Theorem bcp1m1 14317

Description: Compute the binomial coefficient of (𝑁 + 1) over (𝑁 − 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12548	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		nn0z 12619	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		bccmpl 14306	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
6	1, 4, 5	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
7		nn0cn 12518	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8, 8	pnncand 11646	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = (1 + 1))
10		df-2 12311	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	9, 10	eqtr4di 2785	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = 2)
12	11	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
13		bcn2 14316	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
15		ax-1cn 11202	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		pncan 11502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	7, 15, 16	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
19	18	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
20	14, 19	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
21	12, 20	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
22	6, 21	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   − cmin 11480   / cdiv 11907  2c2 12303  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  Ccbc 14299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-fac 14271  df-bc 14300

This theorem is referenced by:  arisum  15844