Theorem bcp1m1 14271

Description: Compute the binomial coefficient of (𝑁 + 1) over (𝑁 − 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12466	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		nn0z 12537	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12559	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		bccmpl 14260	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
6	1, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
7		nn0cn 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8, 8	pnncand 11533	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = (1 + 1))
10		df-2 12233	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = 2)
12	11	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
13		bcn2 14270	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
15		ax-1cn 11085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		pncan 11388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	7, 15, 16	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
19	18	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
20	14, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
21	12, 20	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
22	6, 21	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  Ccbc 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-seq 13953  df-fac 14225  df-bc 14254

This theorem is referenced by:  arisum  15814