MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 16841
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12498 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 nn0cn 12498 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2anim12i 612 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
433adant3 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 subsq 14191 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
76adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
87eqeq2d 2738 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†” (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
9 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„™)
10 nn0z 12599 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
11 nn0z 12599 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1210, 11anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
13 zaddcl 12618 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
15143adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
16 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 1red 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
19 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2117, 18, 20ltaddsub2d 11831 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
2320, 22, 183jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„))
24 difgtsumgt 12541 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2621, 25sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
27263impia 1115 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต))
28 eluz2b1 12919 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด + ๐ต)))
2915, 27, 28sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
31 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
329, 30, 313jca 1126 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
3332adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
34 zsubcl 12620 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3513, 34jca 511 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
37363adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
38 dvdsmul1 16240 . . . . . . . 8 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4039ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
41 breq2 5146 . . . . . . 7 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4241adantl 481 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4340, 42mpbird 257 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
44 dvdsprmpweqnn 16839 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š)))
4533, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š))
46 prmz 16631 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
47 iddvdsexp 16242 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
4846, 47sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
49 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š)))
5048, 49syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5150rexlimdva 3150 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5251adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5352adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5453adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
56553adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5721biimp3a 1466 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
58 eluz2b1 12919 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
5956, 57, 58sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
619, 60, 313jca 1126 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
6261adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
63 dvdsmul2 16241 . . . . . . . . . 10 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
66 breq2 5146 . . . . . . . . 9 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6766adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6865, 67mpbird 257 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
69 dvdsprmpweqnn 16839 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›)))
7062, 68, 69sylc 65 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›))
71 iddvdsexp 16242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
7246, 71sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
73 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›)))
7472, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7574rexlimdva 3150 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7675adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7776adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7877adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7946adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
8037, 79anim12ci 613 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
81 3anass 1093 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
8280, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
83 dvds2sub 16253 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8513ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8623ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8785, 86, 86pnncand 11626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
8822timesd 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
8988eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
90893ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
9187, 90eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ต))
9291breq2d 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9584, 94syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9695expcomd 416 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9878, 97syld 47 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10054, 99syld 47 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))
102101ex 412 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
1038, 102sylbid 239 1 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โˆ’ cmin 11460  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  โ†‘cexp 14044   โˆฅ cdvds 16216  โ„™cprime 16627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791
This theorem is referenced by:  lighneallem2  46859
  Copyright terms: Public domain W3C validator