Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem incsmflem 46029
Description: A nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x β„²π‘₯πœ‘
incsmflem.y β„²π‘¦πœ‘
incsmflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
incsmflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
incsmflem.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
incsmflem.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
incsmflem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐴,𝑦   𝐡,𝑏   π‘₯,𝐢,𝑦   𝐷,𝑏   π‘₯,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘Œ,𝑏   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑏)   π‘Œ(π‘₯)
Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
2 mnfxr 11275 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
5 ssrab2 4072 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅} βŠ† 𝐴
64, 5eqsstri 4011 . . . . . . . 8 π‘Œ βŠ† 𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8sstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
109sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
133, 10, 11, 12iocborel 45644 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (-∞(,]𝐢) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
15 incsmflem.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
16 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐢
17 nfrab1 3445 . . . . . . 7 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2895 . . . . . 6 β„²π‘₯π‘Œ
1916, 18nfel 2911 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ π‘Œ
2015, 19nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
21 incsmflem.y . . . . 5 β„²π‘¦πœ‘
22 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑦 𝐢 ∈ π‘Œ
2321, 22nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
248adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2625adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
2827adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
32 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 46004 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴))
34 ineq1 4200 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ 𝐴))
3534rspceeqv 3628 . . 3 ((𝐸 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
37 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
3811, 12iooborel 45639 . . . . . 6 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐡
3937, 38eqeltri 2823 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
4039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4140adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4219nfn 1852 . . . . 5 β„²π‘₯ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4315, 42nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
44 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑦 Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4521, 44nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
468adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4725adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
4827adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4929adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
50 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
5143, 45, 46, 47, 48, 49, 4, 31, 50, 37pimincfltioo 46006 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴))
52 ineq1 4200 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐷 ∩ 𝐴))
5352rspceeqv 3628 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5441, 51, 53syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5536, 54pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  topGenctg 17392  SalGencsalgen 45600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-fl 13763  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-salg 45597  df-salgen 45601
This theorem is referenced by:  incsmf  46030
  Copyright terms: Public domain W3C validator