MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2 15342
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for ๐‘› = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
amgm2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 12311 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
2 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 remulcl 11217 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulge0 11756 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7 resqrtcl 15226 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
85, 6, 7syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
98recnd 11266 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10 sqmul 14109 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
111, 9, 10sylancr 586 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
12 sq2 14186 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
1312oveq1i 7424 . . . . . 6 ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2))
145recnd 11266 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
15 sqrtth 15337 . . . . . . . 8 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
1716oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1813, 17eqtrid 2780 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1911, 18eqtrd 2768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
202, 3resubcld 11666 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
2120sqge0d 14127 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
222recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
233recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
24 binom2 14206 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2522, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
26 binom2sub 14208 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2722, 23, 26syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2825, 27oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))))
292resqcld 14115 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
30 2re 12310 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
31 remulcl 11217 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3230, 5, 31sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3329, 32readdcld 11267 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3433recnd 11266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3529, 32resubcld 11666 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3635recnd 11266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
373resqcld 14115 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
3837recnd 11266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3934, 36, 38pnpcan2d 11633 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))))
4032recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
41402timesd 12479 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
42 2t2e4 12400 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
4342oveq1i 7424 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))
44 2cnd 12314 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4544, 44, 14mulassd 11261 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4643, 45eqtr3id 2782 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4729recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4847, 40, 40pnncand 11634 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4941, 46, 483eqtr4rd 2779 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5028, 39, 493eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
512, 3readdcld 11267 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
5251resqcld 14115 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5352recnd 11266 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5420resqcld 14115 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5554recnd 11266 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
56 4re 12320 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
57 remulcl 11217 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5856, 5, 57sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5958recnd 11266 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
60 subsub23 11489 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6153, 55, 59, 60syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6250, 61mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
6321, 62breqtrrd 5170 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
6452, 58subge0d 11828 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โ†” (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
6563, 64mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
6619, 65eqbrtrd 5164 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
67 remulcl 11217 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
6830, 8, 67sylancr 586 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
69 sqrtge0 15230 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
705, 6, 69syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
71 0le2 12338 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
72 mulge0 11756 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
7330, 71, 72mpanl12 701 . . . . 5 (((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
748, 70, 73syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
75 addge0 11727 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7675an4s 659 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7768, 51, 74, 76le2sqd 14245 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
7866, 77mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต))
79 2rp 13005 . . . 4 2 โˆˆ โ„+
8079a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
818, 51, 80lemuldiv2d 13092 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2)))
8278, 81mpbid 231 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โ‰ค cle 11273   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  2c2 12291  4c4 12293  โ„+crp 13000  โ†‘cexp 14052  โˆšcsqrt 15206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator