ)
41		2cnne0 12471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
43		divdir 11915	. . . . 5 ⊢ ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)))
45	38, 31, 30	nppcan3d 11614	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) = ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
46	45	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) + ((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵)))) / 2) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
47	44, 46	eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) + (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
48	35, 47	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
49		sinmul 16253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
50	49	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))
51		sinmul 16253	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷)) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2))
52	51	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷)) = (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2))
53	50, 52	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) + (((cos‘(𝐶 − 𝐷)) − (cos‘(𝐶 + 𝐷))) / 2)))
54		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
55		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	pnpcan2d 11625	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶)) = (𝐵 − 𝐴))
58	57	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
59	58	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
60	1	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
61	10, 60, 28	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
62	61	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
63		addass 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))))
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))))
65		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
66	65	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) + (𝐶 − 𝐷)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
67		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
68		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
69	67, 68, 67	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
70	69	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
71		ppncan 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 + 𝐶))
72	71	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
73	70, 72	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
74		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
75	67, 67	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
76	75	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
77		add4 11449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
78	74, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
79		addcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
80	79	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
81		addcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
82	81	ad2ant2lr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
83	80, 82	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ))
84	83	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ))
85		addcom 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
87	73, 78, 86	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐴 + 𝐵) + ((𝐶 + 𝐷) + (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))
88	64, 66, 87	3eqtr3rd 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)) = (π + (𝐶 − 𝐷)))
89		picn 26658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
90		addcom 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
91	89, 28, 90	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
92	91	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (π + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
93	88, 92	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷) + π))
94	93	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶))) = (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)))
95		cosppi 26692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
96	28, 95	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
97	96	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐶 − 𝐷) + π)) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
98	94, 97	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶))) = -(cos‘(𝐶 − 𝐷)))
99	59, 98	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))))
100		subcl 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
101	100	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
102	101	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
103	102	coscld 16212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (cos‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
104	103, 29	subnegd 11594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
105	104	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) − -(cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
106	99, 105	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
107	106	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2) = (((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
108		sinmul 16253	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
109	82, 80, 108	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
110	109	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐶))) − (cos‘((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 + 𝐶)))) / 2))
111		cosneg 16228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐴 − 𝐵)))
112	36, 111	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐴 − 𝐵)))
113		negsubdi2 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
114	113	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
115	112, 114	eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
116	115	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (cos‘(𝐵 − 𝐴)))
117	116	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) = ((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))))
118	117	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2) = (((cos‘(𝐵 − 𝐴)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
119	107, 110, 118	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) + (cos‘(𝐶 − 𝐷))) / 2))
120	48, 53, 119	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = π) → (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐶) · (sin‘𝐷))) = ((sin‘(𝐵 + 𝐶)) · (sin‘(𝐴 + 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  sincsin 16142  cosccos 16143  πcpi 16145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by: (None)