MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2 15263
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for ๐‘› = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
amgm2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 12236 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
2 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 remulcl 11144 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulge0 11681 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7 resqrtcl 15147 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
98recnd 11191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10 sqmul 14033 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
111, 9, 10sylancr 588 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
12 sq2 14110 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
1312oveq1i 7371 . . . . . 6 ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2))
145recnd 11191 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
15 sqrtth 15258 . . . . . . . 8 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
1716oveq2d 7377 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1813, 17eqtrid 2785 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1911, 18eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
202, 3resubcld 11591 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
2120sqge0d 14051 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
222recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
233recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
24 binom2 14130 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
26 binom2sub 14132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2722, 23, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2825, 27oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))))
292resqcld 14039 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
30 2re 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
31 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3230, 5, 31sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3329, 32readdcld 11192 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3433recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3529, 32resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3635recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
373resqcld 14039 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
3837recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3934, 36, 38pnpcan2d 11558 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))))
4032recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
41402timesd 12404 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
42 2t2e4 12325 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
4342oveq1i 7371 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))
44 2cnd 12239 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4544, 44, 14mulassd 11186 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4643, 45eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4729recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4847, 40, 40pnncand 11559 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4941, 46, 483eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5028, 39, 493eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
512, 3readdcld 11192 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
5251resqcld 14039 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5352recnd 11191 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5420resqcld 14039 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5554recnd 11191 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
56 4re 12245 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
57 remulcl 11144 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5856, 5, 57sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5958recnd 11191 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
60 subsub23 11414 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6153, 55, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6250, 61mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
6321, 62breqtrrd 5137 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
6452, 58subge0d 11753 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โ†” (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
6563, 64mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
6619, 65eqbrtrd 5131 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
67 remulcl 11144 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
6830, 8, 67sylancr 588 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
69 sqrtge0 15151 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
705, 6, 69syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
71 0le2 12263 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
72 mulge0 11681 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
7330, 71, 72mpanl12 701 . . . . 5 (((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
748, 70, 73syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
75 addge0 11652 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7675an4s 659 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7768, 51, 74, 76le2sqd 14169 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
7866, 77mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต))
79 2rp 12928 . . . 4 2 โˆˆ โ„+
8079a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
818, 51, 80lemuldiv2d 13015 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2)))
8278, 81mpbid 231 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  4c4 12218  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator