Theorem pnpcan2d 11700

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pnpcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem pnpcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		pnpcan2 11591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  subaddeqd  11724  modvalp1  14023  modcyc  14039  addmodlteq  14082  crre  15274  amgm2  15530  addcn2  15754  iseralt  15845  telfsumo  15962  pwdif  16030  4sqlem10  17118  pcoass  25338  ipcau2  25548  ovolshftlem1  25823  ptolemy  26818  chordthmlem2  27154  chordthmlem4  27156  heron  27159  quart1lem  27176  sinasin  27210  asinsin  27213  2efiatan  27239  atantayl2  27259  basellem3  27403  basellem8  27408  lgslem1  27617  lgseisenlem1  27695  chpdifbndlem1  27873  pntpbnd2  27907  pntlemr  27922  subfacp1lem1  35923  sumcubes  43350  binomcxplemrat  45319  limcperiod  46609  fperdvper  46898  wallispilem3  47046  fourierdlem65  47150  smfmullem1  47770  crossp3d  50936