Theorem nn0addcom 41324

Description: Addition is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem nn0addcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12473	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnaddcom 41184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		nnre 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		readdlid 41277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
6		readdrid 41283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
7	5, 6	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
9		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 𝐵))
10		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐵 + 0))
11	9, 10	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
13	12	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	3, 13	jaoian 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
16		nn0re 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		readdrid 41283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
18		readdlid 41277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19	17, 18	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
21		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 0))
22		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (0 + 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
25	24	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
26	15, 25	jaodan 956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-resub 41240

This theorem is referenced by:  zaddcomlem  41325  zaddcom  41326