MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mersenne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mersenne 26737
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2โ†‘๐‘ƒ โˆ’ 1. This theorem shows that the ๐‘ƒ in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2 2nn0 12491 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•0
32numexp1 17012 . . . . . 6 (2โ†‘1) = 2
4 df-2 12277 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2760 . . . . 5 (2โ†‘1) = (1 + 1)
6 prmuz2 16635 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
76adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluz2gt1 12906 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
10 1red 11217 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11 2re 12288 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
13 2ne0 12318 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โ‰  0)
1512, 14, 1reexpclzd 14214 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
1610, 10, 15ltaddsubd 11816 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 + 1) < (2โ†‘๐‘ƒ) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
179, 16mpbird 256 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘ƒ))
185, 17eqbrtrid 5183 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘ƒ))
19 1zzd 12595 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
20 1lt2 12385 . . . . . 6 1 < 2
2120a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < 2)
2212, 19, 1, 21ltexp2d 14216 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 < ๐‘ƒ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘ƒ)))
2318, 22mpbird 256 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
24 eluz2b1 12905 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘ƒ))
251, 23, 24sylanbrc 583 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
26 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
27 prmnn 16613 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2928nncnd 12230 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
30 2nn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
31 elfzuz 13499 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
33 eluz2nn 12870 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3534nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
36 nnexpcl 14042 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12587 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
39 peano2zm 12607 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4140zred 12668 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4241recnd 11244 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
43 0red 11219 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
44 1red 11217 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 0lt1 11738 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 < 1)
47 eluz2gt1 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘˜)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < ๐‘˜)
4911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
50 1zzd 12595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
51 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < 2)
5449, 50, 52, 53ltexp2d 14216 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜)))
5548, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜))
565, 55eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
5737nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
5844, 44, 57ltaddsubd 11816 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
5956, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 11377 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
61 elnnz 12570 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†” (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
6240, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6362nnne0d 12264 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰  0)
6429, 42, 63divcan2d 11994 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
6564, 26eqeltrd 2833 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
66 eluz2b2 12907 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
6762, 59, 66sylanbrc 583 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6837nncnd 12230 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
69 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
70 subeq0 11488 . . . . . . . . . . . 12 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = 0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) = 1))
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = 0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) = 1))
7271necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰  0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) โ‰  1))
7363, 72mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  1)
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
75 eluz2nn 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
78 nndivdvds 16208 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•))
7977, 34, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•))
8074, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8180nnnn0d 12534 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8268, 73, 81geoser 15815 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) = ((1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))) / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜))))
8315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8483recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
85 negsubdi2 11521 . . . . . . . . . . 11 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)))
8684, 69, 85sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)))
8777nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
8834nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8934nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
9087, 88, 89divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜)) = ๐‘ƒ)
9190oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘ƒ))
9249recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9392, 81, 35expmuld 14116 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜)))
9491, 93eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜)))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)) = (1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))))
9686, 95eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))))
97 negsubdi2 11521 . . . . . . . . . 10 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜)))
9868, 69, 97sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜)))
9996, 98oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (-((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))) / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜))))
10029, 42, 63div2negd 12007 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (-((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
10182, 99, 1003eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
102 fzfid 13940 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
103 elfznn0 13596 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
104 zexpcl 14044 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
10538, 103, 104syl2an 596 . . . . . . . 8 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
106102, 105fsumzcl 15683 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
107101, 106eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
10842mullidd 11234 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
109 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
110 elfzm11 13574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
111109, 1, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
112111biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ))
113112simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
114113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
1151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
11649, 52, 115, 53ltexp2d 14216 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ < ๐‘ƒ โ†” (2โ†‘๐‘˜) < (2โ†‘๐‘ƒ)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) < (2โ†‘๐‘ƒ))
11857, 83, 44, 117ltsub1dd 11828 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
119108, 118eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
12028nnred 12229 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
121 ltmuldiv 12089 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โ†’ ((1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†” 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
12244, 120, 41, 60, 121syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†” 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
123119, 122mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
124 eluz2b1 12905 . . . . . 6 ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
125107, 123, 124sylanbrc 583 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
126 nprm 16627 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
12767, 125, 126syl2anc 584 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
12865, 127pm2.65da 815 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
129128ralrimiva 3146 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
130 isprm3 16622 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ))
13125, 129, 130sylanbrc 583 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  ฮฃcsu 15634   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  perfect1  26738  perfect  26741  lighneal  46358  perfectALTV  46470
  Copyright terms: Public domain W3C validator