MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssub 15277
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abssub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem abssub
StepHypRef Expression
1 subcl 11460 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 absneg 15228 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘-(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐴𝐵)))
4 negsubdi2 11520 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
54fveq2d 6888 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘-(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
63, 5eqtr3d 2768 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6536  (class class class)co 7404  cc 11107  cmin 11445  -cneg 11446  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  abssuble0  15279  abs2difabs  15285  fzomaxdif  15294  cau3  15306  abssubi  15354  abssubd  15404  4sqlem11  16895  cnmet  24639  cnbl0  24641  cnblcld  24642  bl2ioo  24659  addcnlem  24731  divcnOLD  24735  divcn  24737  cncmet  25201  volcn  25486  c1lip1  25881  lhop1lem  25897  psercn  26314  abelthlem2  26320  abelth  26329  hhcnf  31663  ftc1anc  37080  ovolval3  45916
  Copyright terms: Public domain W3C validator