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Theorem mersenne 27207

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2		2nn0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
3	2	numexp1 17041	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
4		df-2 12238	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
6		prmuz2 16659	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluz2gt1 12864	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10		1red 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11		2re 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13		2ne0 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
15	12, 14, 1	reexpclzd 14205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
16	10, 10, 15	ltaddsubd 11744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
17	9, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
18	5, 17	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19		1zzd 12552	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20		1lt2 12341	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
22	12, 19, 1, 21	ltexp2d 14207	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
23	18, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24		eluz2b1 12863	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
25	1, 23, 24	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
26		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27		prmnn 16637	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12184	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30		2nn 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
31		elfzuz 13468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
32	31	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
33		eluz2nn 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
36		nnexpcl 14030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
37	30, 35, 36	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39		peano2zm 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
41	40	zred 12627	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43		0red 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44		1red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < 1)
47		eluz2gt1 12864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑘)
48	32, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 𝑘)
49	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50		1zzd 12552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51		elfzelz 13472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52	51	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 2)
54	49, 50, 52, 53	ltexp2d 14207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
55	48, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
56	5, 55	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
57	37	nnred 12183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
58	44, 44, 57	ltaddsubd 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
59	56, 58	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
60	43, 44, 41, 46, 59	lttrd 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61		elnnz 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
62	40, 60, 61	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
63	62	nnne0d 12221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
64	29, 42, 63	divcan2d 11927	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
65	64, 26	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66		eluz2b2 12865	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
67	62, 59, 66	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
68	37	nncnd 12184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		subeq0 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
71	68, 69, 70	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
72	71	necon3bid 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
73	63, 72	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∥ 𝑃)
75		eluz2nn 12832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
76	25, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
77	76	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78		nndivdvds 16224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
79	77, 34, 78	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
80	74, 79	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
81	80	nnnn0d 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ₀)
82	68, 73, 81	geoser 15826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
83	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85		negsubdi2 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
86	84, 69, 85	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
87	77	nncnd 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
88	34	nncnd 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
89	34	nnne0d 12221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
90	87, 88, 89	divcan2d 11927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
91	90	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
92	49	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℂ)
93	92, 81, 35	expmuld 14105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
94	91, 93	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
95	94	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
96	86, 95	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97		negsubdi2 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
98	68, 69, 97	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
99	96, 98	oveq12d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
100	29, 42, 63	div2negd 11940	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
101	82, 99, 100	3eqtr2d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102		fzfid 13929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103		elfznn0 13568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
104		zexpcl 14032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
105	38, 103, 104	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106	102, 105	fsumzcl 15691	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107	101, 106	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
108	42	mullidd 11157	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109		2z 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
110		elfzm11 13543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
111	109, 1, 110	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
112	111	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
113	112	simp3d 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
115	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
116	49, 52, 115, 53	ltexp2d 14207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117	114, 116	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
118	57, 83, 44, 117	ltsub1dd 11756	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119	108, 118	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
120	28	nnred 12183	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121		ltmuldiv 12023	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
122	44, 120, 41, 60, 121	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123	119, 122	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124		eluz2b1 12863	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125	107, 123, 124	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
126		nprm 16651	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
127	67, 125, 126	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
128	65, 127	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
129	128	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
130		isprm3 16646	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃))
131	25, 129, 130	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 class class class wbr 5086 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℂcc 11030 ℝcr 11031 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 · cmul 11037 < clt 11173 ≤ cle 11174 − cmin 11371 -cneg 11372 / cdiv 11801 ℕcn 12168 2c2 12230 ℕ₀cn0 12431 ℤcz 12518 ℤ_≥cuz 12782 ...cfz 13455 ↑cexp 14017 Σcsu 15642 ∥ cdvds 16215 ℙcprime 16634

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-inf2 9556 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-oi 9419 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-n0 12432 df-z 12519 df-uz 12783 df-rp 12937 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-seq 13958 df-exp 14018 df-hash 14287 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-clim 15444 df-sum 15643 df-dvds 16216 df-prm 16635

This theorem is referenced by: perfect1 27208 perfect 27211 lighneal 48089 perfectALTV 48214

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