Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem incsmflem 45457
Description: A nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x β„²π‘₯πœ‘
incsmflem.y β„²π‘¦πœ‘
incsmflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
incsmflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
incsmflem.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
incsmflem.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
incsmflem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐴,𝑦   𝐡,𝑏   π‘₯,𝐢,𝑦   𝐷,𝑏   π‘₯,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘Œ,𝑏   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑏)   π‘Œ(π‘₯)
Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
2 mnfxr 11271 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
5 ssrab2 4078 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅} βŠ† 𝐴
64, 5eqsstri 4017 . . . . . . . 8 π‘Œ βŠ† 𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8sstrd 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
109sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
133, 10, 11, 12iocborel 45072 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (-∞(,]𝐢) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
15 incsmflem.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
16 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐢
17 nfrab1 3452 . . . . . . 7 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯π‘Œ
1916, 18nfel 2918 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ π‘Œ
2015, 19nfan 1903 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
21 incsmflem.y . . . . 5 β„²π‘¦πœ‘
22 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑦 𝐢 ∈ π‘Œ
2321, 22nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
248adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2625adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
2827adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
32 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 45432 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴))
34 ineq1 4206 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ 𝐴))
3534rspceeqv 3634 . . 3 ((𝐸 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
37 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
3811, 12iooborel 45067 . . . . . 6 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐡
3937, 38eqeltri 2830 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
4039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4140adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4219nfn 1861 . . . . 5 β„²π‘₯ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4315, 42nfan 1903 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
44 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑦 Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4521, 44nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
468adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4725adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
4827adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4929adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
50 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
5143, 45, 46, 47, 48, 49, 4, 31, 50, 37pimincfltioo 45434 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴))
52 ineq1 4206 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐷 ∩ 𝐴))
5352rspceeqv 3634 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5441, 51, 53syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5536, 54pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  (,]cioc 13325  topGenctg 17383  SalGencsalgen 45028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-fl 13757  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-salg 45025  df-salgen 45029
This theorem is referenced by:  incsmf  45458
  Copyright terms: Public domain W3C validator