MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzshftral Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzshftral 13655
Description: Shift the scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12624 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 fzrevral 13652 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
31, 2mp3an3 1452 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
433adant3 1133 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5 zsubcl 12659 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
61, 5mpan 690 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7 zsubcl 12659 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
81, 7mpan 690 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10 fzrevral 13652 . . . 4 (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
116, 8, 9, 10syl3an 1161 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12113com12 1124 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13 ovex 7464 . . . . 5 (𝐾𝑘) ∈ V
14 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐾𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾𝑘)))
1514sbcco3gw 4425 . . . . 5 ((𝐾𝑘) ∈ V → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1613, 15ax-mp 5 . . . 4 ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑)
1716ralbii 3093 . . 3 (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑)
18 zcn 12618 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19 zcn 12618 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20 zcn 12618 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
21 df-neg 11495 . . . . . . . . . . 11 -𝑀 = (0 − 𝑀)
2221oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
23 subneg 11558 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
24 addcom 11447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2523, 24eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2622, 25eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
27263adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
28 df-neg 11495 . . . . . . . . . . 11 -𝑁 = (0 − 𝑁)
2928oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
30 subneg 11558 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
31 addcom 11447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3230, 31eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3329, 32eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
34333adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
3527, 34oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
36353coml 1128 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
3718, 19, 20, 36syl3an 1161 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
3837raleqdv 3326 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
39 elfzelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039zcnd 12723 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
41 df-neg 11495 . . . . . . . . 9 -(𝐾𝑘) = (0 − (𝐾𝑘))
42 negsubdi2 11568 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾𝑘) = (𝑘𝐾))
4341, 42eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4420, 40, 43syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4544sbceq1d 3793 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
4645ralbidva 3176 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
47463ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
4838, 47bitrd 279 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
4917, 48bitrid 283 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
504, 12, 493bitrd 305 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  [wsbc 3788  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  fzoshftral  13823  fprodser  15985  prmgaplem7  17095  poimirlem27  37654
  Copyright terms: Public domain W3C validator