MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1m1 14283
Description: Compute the binomial coefficient of (๐‘ + 1) over (๐‘ โˆ’ 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1m1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12513 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
2 nn0z 12584 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 peano2zm 12606 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5 bccmpl 14272 . . 3 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
61, 4, 5syl2anc 583 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
7 nn0cn 12483 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11210 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
97, 8, 8pnncand 11611 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 + 1))
10 df-2 12276 . . . . 5 2 = (1 + 1)
119, 10eqtr4di 2784 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 2)
1211oveq2d 7420 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐‘ + 1)C2))
13 bcn2 14282 . . . . 5 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C2) = (((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) / 2))
141, 13syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C2) = (((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) / 2))
15 ax-1cn 11167 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
16 pncan 11467 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
177, 15, 16sylancl 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
1817oveq2d 7420 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1) ยท ๐‘))
1918oveq1d 7419 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) / 2) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
2014, 19eqtrd 2766 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C2) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
2112, 20eqtrd 2766 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
226, 21eqtrd 2766 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  Ccbc 14265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-fac 14237  df-bc 14266
This theorem is referenced by:  arisum  15810
  Copyright terms: Public domain W3C validator