Theorem nn0addcom 42457

Description: Addition is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem nn0addcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnaddcom 42282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		nnre 12271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		readdlid 42410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
6		readdrid 42416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
7	5, 6	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0))
9		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 𝐵))
10		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐵 + 0))
11	9, 10	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (0 + 𝐵) = (𝐵 + 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
13	12	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	3, 13	jaoian 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
16		nn0re 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		readdrid 42416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
18		readdlid 42410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19	17, 18	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
21		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 0))
22		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝐴) = (0 + 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴) ↔ (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
26	15, 25	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  zaddcomlem  42458  zaddcom  42459