MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sgm2ppw 27088
Description: The sum of the divisors of 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11170 . . 3 1 ∈ ℂ
2 2prm 16636 . . 3 2 ∈ ℙ
3 nnm1nn0 12517 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 sgmppw 27085 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
51, 2, 3, 4mp3an12i 1461 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
6 2cn 12291 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
7 cxp1 26560 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐1) = 2)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (2↑𝑐1) = 2)
98oveq1d 7420 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((2↑𝑐1)↑𝑘) = (2↑𝑘))
109sumeq2i 15651 . . 3 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘)
116a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
12 1ne2 12424 . . . . . 6 1 ≠ 2
1312necomi 2989 . . . . 5 2 ≠ 1
1413a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
15 nnnn0 12483 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1611, 14, 15geoser 15819 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
1710, 16eqtrid 2778 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
18 2nn 12289 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
19 nnexpcl 14045 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2018, 15, 19sylancr 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2120nncnd 12232 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
22 subcl 11463 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
2321, 1, 22sylancl 585 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
241a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25 ax-1ne0 11181 . . . . 5 1 ≠ 0
2625a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≠ 0)
2723, 24, 26div2negd 12009 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
28 negsubdi2 11523 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
2921, 1, 28sylancl 585 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
30 df-neg 11451 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
31 0cn 11210 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32 pnpcan 11503 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1))
331, 31, 1, 32mp3an 1457 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1)
34 1p0e1 12340 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
35 1p1e2 12341 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3634, 35oveq12i 7417 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (1 − 2)
3730, 33, 363eqtr2i 2760 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
3837a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 = (1 − 2))
3929, 38oveq12d 7423 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
4023div1d 11986 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
4127, 39, 403eqtr3d 2774 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
425, 17, 413eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  cn 12216  2c2 12271  0cn0 12476  ...cfz 13490  cexp 14032  Σcsu 15638  cprime 16615  𝑐ccxp 26444   σ csgm 26983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-sgm 26989
This theorem is referenced by:  perfect1  27116  perfectlem1  27117  perfectlem2  27118  perfectALTVlem1  46958  perfectALTVlem2  46959
  Copyright terms: Public domain W3C validator