Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sgm2ppw 25888
 Description: The sum of the divisors of 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10638 . . 3 1 ∈ ℂ
2 2prm 16093 . . 3 2 ∈ ℙ
3 nnm1nn0 11980 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 sgmppw 25885 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
51, 2, 3, 4mp3an12i 1462 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
6 2cn 11754 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
7 cxp1 25366 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐1) = 2)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (2↑𝑐1) = 2)
98oveq1d 7170 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((2↑𝑐1)↑𝑘) = (2↑𝑘))
109sumeq2i 15109 . . 3 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘)
116a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
12 1ne2 11887 . . . . . 6 1 ≠ 2
1312necomi 3005 . . . . 5 2 ≠ 1
1413a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
15 nnnn0 11946 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1611, 14, 15geoser 15275 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
1710, 16syl5eq 2805 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
18 2nn 11752 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
19 nnexpcl 13497 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2018, 15, 19sylancr 590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2120nncnd 11695 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
22 subcl 10928 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
2321, 1, 22sylancl 589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
241a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25 ax-1ne0 10649 . . . . 5 1 ≠ 0
2625a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≠ 0)
2723, 24, 26div2negd 11474 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
28 negsubdi2 10988 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
2921, 1, 28sylancl 589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
30 df-neg 10916 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
31 0cn 10676 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32 pnpcan 10968 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1))
331, 31, 1, 32mp3an 1458 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1)
34 1p0e1 11803 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
35 1p1e2 11804 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3634, 35oveq12i 7167 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (1 − 2)
3730, 33, 363eqtr2i 2787 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
3837a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 = (1 − 2))
3929, 38oveq12d 7173 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
4023div1d 11451 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
4127, 39, 403eqtr3d 2801 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
425, 17, 413eqtrd 2797 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   − cmin 10913  -cneg 10914   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  ℕ0cn0 11939  ...cfz 12944  ↑cexp 13484  Σcsu 15095  ℙcprime 16072  ↑𝑐ccxp 25251   σ csgm 25785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-dvds 15661  df-gcd 15899  df-prm 16073  df-pc 16234  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253  df-sgm 25791 This theorem is referenced by:  perfect1  25916  perfectlem1  25917  perfectlem2  25918  perfectALTVlem1  44634  perfectALTVlem2  44635
 Copyright terms: Public domain W3C validator