MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mersenne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mersenne 26727
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2โ†‘๐‘ƒ โˆ’ 1. This theorem shows that the ๐‘ƒ in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2 2nn0 12488 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•0
32numexp1 17009 . . . . . 6 (2โ†‘1) = 2
4 df-2 12274 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2760 . . . . 5 (2โ†‘1) = (1 + 1)
6 prmuz2 16632 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
76adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluz2gt1 12903 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
10 1red 11214 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11 2re 12285 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
13 2ne0 12315 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โ‰  0)
1512, 14, 1reexpclzd 14211 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
1610, 10, 15ltaddsubd 11813 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 + 1) < (2โ†‘๐‘ƒ) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
179, 16mpbird 256 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘ƒ))
185, 17eqbrtrid 5183 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘ƒ))
19 1zzd 12592 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
20 1lt2 12382 . . . . . 6 1 < 2
2120a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < 2)
2212, 19, 1, 21ltexp2d 14213 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 < ๐‘ƒ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘ƒ)))
2318, 22mpbird 256 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
24 eluz2b1 12902 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘ƒ))
251, 23, 24sylanbrc 583 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
26 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
27 prmnn 16610 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2928nncnd 12227 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
30 2nn 12284 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
31 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
33 eluz2nn 12867 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3534nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
36 nnexpcl 14039 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12584 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
39 peano2zm 12604 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4140zred 12665 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4241recnd 11241 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
43 0red 11216 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
44 1red 11214 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 0lt1 11735 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 < 1)
47 eluz2gt1 12903 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘˜)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < ๐‘˜)
4911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
50 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
51 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < 2)
5449, 50, 52, 53ltexp2d 14213 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜)))
5548, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜))
565, 55eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
5737nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
5844, 44, 57ltaddsubd 11813 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜) โ†” 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
5956, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 11374 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
61 elnnz 12567 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†” (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
6240, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6362nnne0d 12261 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰  0)
6429, 42, 63divcan2d 11991 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
6564, 26eqeltrd 2833 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
66 eluz2b2 12904 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
6762, 59, 66sylanbrc 583 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6837nncnd 12227 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
69 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
70 subeq0 11485 . . . . . . . . . . . 12 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = 0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) = 1))
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = 0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) = 1))
7271necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰  0 โ†” (2โ†‘๐‘˜) โ‰  1))
7363, 72mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  1)
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
75 eluz2nn 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
78 nndivdvds 16205 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•))
7977, 34, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•))
8074, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8180nnnn0d 12531 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8268, 73, 81geoser 15812 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) = ((1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))) / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜))))
8315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8483recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
85 negsubdi2 11518 . . . . . . . . . . 11 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)))
8684, 69, 85sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)))
8777nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
8834nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8934nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
9087, 88, 89divcan2d 11991 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜)) = ๐‘ƒ)
9190oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘ƒ))
9249recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9392, 81, 35expmuld 14113 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท (๐‘ƒ / ๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜)))
9491, 93eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜)))
9594oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘ƒ)) = (1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))))
9686, 95eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))))
97 negsubdi2 11518 . . . . . . . . . 10 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜)))
9868, 69, 97sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜)))
9996, 98oveq12d 7426 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (-((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘(๐‘ƒ / ๐‘˜))) / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘˜))))
10029, 42, 63div2negd 12004 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (-((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / -((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
10182, 99, 1003eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
102 fzfid 13937 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
103 elfznn0 13593 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
104 zexpcl 14041 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
10538, 103, 104syl2an 596 . . . . . . . 8 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
106102, 105fsumzcl 15680 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...((๐‘ƒ / ๐‘˜) โˆ’ 1))((2โ†‘๐‘˜)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
107101, 106eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
10842mullidd 11231 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
109 2z 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
110 elfzm11 13571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
111109, 1, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
112111biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ))
113112simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
114113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
1151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
11649, 52, 115, 53ltexp2d 14213 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘˜ < ๐‘ƒ โ†” (2โ†‘๐‘˜) < (2โ†‘๐‘ƒ)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) < (2โ†‘๐‘ƒ))
11857, 83, 44, 117ltsub1dd 11825 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
119108, 118eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
12028nnred 12226 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
121 ltmuldiv 12086 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โ†’ ((1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†” 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
12244, 120, 41, 60, 121syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((1 ยท ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†” 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
123119, 122mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
124 eluz2b1 12902 . . . . . 6 ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
125107, 123, 124sylanbrc 583 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
126 nprm 16624 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
12767, 125, 126syl2anc 584 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ (((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) ยท (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) / ((2โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„™)
12865, 127pm2.65da 815 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
129128ralrimiva 3146 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ)
130 isprm3 16619 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ƒ))
13125, 129, 130sylanbrc 583 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13483  โ†‘cexp 14026  ฮฃcsu 15631   โˆฅ cdvds 16196  โ„™cprime 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-prm 16608
This theorem is referenced by:  perfect1  26728  perfect  26731  lighneal  46269  perfectALTV  46381
  Copyright terms: Public domain W3C validator