Theorem difsqpwdvds 16856

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difsqpwdvds	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		subsq 14170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2751	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
9		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10		nn0z 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nn0z 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
12	10, 11	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		zaddcl 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	14	3adant3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		1red 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 11749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	20, 22, 18	3jca 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24		difgtsumgt 12488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
26	21, 25	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27	26	3impia 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28		eluz2b1 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
31		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
32	9, 30, 31	3jca 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34		zsubcl 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35	13, 34	jca 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
37	36	3adant3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
38		dvdsmul1 16244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
40	39	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
41		breq2 5083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
43	40, 42	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
44		dvdsprmpweqnn 16854	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚)))
45	33, 43, 44	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚))
46		prmz 16642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47		iddvdsexp 16246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
48	46, 47	sylan 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
49		breq2 5083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚)))
50	48, 49	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
51	50	rexlimdva 3141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
53	52	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
54	53	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
55	12, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
56	55	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
57	21	biimp3a 1477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 𝐵))
58		eluz2b1 12867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
59	56, 57, 58	sylanbrc 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
61	9, 60, 31	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63		dvdsmul2 16245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
64	37, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
65	64	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
66		breq2 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
67	66	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
68	65, 67	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
69		dvdsprmpweqnn 16854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛)))
70	62, 68, 69	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛))
71		iddvdsexp 16246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
72	46, 71	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
73		breq2 5083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛)))
74	72, 73	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
75	74	rexlimdva 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
77	76	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
79	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
80	37, 79	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
81		3anass 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
82	80, 81	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
83		dvds2sub 16258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
85	1	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	2	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87	85, 86, 86	pnncand 11542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
88	2	2timesd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
89	88	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90	89	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
91	87, 90	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
92	91	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
93	92	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
95	84, 94	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
96	95	expcomd 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
97	96	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
98	78, 97	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
99	70, 98	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
100	54, 99	syld 47	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
101	45, 100	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102	101	ex 413	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
103	8, 102	sylbid 241	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ↑cexp 14021   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806

This theorem is referenced by:  lighneallem2  48091