itscnhlc0xyqsol - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlc0xyqsol 45999

Description: Lemma for itsclc0 46005. Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a nonhorizontal line and a circle. (Contributed by AV, 8-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0yqsol.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlc0xyqsol	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

**Proof of Theorem itscnhlc0xyqsol**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3anim1i 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
4	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
5	4	orcd 869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
6	2, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
7	6	3anim1i 1150	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)))
8		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
9		itsclc0yqsol.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
10	8, 9	itsclc0yqsol 45998	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
13		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐵 · 𝑌) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
14	13	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
15	14	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
16		simp12 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		simp13 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
21		simp11l 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	25	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
27		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	8	resum2sqcl 45940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
32	26, 31	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
33		simpl3 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
34	33	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
35	32, 34	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
36	9, 35	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
38	37	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
39	38	sqrtcld 15077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
40	22, 39	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
41	20, 40	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
42	30	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℝ)
43	42	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℂ)
44	8	resum2sqgt0 45941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
45	44	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
46	45	gt0ne0d 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ≠ 0)
47	46	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ≠ 0)
48	17, 41, 43, 47	divassd 11716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
49	48	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄))
50	49	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)))
51	19, 43, 47	divcan3d 11686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) = 𝐶)
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄))
53	50, 52	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄)))
54	43, 19	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑄 · 𝐶) ∈ ℂ)
55	17, 41	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
56	54, 55, 43, 47	divsubdird 11720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)))
57	56	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄))
58	57	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (𝐴 · 𝑋) ↔ (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋)))
59	54, 43, 47	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) ∈ ℂ)
60	55, 43, 47	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) ∈ ℂ)
61		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
62	61	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
63	22, 62	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
64	59, 60, 63	subadd2d 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (𝐴 · 𝑋) ↔ ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄)))
65		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴))
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴)))
67	54, 55	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
68	67, 43, 47	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) ∈ ℂ)
69		simp11r 1283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
70	68, 62, 22, 69	divmul2d 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋)))
71	67, 43, 22, 47, 69	divdiv1d 11712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)))
72	71	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
73	66, 70, 72	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
74	58, 64, 73	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
75	53, 74	bitrd 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶 ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
76	15, 75	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
77	8	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑄 · 𝐶) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · 𝐶)
78	27	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
79	78	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
80	28	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
81	80	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
82		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
83	82	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
84	79, 81, 83	adddird 10931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
85	77, 84	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑄 · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
87	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
88	33	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
89	87, 88	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
90	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91	36	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
92	91	sqrtcld 15077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
93	90, 92	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
94	87, 89, 93	subdid 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) = ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) − (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))))
95	80, 80, 83	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)))
96		recn 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
97	96	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
98	97	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
99	98	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) = (𝐵↑2))
100	99	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
101	95, 100	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
103	87, 90, 92	mul12d 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷))) = (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))
104	102, 103	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) − (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
105	94, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
106	86, 105	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
107	90	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
108	107, 88	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
109	87	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
110	109, 88	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
111	108, 110	addcomd 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) = (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴↑2) · 𝐶)))
112	111	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
113	87, 92	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
114	90, 113	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
115	110, 108, 114	pnncand 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
116	106, 112, 115	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
117	116	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝑄 · 𝐴)))
118	78	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
119	118	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐶))
120	78, 78, 83	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)))
121	119, 120	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)))
123	122	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
124	31	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
125	124, 90	mulcomd 10927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑄))
126	123, 125	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝑄 · 𝐴)) = (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)))
127	90, 88	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
128	90, 127, 113	adddid 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
129	128	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))))
130	129	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)))
131	127, 113	addcld 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
132	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
133		simpl1r 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
134	131, 124, 90, 132, 133	divcan5d 11707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
135	130, 134	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
136	117, 126, 135	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
137	136	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
138	137	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
139	138	3adant3 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
141	76, 140	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
142	141	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
143	142	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
144	143	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
145	144	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
146	145	ancrd 551	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
147		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐵 · 𝑌) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
148	147	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
149	148	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
150	20, 40	addcld 10925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
151	17, 150, 43, 47	divassd 11716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
152	151	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄))
153	152	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)))
154	153, 52	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄)))
155	17, 150	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
156	54, 155, 43, 47	divsubdird 11720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)))
157	156	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄))
158	157	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (𝐴 · 𝑋) ↔ (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋)))
159	155, 43, 47	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) ∈ ℂ)
160	59, 159, 63	subadd2d 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) − ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = (𝐴 · 𝑋) ↔ ((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄)))
161		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴))
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴)))
163	54, 155	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
164	163, 43, 47	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) ∈ ℂ)
165	164, 62, 22, 69	divmul2d 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = 𝑋 ↔ (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋)))
166	163, 43, 22, 47, 69	divdiv1d 11712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)))
167	166	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) / 𝐴) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
168	162, 165, 167	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / 𝑄) = (𝐴 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
169	158, 160, 168	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄)) = ((𝑄 · 𝐶) / 𝑄) ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
170	154, 169	bitrd 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶 ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
171	149, 170	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ 𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴))))
172	87, 89, 93	adddid 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) = ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))))
173	102, 103	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
174	172, 173	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
175	86, 174	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
176	111	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
177	110, 108, 114	pnpcand 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴↑2) · 𝐶)) − (((𝐵↑2) · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
178	175, 176, 177	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
179	178	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝑄 · 𝐴)))
180	122	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
181	180, 125	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝑄 · 𝐴)) = (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)))
182	90, 127, 113	subdid 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
183	182	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
184	183	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)))
185	127, 113	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
186	185, 124, 90, 132, 133	divcan5d 11707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
187	184, 186	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) / (𝐴 · 𝑄)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
188	179, 181, 187	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
189	188	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
190	189	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
191	190	3adant3 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
192	191	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑋 = (((𝑄 · 𝐶) − (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))) / (𝑄 · 𝐴)) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
193	171, 192	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
194	193	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
195	194	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
196	195	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
197	196	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
198	197	ancrd 551	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
199	146, 198	orim12d 961	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
200	12, 199	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
201	200	ex 412	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 843 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 class class class wbr 5070 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 / cdiv 11562 2c2 11958 ℝ⁺crp 12659 ↑cexp 13710 √csqrt 14872

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-rp 12660 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875

This theorem is referenced by: itsclc0xyqsol 46002

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