Theorem difsqpwdvds 17070

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difsqpwdvds	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		subsq 14357	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
9		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10		nn0z 12720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nn0z 12720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
12	10, 11	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		zaddcl 12739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	14	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16		nn0re 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		1red 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19		nn0re 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 11920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	20, 22, 18	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24		difgtsumgt 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
26	21, 25	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27	26	3impia 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28		eluz2b1 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
31		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
32	9, 30, 31	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34		zsubcl 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35	13, 34	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
36	12, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
37	36	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
38		dvdsmul1 16452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
40	39	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
41		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
42	41	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
43	40, 42	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
44		dvdsprmpweqnn 17068	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚)))
45	33, 43, 44	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚))
46		prmz 16855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47		iddvdsexp 16454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
48	46, 47	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
49		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚)))
50	48, 49	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
51	50	rexlimdva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
53	52	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
54	53	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
55	12, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
56	55	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
57	21	biimp3a 1498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 𝐵))
58		eluz2b1 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
59	56, 57, 58	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
61	9, 60, 31	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
62	61	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63		dvdsmul2 16453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
64	37, 63	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
65	64	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
66		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
67	66	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
68	65, 67	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
69		dvdsprmpweqnn 17068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛)))
70	62, 68, 69	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛))
71		iddvdsexp 16454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
72	46, 71	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
73		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛)))
74	72, 73	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
75	74	rexlimdva 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
76	75	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
77	76	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
78	77	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
79	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
80	37, 79	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
81		3anass 1111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
83		dvds2sub 16466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
85	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	2	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87	85, 86, 86	pnncand 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
88	2	2timesd 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
89	88	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90	89	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
91	87, 90	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
92	91	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
93	92	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
95	84, 94	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
96	95	expcomd 422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
97	96	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
98	78, 97	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
99	70, 98	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
100	54, 99	syld 48	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
101	45, 100	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102	101	ex 418	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
103	8, 102	sylbid 243	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ↑cexp 14207   ∥ cdvds 16427  ℙcprime 16851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-pc 17020

This theorem is used by:  lighneallem2  48784