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Theorem mersenne 25404

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2		2nn0 11661	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
3	2	numexp1 16185	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
4		df-2 11438	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	eqtri 2801	. . . . 5 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
6		prmuz2 15813	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
7	6	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluz2b2 12068	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
9	8	simprbi 492	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
11		1red 10377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
12		2re 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
14		2ne0 11486	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
16	13, 15, 1	reexpclzd 13355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
17	11, 11, 16	ltaddsubd 10975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
18	10, 17	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
19	5, 18	syl5eqbr 4921	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
20		1zzd 11760	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
21		1lt2 11553	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
23	13, 20, 1, 22	ltexp2d 13359	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
24	19, 23	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
25		eluz2b1 12066	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
26	1, 24, 25	sylanbrc 578	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
27		simpllr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
28		prmnn 15793	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 11392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31		2nn 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		elfzuz 12655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
33	32	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
34		eluz2nn 12032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 11702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
37		nnexpcl 13191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
38	31, 36, 37	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 11833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
40		peano2zm 11772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
42	41	zred 11834	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10405	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
44		0red 10380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 ∈ ℝ)
45		1red 10377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 10897	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < 1)
48		eluz2b2 12068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑘))
49	48	simprbi 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑘)
50	33, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 𝑘)
51	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℝ)
52		1zzd 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
53		elfzelz 12659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
54	53	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
55	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 2)
56	51, 52, 54, 55	ltexp2d 13359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
57	50, 56	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
58	5, 57	syl5eqbrr 4922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
59	38	nnred 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
60	45, 45, 59	ltaddsubd 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
61	58, 60	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
62	44, 45, 42, 47, 61	lttrd 10537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
63		elnnz 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
64	41, 62, 63	sylanbrc 578	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 11425	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
66	30, 43, 65	divcan2d 11153	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
67	66, 27	eqeltrd 2858	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
68		eluz2b2 12068	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
69	64, 61, 68	sylanbrc 578	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
70	38	nncnd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
71		ax-1cn 10330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
72		subeq0 10649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
73	70, 71, 72	sylancl 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
74	73	necon3bid 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
75	65, 74	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
76		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∥ 𝑃)
77		eluz2nn 12032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
80		nndivdvds 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
81	79, 35, 80	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
82	76, 81	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
83	82	nnnn0d 11702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ₀)
84	70, 75, 83	geoser 15003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
85	16	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
86	85	recnd 10405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
87		negsubdi2 10682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
88	86, 71, 87	sylancl 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
89	79	nncnd 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
90	35	nncnd 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
91	35	nnne0d 11425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
92	89, 90, 91	divcan2d 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
93	92	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
94	51	recnd 10405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℂ)
95	94, 83, 36	expmuld 13330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
96	93, 95	eqtr3d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
97	96	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
98	88, 97	eqtrd 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
99		negsubdi2 10682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
100	70, 71, 99	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
101	98, 100	oveq12d 6940	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
102	30, 43, 65	div2negd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
103	84, 101, 102	3eqtr2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
104		fzfid 13091	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
105		elfznn0 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
106		zexpcl 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107	39, 105, 106	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
108	104, 107	fsumzcl 14873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
109	103, 108	eqeltrrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
110	43	mulid2d 10395	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
111		2z 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
112		elfzm11 12729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
113	111, 1, 112	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
114	113	biimpa 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
115	114	simp3d 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
116	115	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
117	1	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
118	51, 54, 117, 55	ltexp2d 13359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
119	116, 118	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
120	59, 85, 45, 119	ltsub1dd 10987	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
121	110, 120	eqbrtrd 4908	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
122	29	nnred 11391	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
123		ltmuldiv 11250	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
124	45, 122, 42, 62, 123	syl112anc 1442	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125	121, 124	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
126		eluz2b1 12066	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
127	109, 125, 126	sylanbrc 578	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
128		nprm 15806	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
129	69, 127, 128	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
130	67, 129	pm2.65da 807	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
131	130	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
132		isprm3 15801	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃))
133	26, 131, 132	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 ∧ w3a 1071 = wceq 1601 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2968 ∀wral 3089 class class class wbr 4886 ‘cfv 6135 (class class class)co 6922 ℂcc 10270 ℝcr 10271 0cc0 10272 1c1 10273 + caddc 10275 · cmul 10277 < clt 10411 ≤ cle 10412 − cmin 10606 -cneg 10607 / cdiv 11032 ℕcn 11374 2c2 11430 ℕ₀cn0 11642 ℤcz 11728 ℤ_≥cuz 11992 ...cfz 12643 ↑cexp 13178 Σcsu 14824 ∥ cdvds 15387 ℙcprime 15790

