basellem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem basellem5 26579

Description: Lemma for basel 26584. Using vieta1 25817, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
basel.t	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))

**Assertion**
Ref	Expression
basellem5	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Distinct variable groups: 𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀 𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡 𝑃,𝑘,𝑛 𝑇,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑡,𝑗) 𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) = (^◡𝑃 “ {0})
4		basel.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5		basel.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
6	4, 5	basellem2 26576	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))
7	6	simp1d 1143	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
8	6	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9		nnnn0 12476	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ₀)
10		hashfz1 14303	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
13		basel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
14	4, 5, 13	basellem4 26578	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(^◡𝑃 “ {0}))
15	12, 14	hasheqf1od 14310	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(^◡𝑃 “ {0})))
16	8, 11, 15	3eqtr2rd 2780	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(^◡𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
18	8, 17	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
19	1, 2, 3, 7, 16, 18	vieta1 25817	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
20		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
21		oveq1 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
22	21	fvoveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
23	22	oveq1d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
24		ovex 7439	. . . . 5 ⊢ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
25	23, 13, 24	fvmpt 6996	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
26	25	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
27		cnvimass 6078	. . . . 5 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
28		plyf 25704	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6724	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
30	7, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
31	27, 30	sseqtrid 4034	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
32	31	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	20, 12, 14, 26, 32	fsumf1o 15666	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
34	6	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
35	8	oveq1d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
36	34, 35	fveq12d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
37		nnm1nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
38		oveq2 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
39	38	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
40		oveq2 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
41	40	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
42	39, 41	oveq12d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
43		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
44		ovex 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
45	42, 43, 44	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
46	37, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
47		nncn 12217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
48		ax-1cn 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		nncan 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
50	47, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
51	50	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
52		neg1cn 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
53		exp1 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑1) = -1
55	51, 54	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
56	55	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
57		2nn 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
58		nnmulcl 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
59	57, 58	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
60	59	peano2nnd 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
61	4, 60	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
62	61	nnnn0d 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
63		2z 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
64		nnz 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65		peano2zm 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
67		zmulcl 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
68	63, 66, 67	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
69		bccl 14279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
70	62, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
71	70	nn0cnd 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
72		mulcom 11193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
73	71, 52, 72	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
74	71	mulm1d 11663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
75	56, 73, 74	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
76	36, 46, 75	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
77	71	negcld 11555	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
78	76, 77	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
79	34, 8	fveq12d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀))
80		oveq2 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
81	80	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
82		oveq2 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
83	82	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
84	81, 83	oveq12d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
85		ovex 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
86	84, 43, 85	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
87	9, 86	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
88	47	subidd 11556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
89	88	oveq2d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
90		exp0 14028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
91	52, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
92	89, 91	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
93	92	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
94		fz1ssfz0 13594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
95	59	nnred 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
96	95	lep1d 12142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
97	96, 4	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
98		nnuz 12862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
99	59, 98	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1))
100	61	nnzd 12582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
101		elfz5 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
102	99, 100, 101	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
103	97, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
104	94, 103	sselid 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105		bccl2 14280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
108	107	mulridd 11228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
109	93, 108	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
110	79, 87, 109	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
111	110, 107	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
112	106	nnne0d 12259	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
113	110, 112	eqnetrd 3009	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
114	78, 111, 113	divnegd 12000	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
115	76	negeqd 11451	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
116	71	negnegd 11559	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
117	115, 116	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
118	117, 110	oveq12d 7424	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
119		bcm1k 14272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
120	103, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
121	59	nncnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
122		1cnd 11206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
123	121, 122, 122	pnncand 11607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
124	4	oveq1i 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
125		df-2 12272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
126	123, 124, 125	3eqtr4g 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
127		2nn0 12486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
128	126, 127	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀)
129		nnm1nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
130	59, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
131		nn0sub 12519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
132	130, 62, 131	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
133	128, 132	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
134	47	2timesd 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135	134	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
136	47, 47, 122	addsubd 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
137	135, 136	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
138		nn0nnaddcl 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
139	37, 138	mpancom 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
140	137, 139	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
141	140, 98	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
142		elfz5 13490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
143	141, 100, 142	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
144	133, 143	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
145		bcm1k 14272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
147	48	2timesi 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
148	147	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
149	148	oveq2i 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
150	121, 122, 122	subsub4d 11599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
151		2cnd 12287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
152	151, 47, 122	subdid 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
153	149, 150, 152	3eqtr4a 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
154	153	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
155	61	nncnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
156	140	nncnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
157	155, 156, 122	subsubd 11596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
158	126	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
159		df-3 12273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	158, 159	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
161	157, 160	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
162	161	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
163	154, 162	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
164	146, 163	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
165	126	oveq1d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
166	164, 165	oveq12d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
167		3re 12289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
168		nndivre 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
169	167, 140, 168	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
170	169	recnd 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
171		2re 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
172		nndivre 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
173	171, 59, 172	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
174	173	recnd 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
175	71, 170, 174	mulassd 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
176	120, 166, 175	3eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
177		3cn 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
179	140	nnne0d 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
180	59	nnne0d 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
181	178, 156, 151, 121, 179, 180	divmuldivd 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
182		3t2e6 12375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
184	156, 121	mulcomd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
185	183, 184	oveq12d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
186	181, 185	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
187	186	oveq2d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
188	176, 187	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
189	188	oveq1d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
190		6re 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
191	59, 140	nnmulcld 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
192		nndivre 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
193	190, 191, 192	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
194	193	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
195		nnm1nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
196	140, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
197	153, 196	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ₀)
198	197	nn0red 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
199	140	nnred 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
200	61	nnred 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
201	199	ltm1d 12143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
202	153, 201	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
203	198, 199, 202	ltled 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
204	198, 199, 200, 203, 133	letrd 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
205		nn0uz 12861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
206	197, 205	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0))
207		elfz5 13490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
208	206, 100, 207	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
209	204, 208	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
210		bccl2 14280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
211	209, 210	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
212	211	nnne0d 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
213	194, 71, 212	divcan3d 11992	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
214	189, 213	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
215	214	oveq2d 7422	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
216	107, 71, 112, 212	recdivd 12004	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
217	191	nncnd 12225	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
218	191	nnne0d 12259	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
219		6cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
220		6nn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
221	220	nnne0i 12249	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
222		recdiv 11917	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
223	219, 221, 222	mpanl12 701	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
224	217, 218, 223	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
225	215, 216, 224	3eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
226	114, 118, 225	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
227	19, 33, 226	3eqtr3d 2781	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 {csn 4628 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ^◡ccnv 5675 dom cdm 5676 “ cima 5679 ⟶wf 6537 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 Fincfn 8936 ℂcc 11105 ℝcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 · cmul 11112 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 -cneg 11442 / cdiv 11868 ℕcn 12209 2c2 12264 3c3 12265 6c6 12268 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ℤ_≥cuz 12819 ...cfz 13481 ↑cexp 14024 Ccbc 14259 ♯chash 14287 Σcsu 15629 tanctan 16006 πcpi 16007 Polycply 25690 coeffccoe 25692 degcdgr 25693

