Theorem amgm2 15281

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
amgm2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulge0 11644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		resqrtcl 15164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10		sqmul 14030	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
11	1, 9, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
12		sq2 14108	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
13	12	oveq1i 7364	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2))
14	5	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		sqrtth 15276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	oveq2d 7370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
18	13, 17	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
19	11, 18	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
20	2, 3	resubcld 11554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	sqge0d 14048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵)↑2))
22	2	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		binom2 14128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
26		binom2sub 14131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
27	22, 23, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
28	25, 27	oveq12d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
29	2	resqcld 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30		2re 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
31		remulcl 11100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
32	30, 5, 31	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
33	29, 32	readdcld 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
35	29, 32	resubcld 11554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
37	3	resqcld 14036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
39	34, 36, 38	pnpcan2d 11519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))))
40	32	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	40	2timesd 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
42		2t2e4 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	oveq1i 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
44		2cnd 12212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
45	44, 44, 14	mulassd 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
46	43, 45	eqtr3id 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
47	29	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
48	47, 40, 40	pnncand 11520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
49	41, 46, 48	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
50	28, 39, 49	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
51	2, 3	readdcld 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 14036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
54	20	resqcld 14036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
56		4re 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		remulcl 11100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
58	56, 5, 57	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
60		subsub23 11374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
61	53, 55, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
62	50, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
63	21, 62	breqtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))))
64	52, 58	subge0d 11716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) ↔ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
65	63, 64	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
66	19, 65	eqbrtrd 5117	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
67		remulcl 11100	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
68	30, 8, 67	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
69		sqrtge0 15168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
70	5, 6, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
71		0le2 12236	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
72		mulge0 11644	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
73	30, 71, 72	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
74	8, 70, 73	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
75		addge0 11615	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
76	75	an4s 660	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
77	68, 51, 74, 76	le2sqd 14168	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
78	66, 77	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵))
79		2rp 12899	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
80	79	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
81	8, 51, 80	lemuldiv2d 12988	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
82	78, 81	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015   + caddc 11018   · cmul 11020   ≤ cle 11156   − cmin 11353   / cdiv 11783  2c2 12189  4c4 12191  ℝ⁺crp 12894  ↑cexp 13972  √csqrt 15144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147

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