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Theorem mersenne 27192

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2		2nn0 12416	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
3	2	numexp1 17002	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
4		df-2 12206	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
6		prmuz2 16621	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluz2gt1 12831	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10		1red 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11		2re 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13		2ne0 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
15	12, 14, 1	reexpclzd 14170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
16	10, 10, 15	ltaddsubd 11735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
17	9, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
18	5, 17	eqbrtrid 5131	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19		1zzd 12520	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20		1lt2 12309	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
22	12, 19, 1, 21	ltexp2d 14172	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
23	18, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24		eluz2b1 12830	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
25	1, 23, 24	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
26		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27		prmnn 16599	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12159	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30		2nn 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
31		elfzuz 13434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
32	31	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
33		eluz2nn 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
36		nnexpcl 13995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
37	30, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39		peano2zm 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
41	40	zred 12594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43		0red 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44		1red 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < 1)
47		eluz2gt1 12831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑘)
48	32, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 𝑘)
49	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50		1zzd 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51		elfzelz 13438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 2)
54	49, 50, 52, 53	ltexp2d 14172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
55	48, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
56	5, 55	eqbrtrrid 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
57	37	nnred 12158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
58	44, 44, 57	ltaddsubd 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
59	56, 58	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
60	43, 44, 41, 46, 59	lttrd 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61		elnnz 12496	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
62	40, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
63	62	nnne0d 12193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
64	29, 42, 63	divcan2d 11917	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
65	64, 26	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66		eluz2b2 12832	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
67	62, 59, 66	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
68	37	nncnd 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		subeq0 11405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
71	68, 69, 70	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
72	71	necon3bid 2974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
73	63, 72	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∥ 𝑃)
75		eluz2nn 12799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
76	25, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78		nndivdvds 16186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
79	77, 34, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
80	74, 79	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
81	80	nnnn0d 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ₀)
82	68, 73, 81	geoser 15788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
83	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85		negsubdi2 11438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
86	84, 69, 85	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
87	77	nncnd 12159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
88	34	nncnd 12159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
89	34	nnne0d 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
90	87, 88, 89	divcan2d 11917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
91	90	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
92	49	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℂ)
93	92, 81, 35	expmuld 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
94	91, 93	eqtr3d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
95	94	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
96	86, 95	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97		negsubdi2 11438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
98	68, 69, 97	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
99	96, 98	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
100	29, 42, 63	div2negd 11930	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
101	82, 99, 100	3eqtr2d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102		fzfid 13894	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103		elfznn0 13534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
104		zexpcl 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
105	38, 103, 104	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106	102, 105	fsumzcl 15656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107	101, 106	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
108	42	mullidd 11148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109		2z 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
110		elfzm11 13509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
111	109, 1, 110	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
112	111	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
113	112	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
115	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
116	49, 52, 115, 53	ltexp2d 14172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117	114, 116	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
118	57, 83, 44, 117	ltsub1dd 11747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119	108, 118	eqbrtrd 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
120	28	nnred 12158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121		ltmuldiv 12013	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
122	44, 120, 41, 60, 121	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123	119, 122	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124		eluz2b1 12830	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125	107, 123, 124	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
126		nprm 16613	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
127	67, 125, 126	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
128	65, 127	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
129	128	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
130		isprm3 16608	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃))
131	25, 129, 130	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 ∀wral 3049 class class class wbr 5096 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 1c1 11025 + caddc 11027 · cmul 11029 < clt 11164 ≤ cle 11165 − cmin 11362 -cneg 11363 / cdiv 11792 ℕcn 12143 2c2 12198 ℕ₀cn0 12399 ℤcz 12486 ℤ_≥cuz 12749 ...cfz 13421 ↑cexp 13982 Σcsu 15607 ∥ cdvds 16177 ℙcprime 16596

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-inf2 9548 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-isom 6499 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8633 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-sup 9343 df-oi 9413 df-card 9849 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-rp 12904 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-seq 13923 df-exp 13983 df-hash 14252 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-clim 15409 df-sum 15608 df-dvds 16178 df-prm 16597

This theorem is referenced by: perfect1 27193 perfect 27196 lighneal 47799 perfectALTV 47911

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