Theorem ppncand 11649

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ppncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐶))

Proof of Theorem ppncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		ppncan 11540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   + caddc 11149   − cmin 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484

This theorem is referenced by:  cju  12246  remim  15104  absmax  15316  bhmafibid2cn  15451  arisum  15846  binomfallfaclem2  16024  cosadd  16149  addsin  16154  cosmul  16157  addcos  16158  pythagtriplem12  16802  pythagtriplem17  16807  fldivp1  16873  mul4sqlem  16929  vdwlem8  16964  nmparlem  25187  cphipval2  25189  heron  26790  quart1lem  26807  quart1  26808  cosasin  26856  cosatan  26873  2sqblem  27384  dchrisumlem2  27443  cncph  30649  divcnvlin  35360  fwddifnp1  35794  posbezout  41603  sticksstones22  41672  rmxluc  42388  rmyluc  42389  acongeq  42435  sinmulcos  45282  fourierdlem65  45588  itsclc0xyqsolr  47920