Theorem difsqpwdvds 16759

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difsqpwdvds	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		subsq 14114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2747	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
9		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
12	10, 11	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		zaddcl 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	14	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 11756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	20, 22, 18	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24		difgtsumgt 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
26	21, 25	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27	26	3impia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28		eluz2b1 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
31		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
32	9, 30, 31	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35	13, 34	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
37	36	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
38		dvdsmul1 16160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
40	39	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
41		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
43	40, 42	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
44		dvdsprmpweqnn 16757	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚)))
45	33, 43, 44	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚))
46		prmz 16551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47		iddvdsexp 16162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
48	46, 47	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
49		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚)))
50	48, 49	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
51	50	rexlimdva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
53	52	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
54	53	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
55	12, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
56	55	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
57	21	biimp3a 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 𝐵))
58		eluz2b1 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
59	56, 57, 58	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
61	9, 60, 31	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63		dvdsmul2 16161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
64	37, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
65	64	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
66		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
67	66	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
68	65, 67	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
69		dvdsprmpweqnn 16757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛)))
70	62, 68, 69	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛))
71		iddvdsexp 16162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
72	46, 71	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
73		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛)))
74	72, 73	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
75	74	rexlimdva 3152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
77	76	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
79	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
80	37, 79	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
81		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
82	80, 81	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
83		dvds2sub 16173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
85	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	2	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87	85, 86, 86	pnncand 11551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
88	2	2timesd 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
89	88	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90	89	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
91	87, 90	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
92	91	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
93	92	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
95	84, 94	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
96	95	expcomd 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
97	96	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
98	78, 97	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
99	70, 98	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
100	54, 99	syld 47	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
101	45, 100	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102	101	ex 413	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
103	8, 102	sylbid 239	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13967   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709

This theorem is referenced by:  lighneallem2  45788