Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmflem 41593
Description: A nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x 𝑥𝜑
incsmflem.y 𝑦𝜑
incsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
incsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
incsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑥,𝐶,𝑦   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 10352 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
5 ssrab2 3849 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3797 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 3773 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3763 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 41214 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13syl5eqel 2848 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 incsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐶
17 nfrab1 3270 . . . . . . 7 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2905 . . . . . 6 𝑥𝑌
1916, 18nfel 2920 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2015, 19nfan 1998 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
21 incsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
22 nfv 2009 . . . . 5 𝑦 𝐶𝑌
2321, 22nfan 1998 . . . 4 𝑦(𝜑𝐶𝑌)
248adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2625adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
32 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 41569 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 3971 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534rspceeqv 3480 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 579 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
37 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3811, 12iooborel 41209 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
3937, 38eqeltri 2840 . . . . 5 𝐷𝐵
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4140adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4219nfn 1953 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4315, 42nfan 1998 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
44 nfv 2009 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4521, 44nfan 1998 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
468adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4725adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4827adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4929adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
50 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5143, 45, 46, 47, 48, 49, 4, 31, 50, 37pimincfltioo 41571 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
52 ineq1 3971 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5352rspceeqv 3480 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5441, 51, 53syl2anc 579 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5536, 54pm2.61dan 847 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cr 10190  -∞cmnf 10328  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  (,)cioo 12380  (,]cioc 12381  topGenctg 16367  SalGencsalgen 41172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-card 9018  df-acn 9021  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-fl 12804  df-topgen 16373  df-top 20981  df-bases 21033  df-salg 41169  df-salgen 41173
This theorem is referenced by:  incsmf  41594
  Copyright terms: Public domain W3C validator