Theorem fzshftral 13567

Description: Shift the scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12533	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzrevral 13564	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
3	1, 2	mp3an3 1458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
4	3	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5		zsubcl 12567	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 5	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7		zsubcl 12567	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	1, 7	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10		fzrevral 13564	. . . 4 ⊢ (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12	11	3com12 1129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
14		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 − 𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾 − 𝑘)))
15	14	sbcco3gw 4360	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ V → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
17	16	ralbii 3086	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
18		zcn 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19		zcn 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		zcn 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
21		df-neg 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑀 = (0 − 𝑀)
22	21	oveq2i 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
23		subneg 11441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
24		addcom 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
25	23, 24	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
26	22, 25	eqtr3id 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
27	26	3adant3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
28		df-neg 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
29	28	oveq2i 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
30		subneg 11441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
31		addcom 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
32	30, 31	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
33	29, 32	eqtr3id 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
34	33	3adant2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
35	27, 34	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
36	35	3coml 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
37	18, 19, 20, 36	syl3an 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
38	37	raleqdv 3298	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
39		elfzelz 13476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		df-neg 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ -(𝐾 − 𝑘) = (0 − (𝐾 − 𝑘))
42		negsubdi2 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾 − 𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
43	41, 42	eqtr3id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
44	20, 40, 43	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
45	44	sbceq1d 3735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
46	45	ralbidva 3161	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
47	46	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
48	38, 47	bitrd 280	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
49	17, 48	bitrid 284	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
50	4, 12, 49	3bitrd 306	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432  [wsbc 3730  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   + caddc 11039   − cmin 11375  -cneg 11376  ℤcz 12522  ...cfz 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460

This theorem is referenced by:  fzoshftral  13740  fprodser  15912  prmgaplem7  17026  poimirlem27  38021