MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1c 12794
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e 𝐸 ∈ ℕ0
decmul1c.c ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
decmul1c.2 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1c (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 12747 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 12732 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2754 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 decmul1c.e . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
10 decmul1c.c . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
11 decmul1c.2 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
12 dfdec10 12732 . . . 4 𝐸𝐷 = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
1311, 12eqtri 2754 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 12778 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
15 dfdec10 12732 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
1614, 15eqtr4i 2757 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  0cn0 12524  cdc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12730
This theorem is referenced by:  2exp8  17091  2exp11  17092  2exp16  17093  prmlem2  17122  631prm  17129  1259lem1  17133  1259lem2  17134  1259lem3  17135  1259lem4  17136  1259prm  17138  2503lem1  17139  2503lem2  17140  2503prm  17142  4001lem1  17143  4001lem2  17144  4001prm  17147  log2ublem3  26976  log2ub  26977  ex-fac  30384  dpmul  32774  12lcm5e60  41707  60lcm7e420  41709  3exp7  41752  3lexlogpow5ineq1  41753  3lexlogpow5ineq5  41759  aks4d1p1  41775  235t711  42106  ex-decpmul  42107  sum9cubes  42326  resqrtvalex  43312  imsqrtvalex  43313  wallispi2lem2  45693  fmtno5lem1  47125  fmtno5lem2  47126  fmtno5lem3  47127  257prm  47133  fmtno4nprmfac193  47146  fmtno5faclem1  47151  fmtno5faclem2  47152  m11nprm  47173  11t31e341  47304  2exp340mod341  47305
  Copyright terms: Public domain W3C validator