Theorem nn0addcom 42480

Description: Addition is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem nn0addcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12528	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnaddcom 42303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		nnre 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		readdlid 42433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
6		readdrid 42439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
7	5, 6	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
9		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 𝐵))
10		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐵 + 0))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
13	12	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	3, 13	jaoian 959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
16		nn0re 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		readdrid 42439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
18		readdlid 42433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19	17, 18	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
21		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 0))
22		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (0 + 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
26	15, 25	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  zaddcomlem  42481  zaddcom  42482