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Theorem mersenne 27391

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2		2nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
3	2	numexp1 17131	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
4		df-2 12298	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
6		prmuz2 16749	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluz2gt1 12939	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10		1red 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11		2re 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13		2ne0 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
15	12, 14, 1	reexpclzd 14281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
16	10, 10, 15	ltaddsubd 11809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
17	9, 16	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
18	5, 17	eqbrtrid 5146	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19		1zzd 12620	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20		1lt2 12408	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
22	12, 19, 1, 21	ltexp2d 14283	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
23	18, 22	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24		eluz2b1 12938	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
25	1, 23, 24	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
26		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27		prmnn 16727	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12244	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30		2nn 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
31		elfzuz 13543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
32	31	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
33		eluz2nn 12907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
36		nnexpcl 14106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
37	30, 35, 36	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39		peano2zm 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
41	40	zred 12695	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < 1)
47		eluz2gt1 12939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑘)
48	32, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 𝑘)
49	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50		1zzd 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51		elfzelz 13547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52	51	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 2)
54	49, 50, 52, 53	ltexp2d 14283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
55	48, 54	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
56	5, 55	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
57	37	nnred 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
58	44, 44, 57	ltaddsubd 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
59	56, 58	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
60	43, 44, 41, 46, 59	lttrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61		elnnz 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
62	40, 60, 61	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
63	62	nnne0d 12281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
64	29, 42, 63	divcan2d 11988	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
65	64, 26	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66		eluz2b2 12940	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
67	62, 59, 66	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
68	37	nncnd 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		subeq0 11479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
71	68, 69, 70	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
72	71	necon3bid 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
73	63, 72	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∥ 𝑃)
75		eluz2nn 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
76	25, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
77	76	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78		nndivdvds 16314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
79	77, 34, 78	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
80	74, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
81	80	nnnn0d 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ₀)
82	68, 73, 81	geoser 15917	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
83	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85		negsubdi2 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
86	84, 69, 85	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
87	77	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
88	34	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
89	34	nnne0d 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
90	87, 88, 89	divcan2d 11988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
91	90	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
92	49	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℂ)
93	92, 81, 35	expmuld 14181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
94	91, 93	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
95	94	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
96	86, 95	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97		negsubdi2 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
98	68, 69, 97	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
99	96, 98	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
100	29, 42, 63	div2negd 12001	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
101	82, 99, 100	3eqtr2d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102		fzfid 14005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103		elfznn0 13644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
104		zexpcl 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
105	38, 103, 104	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106	102, 105	fsumzcl 15782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107	101, 106	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
108	42	mullidd 11222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109		2z 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
110		elfzm11 13619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
111	109, 1, 110	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
112	111	biimpa 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
113	112	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114	113	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
115	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
116	49, 52, 115, 53	ltexp2d 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117	114, 116	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
118	57, 83, 44, 117	ltsub1dd 11821	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119	108, 118	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
120	28	nnred 12243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121		ltmuldiv 12083	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
122	44, 120, 41, 60, 121	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123	119, 122	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124		eluz2b1 12938	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125	107, 123, 124	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
126		nprm 16741	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
127	67, 125, 126	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
128	65, 127	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
129	128	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
130		isprm3 16736	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃))
131	25, 129, 130	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∀wral 3079 class class class wbr 5109 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 -cneg 11437 / cdiv 11866 ℕcn 12228 2c2 12290 ℕ₀cn0 12499 ℤcz 12586 ℤ_≥cuz 12857 ...cfz 13530 ↑cexp 14093 Σcsu 15733 ∥ cdvds 16305 ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-inf2 9606 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-oi 9468 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-n0 12500 df-z 12587 df-uz 12858 df-rp 13012 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-seq 14034 df-exp 14094 df-hash 14363 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-clim 15535 df-sum 15734 df-dvds 16306 df-prm 16725

This theorem is referenced by: perfect1 27392 perfect 27395 lighneal 48383 perfectALTV 48508

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