Theorem bcp1m1 14276

Description: Compute the binomial coefficient of (𝑁 + 1) over (𝑁 − 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		nn0z 12579	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12601	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		bccmpl 14265	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
7		nn0cn 12478	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8, 8	pnncand 11606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = (1 + 1))
10		df-2 12271	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = 2)
12	11	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
13		bcn2 14275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
15		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		pncan 11462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	7, 15, 16	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
19	18	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
20	14, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
21	12, 20	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
22	6, 21	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  Ccbc 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259

This theorem is referenced by:  arisum  15802