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Theorem mersenne 27205
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2 2nn0 12522 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32numexp1 17049 . . . . . 6 (2↑1) = 2
4 df-2 12308 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2753 . . . . 5 (2↑1) = (1 + 1)
6 prmuz2 16670 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
76adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2gt1 12937 . . . . . . 7 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10 1red 11247 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11 2re 12319 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13 2ne0 12349 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
1512, 14, 1reexpclzd 14247 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
1610, 10, 15ltaddsubd 11846 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
179, 16mpbird 256 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
185, 17eqbrtrid 5184 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19 1zzd 12626 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20 1lt2 12416 . . . . . 6 1 < 2
2120a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
2212, 19, 1, 21ltexp2d 14249 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
2318, 22mpbird 256 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24 eluz2b1 12936 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
251, 23, 24sylanbrc 581 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
26 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27 prmnn 16648 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2928nncnd 12261 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30 2nn 12318 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
31 elfzuz 13532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
33 eluz2nn 12901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
3534nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 nnexpcl 14075 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3730, 35, 36sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3837nnzd 12618 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39 peano2zm 12638 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4140zred 12699 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
4241recnd 11274 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43 0red 11249 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44 1red 11247 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11768 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < 1)
47 eluz2gt1 12937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 𝑘)
4911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50 1zzd 12626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 2)
5449, 50, 52, 53ltexp2d 14249 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
5548, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
565, 55eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
5737nnred 12260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
5844, 44, 57ltaddsubd 11846 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
5956, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 11407 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61 elnnz 12601 . . . . . . . 8 (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
6240, 60, 61sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
6362nnne0d 12295 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
6429, 42, 63divcan2d 12025 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6564, 26eqeltrd 2825 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66 eluz2b2 12938 . . . . . 6 (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6762, 59, 66sylanbrc 581 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2))
6837nncnd 12261 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
70 subeq0 11518 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7168, 69, 70sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7271necon3bid 2974 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
7363, 72mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘𝑃)
75 eluz2nn 12901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78 nndivdvds 16243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
7977, 34, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8074, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
8180nnnn0d 12565 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ0)
8268, 73, 81geoser 15849 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
8315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
8483recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85 negsubdi2 11551 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8684, 69, 85sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8777nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
8834nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
8934nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
9087, 88, 89divcan2d 12025 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
9190oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
9249recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℂ)
9392, 81, 35expmuld 14149 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9491, 93eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9594oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
9686, 95eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97 negsubdi2 11551 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9868, 69, 97sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9996, 98oveq12d 7437 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
10029, 42, 63div2negd 12038 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
10182, 99, 1003eqtr2d 2771 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102 fzfid 13974 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103 elfznn0 13629 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
104 zexpcl 14077 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
10538, 103, 104syl2an 594 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106102, 105fsumzcl 15717 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107101, 106eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
10842mullidd 11264 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
110 elfzm11 13607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
111109, 1, 110sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
112111biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
113112simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114113adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
1151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
11649, 52, 115, 53ltexp2d 14249 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
11857, 83, 44, 117ltsub1dd 11858 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119108, 118eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
12028nnred 12260 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121 ltmuldiv 12120 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
12244, 120, 41, 60, 121syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123119, 122mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124 eluz2b1 12936 . . . . . 6 ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125107, 123, 124sylanbrc 581 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2))
126 nprm 16662 . . . . 5 ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12767, 125, 126syl2anc 582 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12865, 127pm2.65da 815 . . 3 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘𝑃)
129128ralrimiva 3135 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃)
130 isprm3 16657 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃))
13125, 129, 130sylanbrc 581 1 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cexp 14062  Σcsu 15668  cdvds 16234  cprime 16645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-prm 16646
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