MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 16213
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11896 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0cn 11896 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
31, 2anim12i 612 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
433adant3 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5 subsq 13562 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
76adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
87eqeq2d 2837 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
9 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10 nn0z 11994 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
11 nn0z 11994 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
1210, 11anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13 zaddcl 12011 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15143adant3 1126 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16 nn0re 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 1red 10631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19 nn0re 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2117, 18, 20ltaddsub2d 11230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴𝐵)))
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2320, 22, 183jca 1122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24 difgtsumgt 11939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2621, 25sylbid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27263impia 1111 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28 eluz2b1 12308 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2915, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
31 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
329, 30, 313jca 1122 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
3332adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34 zsubcl 12013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3513, 34jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
37363adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
38 dvdsmul1 15621 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
4039ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
41 breq2 5067 . . . . . . 7 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4241adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4340, 42mpbird 258 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
44 dvdsprmpweqnn 16211 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚)))
4533, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚))
46 prmz 16009 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47 iddvdsexp 15623 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
4846, 47sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
49 breq2 5067 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑚)))
5048, 49syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5150rexlimdva 3289 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5352adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5453adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
56553adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5721biimp3a 1462 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴𝐵))
58 eluz2b1 12308 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)))
5956, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
619, 60, 313jca 1122 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63 dvdsmul2 15622 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6564ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
66 breq2 5067 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6766adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6865, 67mpbird 258 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
69 dvdsprmpweqnn 16211 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛)))
7062, 68, 69sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛))
71 iddvdsexp 15623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
7246, 71sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
73 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑛)))
7472, 73syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7574rexlimdva 3289 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7776adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7877adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7946adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
8037, 79anim12ci 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
81 3anass 1089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
8280, 81sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
83 dvds2sub 15634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8513ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
8623ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8785, 86, 86pnncand 11025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
8822timesd 11869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
8988eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90893ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
9187, 90eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
9291breq2d 5075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9392biimpd 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9493adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9584, 94syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9695expcomd 417 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9796adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9878, 97syld 47 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10054, 99syld 47 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102101ex 413 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
1038, 102sylbid 241 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cmin 10859  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  cexp 13419  cdvds 15597  cprime 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164
This theorem is referenced by:  lighneallem2  43603
  Copyright terms: Public domain W3C validator