MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 16850
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12507 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 nn0cn 12507 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2anim12i 611 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
433adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 subsq 14200 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
76adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
87eqeq2d 2736 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†” (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
9 simprl 769 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„™)
10 nn0z 12608 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
11 nn0z 12608 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1210, 11anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
13 zaddcl 12627 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
15143adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
16 nn0re 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 1red 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
19 nn0re 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2117, 18, 20ltaddsub2d 11840 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
2320, 22, 183jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„))
24 difgtsumgt 12550 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2621, 25sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
27263impia 1114 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต))
28 eluz2b1 12928 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด + ๐ต)))
2915, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
31 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
329, 30, 313jca 1125 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
3332adantr 479 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
34 zsubcl 12629 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3513, 34jca 510 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
37363adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
38 dvdsmul1 16249 . . . . . . . 8 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4039ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
41 breq2 5148 . . . . . . 7 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4241adantl 480 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4340, 42mpbird 256 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
44 dvdsprmpweqnn 16848 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š)))
4533, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š))
46 prmz 16640 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
47 iddvdsexp 16251 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
4846, 47sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
49 breq2 5148 . . . . . . . . . 10 ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š)))
5048, 49syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5150rexlimdva 3145 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5251adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5352adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5453adantr 479 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
56553adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5721biimp3a 1465 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
58 eluz2b1 12928 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
5956, 57, 58sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
619, 60, 313jca 1125 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
6261adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
63 dvdsmul2 16250 . . . . . . . . . 10 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6564ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
66 breq2 5148 . . . . . . . . 9 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6766adantl 480 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6865, 67mpbird 256 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
69 dvdsprmpweqnn 16848 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›)))
7062, 68, 69sylc 65 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›))
71 iddvdsexp 16251 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
7246, 71sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
73 breq2 5148 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›)))
7472, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7574rexlimdva 3145 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7675adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7776adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7877adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7946adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
8037, 79anim12ci 612 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
81 3anass 1092 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
8280, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
83 dvds2sub 16262 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8623ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8785, 86, 86pnncand 11635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
8822timesd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
8988eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
90893ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
9187, 90eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ต))
9291breq2d 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9584, 94syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9695expcomd 415 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9796adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9878, 97syld 47 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10054, 99syld 47 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))
102101ex 411 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
1038, 102sylbid 239 1 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  โ†‘cexp 14053   โˆฅ cdvds 16225  โ„™cprime 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-pc 16800
This theorem is referenced by:  lighneallem2  47005
  Copyright terms: Public domain W3C validator