Theorem nn0addcom 42503

Description: Addition is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11070. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem nn0addcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12383	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnaddcom 42309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		nnre 12132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		readdlid 42444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
6		readdrid 42451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
7	5, 6	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
9		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 𝐵))
10		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐵 + 0))
11	9, 10	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
13	12	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	3, 13	jaoian 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
16		nn0re 12390	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		readdrid 42451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
18		readdlid 42444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19	17, 18	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
21		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 0))
22		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (0 + 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
26	15, 25	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-resub 42407

This theorem is referenced by:  zaddcomlem  42504  zaddcom  42505