![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcp1m1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Compute the binomial coefficient of (๐ + 1) over (๐ โ 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcp1m1 | โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C(๐ โ 1)) = (((๐ + 1) ยท ๐) / 2)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | peano2nn0 12458 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (๐ + 1) โ โ0) | |
2 | nn0z 12529 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค) | |
3 | peano2zm 12551 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ 1) โ โค) |
5 | bccmpl 14215 | . . 3 โข (((๐ + 1) โ โ0 โง (๐ โ 1) โ โค) โ ((๐ + 1)C(๐ โ 1)) = ((๐ + 1)C((๐ + 1) โ (๐ โ 1)))) | |
6 | 1, 4, 5 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C(๐ โ 1)) = ((๐ + 1)C((๐ + 1) โ (๐ โ 1)))) |
7 | nn0cn 12428 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
8 | 1cnd 11155 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ 1 โ โ) | |
9 | 7, 8, 8 | pnncand 11556 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1) โ (๐ โ 1)) = (1 + 1)) |
10 | df-2 12221 | . . . . 5 โข 2 = (1 + 1) | |
11 | 9, 10 | eqtr4di 2791 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1) โ (๐ โ 1)) = 2) |
12 | 11 | oveq2d 7374 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C((๐ + 1) โ (๐ โ 1))) = ((๐ + 1)C2)) |
13 | bcn2 14225 | . . . . 5 โข ((๐ + 1) โ โ0 โ ((๐ + 1)C2) = (((๐ + 1) ยท ((๐ + 1) โ 1)) / 2)) | |
14 | 1, 13 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C2) = (((๐ + 1) ยท ((๐ + 1) โ 1)) / 2)) |
15 | ax-1cn 11114 | . . . . . . 7 โข 1 โ โ | |
16 | pncan 11412 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง 1 โ โ) โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) | |
17 | 7, 15, 16 | sylancl 587 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) |
18 | 17 | oveq2d 7374 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1) ยท ((๐ + 1) โ 1)) = ((๐ + 1) ยท ๐)) |
19 | 18 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ (((๐ + 1) ยท ((๐ + 1) โ 1)) / 2) = (((๐ + 1) ยท ๐) / 2)) |
20 | 14, 19 | eqtrd 2773 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C2) = (((๐ + 1) ยท ๐) / 2)) |
21 | 12, 20 | eqtrd 2773 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C((๐ + 1) โ (๐ โ 1))) = (((๐ + 1) ยท ๐) / 2)) |
22 | 6, 21 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ + 1)C(๐ โ 1)) = (((๐ + 1) ยท ๐) / 2)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7358 โcc 11054 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โ cmin 11390 / cdiv 11817 2c2 12213 โ0cn0 12418 โคcz 12504 Ccbc 14208 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fz 13431 df-seq 13913 df-fac 14180 df-bc 14209 |
This theorem is referenced by: arisum 15750 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |