MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnncand 11023
Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pnncand (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem pnncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 pnncan 10914 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐶)) = (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7140  cc 10522   + caddc 10527  cmin 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-ltxr 10667  df-sub 10859
This theorem is referenced by:  cju  11621  bcp1m1  13676  remim  14467  amgm2  14720  fallfacfwd  15381  sinadd  15508  subsin  15515  subcos  15519  pythagtriplem15  16155  difsqpwdvds  16212  cphipval2  23836  efif1olem2  25126  heron  25415  quad2  25416  dquart  25430  fsumharmonic  25588  lgamgulmlem3  25607  basellem5  25661  selberg2  26126  selberg4  26136  pntrlog2bndlem6  26158  rmxdbl  39727  jm2.16nn0  39792  sqrtcval  40188  hoiqssbllem2  43119  itscnhlc0xyqsol  45024
  Copyright terms: Public domain W3C validator