Theorem fzshftral 13564

Description: Shift the scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12530	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzrevral 13561	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
3	1, 2	mp3an3 1459	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
4	3	3adant3 1139	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5		zsubcl 12564	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 5	mpan 697	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7		zsubcl 12564	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	1, 7	mpan 697	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10		fzrevral 13561	. . . 4 ⊢ (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12	11	3com12 1130	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13		ovex 7392	. . . . 5 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
14		oveq2 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 − 𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾 − 𝑘)))
15	14	sbcco3gw 4355	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ V → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
17	16	ralbii 3087	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑)
18		zcn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19		zcn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		zcn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
21		df-neg 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑀 = (0 − 𝑀)
22	21	oveq2i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
23		subneg 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
24		addcom 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
25	23, 24	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
26	22, 25	eqtr3id 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
27	26	3adant3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
28		df-neg 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
29	28	oveq2i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
30		subneg 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
31		addcom 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
32	30, 31	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
33	29, 32	eqtr3id 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
34	33	3adant2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
35	27, 34	oveq12d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
36	35	3coml 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
37	18, 19, 20, 36	syl3an 1167	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
38	37	raleqdv 3299	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
39		elfzelz 13473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		df-neg 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ -(𝐾 − 𝑘) = (0 − (𝐾 − 𝑘))
42		negsubdi2 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾 − 𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
43	41, 42	eqtr3id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
44	20, 40, 43	syl2an 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
45	44	sbceq1d 3729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
46	45	ralbidva 3162	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
47	46	3ad2ant3 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
48	38, 47	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
49	17, 48	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
50	4, 12, 49	3bitrd 307	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  Vcvv 3433  [wsbc 3724  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034   + caddc 11037   − cmin 11373  -cneg 11374  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzoshftral  13737  fprodser  15909  prmgaplem7  17023  poimirlem27  38027