Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem incsmflem 46192
Description: A nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x β„²π‘₯πœ‘
incsmflem.y β„²π‘¦πœ‘
incsmflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
incsmflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
incsmflem.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
incsmflem.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
incsmflem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐴,𝑦   𝐡,𝑏   π‘₯,𝐢,𝑦   𝐷,𝑏   π‘₯,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘Œ,𝑏   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑏)   π‘Œ(π‘₯)
Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
2 mnfxr 11301 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
5 ssrab2 4069 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅} βŠ† 𝐴
64, 5eqsstri 4007 . . . . . . . 8 π‘Œ βŠ† 𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8sstrd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
109sselda 3972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
133, 10, 11, 12iocborel 45807 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (-∞(,]𝐢) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
15 incsmflem.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
16 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐢
17 nfrab1 3439 . . . . . . 7 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2890 . . . . . 6 β„²π‘₯π‘Œ
1916, 18nfel 2907 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ π‘Œ
2015, 19nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
21 incsmflem.y . . . . 5 β„²π‘¦πœ‘
22 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑦 𝐢 ∈ π‘Œ
2321, 22nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
248adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2625adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
2827adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
32 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 46167 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴))
34 ineq1 4199 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ 𝐴))
3534rspceeqv 3623 . . 3 ((𝐸 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
37 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
3811, 12iooborel 45802 . . . . . 6 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐡
3937, 38eqeltri 2821 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
4039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4140adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4219nfn 1852 . . . . 5 β„²π‘₯ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4315, 42nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
44 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑦 Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4521, 44nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
468adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4725adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
4827adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4929adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
50 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
5143, 45, 46, 47, 48, 49, 4, 31, 50, 37pimincfltioo 46169 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴))
52 ineq1 4199 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐷 ∩ 𝐴))
5352rspceeqv 3623 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5441, 51, 53syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5536, 54pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  ran crn 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  supcsup 9463  β„cr 11137  -∞cmnf 11276  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  (,)cioo 13356  (,]cioc 13357  topGenctg 17418  SalGencsalgen 45763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-fl 13789  df-topgen 17424  df-top 22814  df-bases 22867  df-salg 45760  df-salgen 45764
This theorem is referenced by:  incsmf  46193
  Copyright terms: Public domain W3C validator