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186 ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-supp 8144 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-1o 8463 df-2o 8464 df-oadd 8467 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-dju 9893 df-card 9931 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-xnn0 12542 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-ioo 13325 df-ioc 13326 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13964 df-exp 14025 df-fac 14231 df-bc 14260 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-ef 16008 df-sin 16010 df-cos 16011 df-tan 16012 df-pi 16013 df-struct 17077 df-sets 17094 df-slot 17112 df-ndx 17124 df-base 17142 df-ress 17171 df-plusg 17207 df-mulr 17208 df-starv 17209 df-sca 17210 df-vsca 17211 df-ip 17212 df-tset 17213 df-ple 17214 df-ds 17216 df-unif 17217 df-hom 17218 df-cco 17219 df-rest 17365 df-topn 17366 df-0g 17384 df-gsum 17385 df-topgen 17386 df-pt 17387 df-prds 17390 df-xrs 17445 df-qtop 17450 df-imas 17451 df-xps 17453 df-mre 17527 df-mrc 17528 df-acs 17530 df-mgm 18558 df-sgrp 18607 df-mnd 18623 df-submnd 18669 df-mulg 18946 df-cntz 19176 df-cmn 19645 df-psmet 20929 df-xmet 20930 df-met 20931 df-bl 20932 df-mopn 20933 df-fbas 20934 df-fg 20935 df-cnfld 20938 df-top 22388 df-topon 22405 df-topsp 22427 df-bases 22441 df-cld 22515 df-ntr 22516 df-cls 22517 df-nei 22594 df-lp 22632 df-perf 22633 df-cn 22723 df-cnp 22724 df-haus 22811 df-tx 23058 df-hmeo 23251 df-fil 23342 df-fm 23434 df-flim 23435 df-flf 23436 df-xms 23818 df-ms 23819 df-tms 23820 df-cncf 24386 df-0p 25179 df-limc 25375 df-dv 25376 df-ply 25694 df-idp 25695 df-coe 25696 df-dgr 25697 df-quot 25796

This theorem is referenced by: basellem8 26582

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