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1839 ax-4 1853 ax-5 1953 ax-6 2021 ax-7 2054 ax-8 2108 ax-9 2115 ax-10 2134 ax-11 2149 ax-12 2162 ax-13 2333 ax-ext 2753 ax-rep 5006 ax-sep 5017 ax-nul 5025 ax-pow 5077 ax-pr 5138 ax-un 7226 ax-inf2 8835 ax-cnex 10328 ax-resscn 10329 ax-1cn 10330 ax-icn 10331 ax-addcl 10332 ax-addrcl 10333 ax-mulcl 10334 ax-mulrcl 10335 ax-mulcom 10336 ax-addass 10337 ax-mulass 10338 ax-distr 10339 ax-i2m1 10340 ax-1ne0 10341 ax-1rid 10342 ax-rnegex 10343 ax-rrecex 10344 ax-cnre 10345 ax-pre-lttri 10346 ax-pre-lttrn 10347 ax-pre-ltadd 10348 ax-pre-mulgt0 10349 ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 837 df-3or 1072 df-3an 1073 df-tru 1605 df-fal 1615 df-ex 1824 df-nf 1828 df-sb 2012 df-mo 2550 df-eu 2586 df-clab 2763 df-cleq 2769 df-clel 2773 df-nfc 2920 df-ne 2969 df-nel 3075 df-ral 3094 df-rex 3095 df-reu 3096 df-rmo 3097 df-rab 3098 df-v 3399 df-sbc 3652 df-csb 3751 df-dif 3794 df-un 3796 df-in 3798 df-ss 3805 df-pss 3807 df-nul 4141 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4672 df-int 4711 df-iun 4755 df-br 4887 df-opab 4949 df-mpt 4966 df-tr 4988 df-id 5261 df-eprel 5266 df-po 5274 df-so 5275 df-fr 5314 df-se 5315 df-we 5316 df-xp 5361 df-rel 5362 df-cnv 5363 df-co 5364 df-dm 5365 df-rn 5366 df-res 5367 df-ima 5368 df-pred 5933 df-ord 5979 df-on 5980 df-lim 5981 df-suc 5982 df-iota 6099 df-fun 6137 df-fn 6138 df-f 6139 df-f1 6140 df-fo 6141 df-f1o 6142 df-fv 6143 df-isom 6144 df-riota 6883 df-ov 6925 df-oprab 6926 df-mpt2 6927 df-om 7344 df-1st 7445 df-2nd 7446 df-wrecs 7689 df-recs 7751 df-rdg 7789 df-1o 7843 df-2o 7844 df-oadd 7847 df-er 8026 df-en 8242 df-dom 8243 df-sdom 8244 df-fin 8245 df-sup 8636 df-oi 8704 df-card 9098 df-pnf 10413 df-mnf 10414 df-xr 10415 df-ltxr 10416 df-le 10417 df-sub 10608 df-neg 10609 df-div 11033 df-nn 11375 df-2 11438 df-3 11439 df-n0 11643 df-z 11729 df-uz 11993 df-rp 12138 df-fz 12644 df-fzo 12785 df-seq 13120 df-exp 13179 df-hash 13436 df-cj 14246 df-re 14247 df-im 14248 df-sqrt 14382 df-abs 14383 df-clim 14627 df-sum 14825 df-dvds 15388 df-prm 15791

This theorem is referenced by: perfect1 25405 perfect 25408 lighneal 42542 perfectALTV 42650

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