Theorem fzshftral 13569

Description: Shift the scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12535	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzrevral 13566	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
3	1, 2	mp3an3 1453	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
4	3	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5		zsubcl 12569	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 5	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7		zsubcl 12569	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	1, 7	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10		fzrevral 13566	. . . 4 ⊢ (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1161	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12	11	3com12 1124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
14		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 − 𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾 − 𝑘)))
15	14	sbcco3gw 4365	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ V → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
17	16	ralbii 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
18		zcn 12529	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19		zcn 12529	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		zcn 12529	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
21		df-neg 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑀 = (0 − 𝑀)
22	21	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
23		subneg 11443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
24		addcom 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
25	23, 24	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
26	22, 25	eqtr3id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
27	26	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
28		df-neg 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
29	28	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
30		subneg 11443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
31		addcom 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
32	30, 31	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
33	29, 32	eqtr3id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
34	33	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
35	27, 34	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
36	35	3coml 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
37	18, 19, 20, 36	syl3an 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
38	37	raleqdv 3295	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
39		elfzelz 13478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		df-neg 11380	. . . . . . . . 9 ⊢ -(𝐾 − 𝑘) = (0 − (𝐾 − 𝑘))
42		negsubdi2 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾 − 𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
43	41, 42	eqtr3id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
44	20, 40, 43	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
45	44	sbceq1d 3733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
46	45	ralbidva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
47	46	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
48	38, 47	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
49	17, 48	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
50	4, 12, 49	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429  [wsbc 3728  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzoshftral  13742  fprodser  15914  prmgaplem7  17028  poimirlem27  37968