Theorem bcp1m1 14227

Description: Compute the binomial coefficient of (𝑁 + 1) over (𝑁 − 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		nn0z 12496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12518	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		bccmpl 14216	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
7		nn0cn 12394	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11110	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8, 8	pnncand 11514	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = (1 + 1))
10		df-2 12191	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	9, 10	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = 2)
12	11	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
13		bcn2 14226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
15		ax-1cn 11067	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		pncan 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	7, 15, 16	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
19	18	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
20	14, 19	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
21	12, 20	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
22	6, 21	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347   / cdiv 11777  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  Ccbc 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-fac 14181  df-bc 14210

This theorem is referenced by:  arisum  15767