Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlc0xyqsol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlc0xyqsol 47761
Description: Lemma for itsclc0 47767. Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a nonhorizontal line and a circle. (Contributed by AV, 8-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itsclc0yqsol.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itscnhlc0xyqsol ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))))

Proof of Theorem itscnhlc0xyqsol
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
213anim1i 1150 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
433ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  0)
54orcd 872 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0))
62, 5jca 511 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)))
763anim1i 1150 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)))
8 itscnhlc0yqe.q . . . . . 6 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
9 itsclc0yqsol.d . . . . . 6 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
108, 9itsclc0yqsol 47760 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
117, 10syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
1211imp 406 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
13 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
1413oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
1514eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
16 simp12 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 simp13 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1918recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2017, 19mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
21 simp11l 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2221recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘… โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2625resqcld 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
27 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
28 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
298resum2sqcl 47702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
3226, 31remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
33 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3433resqcld 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
3532, 34resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
369, 35eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
37363adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3837recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3938sqrtcld 15408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
4022, 39mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
4120, 40subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
42303ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
4342recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
448resum2sqgt0 47703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„)
45443adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„)
4645gt0ne0d 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
47463ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
4817, 41, 43, 47divassd 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
4948eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„))
5049oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)))
5119, 43, 47divcan3d 12017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) = ๐ถ)
5251eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„))
5350, 52eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„)))
5443, 19mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5517, 41mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
5654, 55, 43, 47divsubdird 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)))
5756eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„))
5857eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹)))
5954, 43, 47divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
6055, 43, 47divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
61 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
6261recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6322, 62mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6459, 60, 63subadd2d 11612 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„)))
65 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด))
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด)))
6754, 55subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
6867, 43, 47divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
69 simp11r 1283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
7068, 62, 22, 69divmul2d 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹)))
7167, 43, 22, 47, 69divdiv1d 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)))
7271eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
7366, 70, 723bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
7458, 64, 733bitr3d 309 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
7553, 74bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
7615, 75sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
778oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ)
7827recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7978sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8028recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8180sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
82 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8382recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8479, 81, 83adddird 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
8577, 84eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
8780adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8833recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8987, 88mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
9078adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9136recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9291sqrtcld 15408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
9390, 92mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9487, 89, 93subdid 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
9580, 80, 83mulassd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
96 recn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9796sqvald 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
98973ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9998eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘2))
10099oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
10195, 100eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
10387, 90, 92mul12d 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
104102, 103oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
10594, 104eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
10686, 105oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
10790sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
108107, 88mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
10987sqcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
110109, 88mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
111108, 110addcomd 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)))
112111oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
11387, 92mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
11490, 113mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
115110, 108, 114pnncand 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
116106, 112, 1153eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
117116oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐‘„ ยท ๐ด)))
11878sqvald 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
119118oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ถ))
12078, 78, 83mulassd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
121119, 120eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
123122oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
12431recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
125124, 90mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘„))
126123, 125oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)))
12790, 88mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
12890, 127, 113adddid 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
129128eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
130129oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)))
131127, 113addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
13246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
133 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
134131, 124, 90, 132, 133divcan5d 12038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
135130, 134eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
136117, 126, 1353eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
137136eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†” ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
138137biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
1391383adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
140139adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
14176, 140sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
142141ex 412 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
143142com23 86 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
144143adantld 490 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
145144imp 406 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
146145ancrd 551 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
147 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
148147oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
149148eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
15020, 40addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
15117, 150, 43, 47divassd 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
152151eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„))
153152oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)))
154153, 52eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„)))
15517, 150mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
15654, 155, 43, 47divsubdird 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)))
157156eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„))
158157eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹)))
159155, 43, 47divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
16059, 159, 63subadd2d 11612 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โˆ’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” ((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„)))
161 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด))
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด)))
16354, 155subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
164163, 43, 47divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
165164, 62, 22, 69divmul2d 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = ๐‘‹ โ†” (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹)))
166163, 43, 22, 47, 69divdiv1d 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)))
167166eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ = ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) / ๐ด) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
168162, 165, 1673bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / ๐‘„) = (๐ด ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
169158, 160, 1683bitr3d 309 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„)) = ((๐‘„ ยท ๐ถ) / ๐‘„) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
170154, 169bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
171149, 170sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด))))
17287, 89, 93adddid 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
173102, 103oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
174172, 173eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
17586, 174oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
176111oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
177110, 108, 114pnpcand 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
178175, 176, 1773eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
179178oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐‘„ ยท ๐ด)))
180122oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
181180, 125oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)))
18290, 127, 113subdid 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
183182eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
184183oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)))
185127, 113subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
186185, 124, 90, 132, 133divcan5d 12038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
187184, 186eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (๐ด ยท ๐‘„)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
188179, 181, 1873eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
189188eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†” ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
190189biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
1911903adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
192191adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘‹ = (((๐‘„ ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) / (๐‘„ ยท ๐ด)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
193171, 192sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
194193ex 412 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
195194com23 86 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
196195adantld 490 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
197196imp 406 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ ๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
198197ancrd 551 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
199146, 198orim12d 963 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))))
20012, 199mpd 15 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
201200ex 412 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  โ„+crp 12998  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
This theorem is referenced by:  itsclc0xyqsol  47764
  Copyright terms: Public domain W3C validator