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Theorem mersenne 27271
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2 2nn0 12543 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32numexp1 17114 . . . . . 6 (2↑1) = 2
4 df-2 12329 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2765 . . . . 5 (2↑1) = (1 + 1)
6 prmuz2 16733 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2gt1 12962 . . . . . . 7 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13 2ne0 12370 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
1512, 14, 1reexpclzd 14288 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
1610, 10, 15ltaddsubd 11863 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
179, 16mpbird 257 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
185, 17eqbrtrid 5178 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19 1zzd 12648 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20 1lt2 12437 . . . . . 6 1 < 2
2120a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
2212, 19, 1, 21ltexp2d 14290 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
2318, 22mpbird 257 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24 eluz2b1 12961 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
251, 23, 24sylanbrc 583 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
26 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27 prmnn 16711 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2928nncnd 12282 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30 2nn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
31 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
3231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
33 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
3534nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3837nnzd 12640 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39 peano2zm 12660 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4140zred 12722 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
4241recnd 11289 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43 0red 11264 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44 1red 11262 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11785 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < 1)
47 eluz2gt1 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 𝑘)
4911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 2)
5449, 50, 52, 53ltexp2d 14290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
5548, 54mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
565, 55eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
5737nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
5844, 44, 57ltaddsubd 11863 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
5956, 58mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 11422 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61 elnnz 12623 . . . . . . . 8 (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
6240, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
6362nnne0d 12316 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
6429, 42, 63divcan2d 12045 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6564, 26eqeltrd 2841 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66 eluz2b2 12963 . . . . . 6 (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6762, 59, 66sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2))
6837nncnd 12282 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
70 subeq0 11535 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7271necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
7363, 72mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘𝑃)
75 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78 nndivdvds 16299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
7977, 34, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8074, 79mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
8180nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ0)
8268, 73, 81geoser 15903 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
8315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
8483recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85 negsubdi2 11568 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8684, 69, 85sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8777nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
8834nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
8934nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
9087, 88, 89divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
9249recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℂ)
9392, 81, 35expmuld 14189 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9491, 93eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
9686, 95eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97 negsubdi2 11568 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9868, 69, 97sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9996, 98oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
10029, 42, 63div2negd 12058 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
10182, 99, 1003eqtr2d 2783 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102 fzfid 14014 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
104 zexpcl 14117 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
10538, 103, 104syl2an 596 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106102, 105fsumzcl 15771 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107101, 106eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
10842mullidd 11279 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
110 elfzm11 13635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
111109, 1, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
112111biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
113112simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
1151ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
11649, 52, 115, 53ltexp2d 14290 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117114, 116mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
11857, 83, 44, 117ltsub1dd 11875 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119108, 118eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
12028nnred 12281 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121 ltmuldiv 12141 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
12244, 120, 41, 60, 121syl112anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123119, 122mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124 eluz2b1 12961 . . . . . 6 ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125107, 123, 124sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2))
126 nprm 16725 . . . . 5 ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12767, 125, 126syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12865, 127pm2.65da 817 . . 3 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘𝑃)
129128ralrimiva 3146 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃)
130 isprm3 16720 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃))
13125, 129, 130sylanbrc 583 1 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-prm 16709
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