MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1c 12682
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e 𝐸 ∈ ℕ0
decmul1c.c ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
decmul1c.2 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1c (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 12635 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 12620 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2764 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 decmul1c.e . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
10 decmul1c.c . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
11 decmul1c.2 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
12 dfdec10 12620 . . . 4 𝐸𝐷 = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
1311, 12eqtri 2764 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 12666 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
15 dfdec10 12620 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
1614, 15eqtr4i 2767 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7356  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055  0cn0 12412  cdc 12617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-sub 11386  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-dec 12618
This theorem is referenced by:  2exp8  16960  2exp11  16961  2exp16  16962  prmlem2  16991  631prm  16998  1259lem1  17002  1259lem2  17003  1259lem3  17004  1259lem4  17005  1259prm  17007  2503lem1  17008  2503lem2  17009  2503prm  17011  4001lem1  17012  4001lem2  17013  4001prm  17016  log2ublem3  26296  log2ub  26297  ex-fac  29342  dpmul  31713  12lcm5e60  40455  60lcm7e420  40457  3exp7  40500  3lexlogpow5ineq1  40501  3lexlogpow5ineq5  40507  aks4d1p1  40523  235t711  40782  ex-decpmul  40783  resqrtvalex  41898  imsqrtvalex  41899  wallispi2lem2  44284  fmtno5lem1  45716  fmtno5lem2  45717  fmtno5lem3  45718  257prm  45724  fmtno4nprmfac193  45737  fmtno5faclem1  45742  fmtno5faclem2  45743  m11nprm  45764  11t31e341  45895  2exp340mod341  45896
  Copyright terms: Public domain W3C validator