MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 27143
Description: Lemma for basel 27148. Using vieta1 26369, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡   𝑃,𝑘,𝑛   𝑇,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2 eqid 2735 . . 3 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3 eqid 2735 . . 3 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
64, 5basellem2 27140 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
76simp1d 1141 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
86simp2d 1142 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 14382 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12 fzfid 14011 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
13 basel.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
144, 5, 13basellem4 27142 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
1512, 14hasheqf1od 14389 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(𝑃 “ {0})))
168, 11, 153eqtr2rd 2782 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
17 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
188, 17eqeltrd 2839 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
191, 2, 3, 7, 16, 18vieta1 26369 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
20 id 22 . . 3 (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
21 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
2221fvoveq1d 7453 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
2322oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
24 ovex 7464 . . . . 5 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
2523, 13, 24fvmpt 7016 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
2625adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
27 cnvimass 6102 . . . . 5 (𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
28 plyf 26252 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
29 fdm 6746 . . . . . 6 (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
307, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
3127, 30sseqtrid 4048 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
3231sselda 3995 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
3320, 12, 14, 26, 32fsumf1o 15756 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
346simp3d 1143 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
358oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
3634, 35fveq12d 6914 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
37 nnm1nn0 12565 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
38 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
4140oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
4239, 41oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
43 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
44 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
4542, 43, 44fvmpt 7016 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
4637, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
47 nncn 12272 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
48 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
49 nncan 11536 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
5047, 48, 49sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
52 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
53 exp1 14105 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
5551, 54eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
5655oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
57 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
58 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
5957, 58mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6059peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
614, 60eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
6261nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63 2z 12647 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
64 nnz 12632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
67 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6863, 66, 67sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
69 bccl 14358 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
7062, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 12587 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
72 mulcom 11239 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
7371, 52, 72sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
7471mulm1d 11713 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7556, 73, 743eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7636, 46, 753eqtrd 2779 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7771negcld 11605 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
7876, 77eqeltrd 2839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
7934, 8fveq12d 6914 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀))
80 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
82 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
8481, 83oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
85 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
8684, 43, 85fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
879, 86syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
8847subidd 11606 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
90 exp0 14103 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
9152, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
9289, 91eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
9392oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
94 fz1ssfz0 13660 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
9559nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
9695lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
9796, 4breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
98 nnuz 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
9959, 98eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1))
10061nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
101 elfz5 13553 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
10299, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
10397, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
10494, 103sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105 bccl2 14359 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
107106nncnd 12280 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
108107mulridd 11276 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
10993, 108eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
11079, 87, 1093eqtrd 2779 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
111110, 107eqeltrd 2839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
112106nnne0d 12314 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
113110, 112eqnetrd 3006 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
11478, 111, 113divnegd 12054 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
11576negeqd 11500 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
11671negnegd 11609 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
117115, 116eqtrd 2775 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
118117, 110oveq12d 7449 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
119 bcm1k 14351 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
120103, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
12159nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
122 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
123121, 122, 122pnncand 11657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
1244oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
125 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
126123, 124, 1253eqtr4g 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
127 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
128126, 127eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0)
129 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
13059, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
131 nn0sub 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
132130, 62, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
133128, 132mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
134472timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135134oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
13647, 47, 122addsubd 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
137135, 136eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
138 nn0nnaddcl 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
13937, 138mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
140137, 139eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
141140, 98eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1))
142 elfz5 13553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
143141, 100, 142syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
144133, 143mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
145 bcm1k 14351 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
147482timesi 12402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
148147eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 · 1)
149148oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
150121, 122, 122subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
151 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
152151, 47, 122subdid 11717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
153149, 150, 1523eqtr4a 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
154153oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
15561nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
156140nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
157155, 156, 122subsubd 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
158126oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
159 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
160158, 159eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
161157, 160eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
162161oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
163154, 162oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
164146, 163eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
165126oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
166164, 165oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
167 3re 12344 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
168 nndivre 12305 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
169167, 140, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
170169recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
171 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
172 nndivre 12305 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
173171, 59, 172sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
174173recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
17571, 170, 174mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
176120, 166, 1753eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
177 3cn 12345 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
179140nnne0d 12314 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
18059nnne0d 12314 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
181178, 156, 151, 121, 179, 180divmuldivd 12082 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
182 3t2e6 12430 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
184156, 121mulcomd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
185183, 184oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
186181, 185eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
187186oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
188176, 187eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
189188oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
190 6re 12354 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
19159, 140nnmulcld 12317 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
192 nndivre 12305 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
193190, 191, 192sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
194193recnd 11287 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
195 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
196140, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
197153, 196eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
198197nn0red 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
199140nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
20061nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
201199ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
202153, 201eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
203198, 199, 202ltled 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
204198, 199, 200, 203, 133letrd 11416 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
205 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
206197, 205eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0))
207 elfz5 13553 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
208206, 100, 207syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
209204, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
210 bccl2 14359 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
211209, 210syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
212211nnne0d 12314 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
213194, 71, 212divcan3d 12046 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
214189, 213eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
215214oveq2d 7447 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
216107, 71, 112, 212recdivd 12058 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
217191nncnd 12280 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
218191nnne0d 12314 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
219 6cn 12355 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
220 6nn 12353 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
221220nnne0i 12304 . . . . . 6 6 ≠ 0
222 recdiv 11971 . . . . . 6 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
223219, 221, 222mpanl12 702 . . . . 5 ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
224217, 218, 223syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
225215, 216, 2243eqtr3d 2783 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
226114, 118, 2253eqtrd 2779 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
22719, 33, 2263eqtr3d 2783 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  chash 14366  Σcsu 15719  tanctan 16098  πcpi 16099  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-quot 26348
This theorem is referenced by:  basellem8  27146
  Copyright terms: Public domain W3C validator