Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmflem 42582
Description: A nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x 𝑥𝜑
incsmflem.y 𝑦𝜑
incsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
incsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
incsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑥,𝐶,𝑦   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 10551 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
5 ssrab2 3983 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3928 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 3905 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3895 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 42203 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13syl5eqel 2889 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 incsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 nfcv 2951 . . . . . 6 𝑥𝐶
17 nfrab1 3346 . . . . . . 7 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2949 . . . . . 6 𝑥𝑌
1916, 18nfel 2963 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2015, 19nfan 1885 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
21 incsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
22 nfv 1896 . . . . 5 𝑦 𝐶𝑌
2321, 22nfan 1885 . . . 4 𝑦(𝜑𝐶𝑌)
248adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
32 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 42558 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 4107 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534rspceeqv 3579 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
37 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3811, 12iooborel 42198 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
3937, 38eqeltri 2881 . . . . 5 𝐷𝐵
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4219nfn 1842 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4315, 42nfan 1885 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
44 nfv 1896 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4521, 44nfan 1885 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
468adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4725adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4827adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4929adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
50 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5143, 45, 46, 47, 48, 49, 4, 31, 50, 37pimincfltioo 42560 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
52 ineq1 4107 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5352rspceeqv 3579 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5441, 51, 53syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5536, 54pm2.61dan 809 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wnf 1769  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  cin 3864  wss 3865   class class class wbr 4968  ran crn 5451  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  supcsup 8757  cr 10389  -∞cmnf 10526  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  (,)cioo 12592  (,]cioc 12593  topGenctg 16544  SalGencsalgen 42161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-fl 13016  df-topgen 16550  df-top 21190  df-bases 21242  df-salg 42158  df-salgen 42162
This theorem is referenced by:  incsmf  42583
  Copyright terms: Public domain W3C validator