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Theorem amgm2 15254
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
amgm2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 12228 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 mulge0 11673 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7 resqrtcl 15138 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10 sqmul 14024 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
111, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
12 sq2 14101 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
1312oveq1i 7367 . . . . . 6 ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2))
145recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15 sqrtth 15249 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
1716oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
1813, 17eqtrid 2788 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
1911, 18eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
202, 3resubcld 11583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2120sqge0d 14042 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴𝐵)↑2))
222recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
233recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24 binom2 14121 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
26 binom2sub 14123 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
2722, 23, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
2825, 27oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴𝐵)↑2)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
292resqcld 14030 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
31 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
3230, 5, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
3329, 32readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3433recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
3529, 32resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3635recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
373resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3934, 36, 38pnpcan2d 11550 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))))
4032recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41402timesd 12396 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
42 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4342oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
44 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4544, 44, 14mulassd 11178 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
4643, 45eqtr3id 2790 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
4729recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4847, 40, 40pnncand 11551 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
4941, 46, 483eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
5028, 39, 493eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
512, 3readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5251resqcld 14030 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
5352recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
5420resqcld 14030 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴𝐵)↑2) ∈ ℝ)
5554recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴𝐵)↑2) ∈ ℂ)
56 4re 12237 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
57 remulcl 11136 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
5856, 5, 57sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
60 subsub23 11406 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴𝐵)↑2)))
6153, 55, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴𝐵)↑2)))
6250, 61mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴𝐵)↑2))
6321, 62breqtrrd 5133 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))))
6452, 58subge0d 11745 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) ↔ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
6563, 64mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
6619, 65eqbrtrd 5127 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
67 remulcl 11136 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
6830, 8, 67sylancr 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
69 sqrtge0 15142 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
705, 6, 69syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
71 0le2 12255 . . . . . 6 0 ≤ 2
72 mulge0 11673 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
7330, 71, 72mpanl12 700 . . . . 5 (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
748, 70, 73syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
75 addge0 11644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7675an4s 658 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7768, 51, 74, 76le2sqd 14160 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
7866, 77mpbird 256 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵))
79 2rp 12920 . . . 4 2 ∈ ℝ+
8079a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
818, 51, 80lemuldiv2d 13007 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
8278, 81mpbid 231 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
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