MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 16764
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12428 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 nn0cn 12428 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2anim12i 614 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
433adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 subsq 14120 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
76adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
87eqeq2d 2744 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†” (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
9 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„™)
10 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
11 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1210, 11anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
13 zaddcl 12548 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
15143adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
16 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 1red 11161 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
19 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2117, 18, 20ltaddsub2d 11761 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
2320, 22, 183jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„))
24 difgtsumgt 12471 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
2621, 25sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ต + 1) < ๐ด โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต)))
27263impia 1118 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด + ๐ต))
28 eluz2b1 12849 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด + ๐ต)))
2915, 27, 28sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3029adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
31 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
329, 30, 313jca 1129 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
3332adantr 482 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
34 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3513, 34jca 513 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
37363adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
38 dvdsmul1 16165 . . . . . . . 8 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4039ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
41 breq2 5110 . . . . . . 7 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด + ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4340, 42mpbird 257 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
44 dvdsprmpweqnn 16762 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š)))
4533, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š))
46 prmz 16556 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
47 iddvdsexp 16167 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
4846, 47sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š))
49 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘š)))
5048, 49syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5150rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5251adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5352adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5453adantr 482 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
56553adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5721biimp3a 1470 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
58 eluz2b1 12849 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
5956, 57, 58sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
619, 60, 313jca 1129 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
6261adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0))
63 dvdsmul2 16166 . . . . . . . . . 10 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
66 breq2 5110 . . . . . . . . 9 ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6766adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
6865, 67mpbird 257 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท))
69 dvdsprmpweqnn 16762 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆฅ (๐ถโ†‘๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›)))
7062, 68, 69sylc 65 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›))
71 iddvdsexp 16167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
7246, 71sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›))
73 breq2 5110 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ถ โˆฅ (๐ถโ†‘๐‘›)))
7472, 73syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7574rexlimdva 3149 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7776adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7877adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
7946adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
8037, 79anim12ci 615 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
81 3anass 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)))
8280, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
83 dvds2sub 16178 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต))))
8513ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8623ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8785, 86, 86pnncand 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
8822timesd 12401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
8988eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
90893ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ต) = (2 ยท ๐ต))
9187, 90eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (2 ยท ๐ต))
9291breq2d 5118 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9493adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9584, 94syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โˆง ๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
9695expcomd 418 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9796adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9878, 97syld 47 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘›) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆฅ (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10054, 99syld 47 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐ถโ†‘๐‘š) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต))
102101ex 414 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
1038, 102sylbid 239 1 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต + 1) < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ถโ†‘๐ท) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ๐ถ โˆฅ (2 ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ†‘cexp 13973   โˆฅ cdvds 16141  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714
This theorem is referenced by:  lighneallem2  45884
  Copyright terms: Public domain W3C validator