Theorem decmul1c 12704

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
decmul1c.c	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
decmul1c.2	⊢ (𝐵 · 𝑃) = ;𝐸𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12657	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12642	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2764	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		decmul1c.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
10		decmul1c.c	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
11		decmul1c.2	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ;𝐸𝐷
12		dfdec10 12642	. . . 4 ⊢ ;𝐸𝐷 = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
13	11, 12	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul1c 12688	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
15		dfdec10 12642	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
16	14, 15	eqtr4i 2767	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432  ;cdc 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-dec 12640

This theorem is referenced by:  2exp8  17054  2exp11  17055  2exp16  17056  prmlem2  17085  631prm  17092  1259lem1  17096  1259lem2  17097  1259lem3  17098  1259lem4  17099  1259prm  17101  2503lem1  17102  2503lem2  17103  2503prm  17105  4001lem1  17106  4001lem2  17107  4001prm  17110  log2ublem3  26934  log2ub  26935  ex-fac  30543  dpmul  32995  12lcm5e60  42508  60lcm7e420  42510  3exp7  42553  3lexlogpow5ineq1  42554  3lexlogpow5ineq5  42560  aks4d1p1  42576  235t711  42797  ex-decpmul  42798  sum9cubes  43137  resqrtvalex  44104  imsqrtvalex  44105  wallispi2lem2  46529  fmtno5lem1  48045  fmtno5lem2  48046  fmtno5lem3  48047  257prm  48053  fmtno4nprmfac193  48066  fmtno5faclem1  48071  fmtno5faclem2  48072  m11nprm  48093  11t31e341  48237  2exp340mod341  48238