Theorem decmul1c 12013

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
decmul1c.c	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
decmul1c.2	⊢ (𝐵 · 𝑃) = ;𝐸𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 11965	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 11950	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2819	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		decmul1c.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
10		decmul1c.c	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
11		decmul1c.2	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ;𝐸𝐷
12		dfdec10 11950	. . . 4 ⊢ ;𝐸𝐷 = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
13	11, 12	eqtri 2819	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul1c 11996	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
15		dfdec10 11950	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
16	14, 15	eqtr4i 2822	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  ℕ₀cn0 11745  ;cdc 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-sub 10719  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-dec 11948

This theorem is referenced by:  2exp8  16252  2exp16  16253  prmlem2  16282  631prm  16289  1259lem1  16293  1259lem2  16294  1259lem3  16295  1259lem4  16296  1259prm  16298  2503lem1  16299  2503lem2  16300  2503prm  16302  4001lem1  16303  4001lem2  16304  4001prm  16307  log2ublem3  25208  log2ub  25209  ex-fac  27922  dpmul  30273  235t711  38699  ex-decpmul  38700  wallispi2lem2  41899  fmtno5lem1  43197  fmtno5lem2  43198  fmtno5lem3  43199  257prm  43205  fmtno4nprmfac193  43218  fmtno5faclem1  43223  fmtno5faclem2  43224  2exp11  43247  m11nprm  43248  11t31e341  43379  2exp340mod341  43380