basellem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem basellem5 27073

Description: Lemma for basel 27078. Using vieta1 26303, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
basel.t	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))

**Assertion**
Ref	Expression
basellem5	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Distinct variable groups: 𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀 𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡 𝑃,𝑘,𝑛 𝑇,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑡,𝑗) 𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) = (^◡𝑃 “ {0})
4		basel.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5		basel.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
6	4, 5	basellem2 27070	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))
7	6	simp1d 1148	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
8	6	simp2d 1149	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9		nnnn0 12442	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ₀)
10		hashfz1 14306	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12		fzfid 13933	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
13		basel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
14	4, 5, 13	basellem4 27072	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(^◡𝑃 “ {0}))
15	12, 14	hasheqf1od 14313	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(^◡𝑃 “ {0})))
16	8, 11, 15	3eqtr2rd 2782	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(^◡𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
18	8, 17	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
19	1, 2, 3, 7, 16, 18	vieta1 26303	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
20		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
21		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
22	21	fvoveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
23	22	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
24		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
25	23, 13, 24	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
26	25	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
27		cnvimass 6041	. . . . 5 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
28		plyf 26188	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
30	7, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
31	27, 30	sseqtrid 3964	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
32	31	sselda 3922	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	20, 12, 14, 26, 32	fsumf1o 15683	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
34	6	simp3d 1150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
35	8	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
36	34, 35	fveq12d 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
37		nnm1nn0 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
38		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
39	38	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
40		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
41	40	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
42	39, 41	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
43		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
44		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
45	42, 43, 44	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
46	37, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
47		nncn 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
48		ax-1cn 11094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		nncan 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
50	47, 48, 49	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
51	50	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
52		neg1cn 12142	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
53		exp1 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑1) = -1
55	51, 54	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
56	55	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
57		2nn 12252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
58		nnmulcl 12196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
59	57, 58	mpan 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
60	59	peano2nnd 12189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
61	4, 60	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
62	61	nnnn0d 12496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
63		2z 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
64		nnz 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65		peano2zm 12568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
67		zmulcl 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
68	63, 66, 67	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
69		bccl 14282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
70	62, 68, 69	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
71	70	nn0cnd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
72		mulcom 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
73	71, 52, 72	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
74	71	mulm1d 11600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
75	56, 73, 74	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
76	36, 46, 75	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
77	71	negcld 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
78	76, 77	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
79	34, 8	fveq12d 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀))
80		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
81	80	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
82		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
83	82	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
84	81, 83	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
85		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
86	84, 43, 85	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
87	9, 86	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
88	47	subidd 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
89	88	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
90		exp0 14025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
91	52, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
92	89, 91	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
93	92	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
94		fz1ssfz0 13575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
95	59	nnred 12187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
96	95	lep1d 12085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
97	96, 4	breqtrrdi 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
98		nnuz 12825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
99	59, 98	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1))
100	61	nnzd 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
101		elfz5 13468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
102	99, 100, 101	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
103	97, 102	mpbird 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
104	94, 103	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105		bccl2 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
108	107	mulridd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
109	93, 108	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
110	79, 87, 109	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
111	110, 107	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
112	106	nnne0d 12225	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
113	110, 112	eqnetrd 3002	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
114	78, 111, 113	divnegd 11942	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
115	76	negeqd 11385	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
116	71	negnegd 11494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
117	115, 116	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
118	117, 110	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
119		bcm1k 14275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
120	103, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
121	59	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
122		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
123	121, 122, 122	pnncand 11542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
124	4	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
125		df-2 12242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
126	123, 124, 125	3eqtr4g 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
127		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
128	126, 127	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀)
129		nnm1nn0 12476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
130	59, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
131		nn0sub 12485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
132	130, 62, 131	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
133	128, 132	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
134	47	2timesd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135	134	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
136	47, 47, 122	addsubd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
137	135, 136	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
138		nn0nnaddcl 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
139	37, 138	mpancom 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
140	137, 139	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
141	140, 98	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
142		elfz5 13468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
143	141, 100, 142	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
144	133, 143	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
145		bcm1k 14275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
147	48	2timesi 12312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
148	147	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
149	148	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
150	121, 122, 122	subsub4d 11534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
151		2cnd 12257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
152	151, 47, 122	subdid 11604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
153	149, 150, 152	3eqtr4a 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
154	153	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
155	61	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
156	140	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
157	155, 156, 122	subsubd 11531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
158	126	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
159		df-3 12243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	158, 159	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
161	157, 160	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
162	161	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
163	154, 162	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
164	146, 163	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
165	126	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
166	164, 165	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
167		3re 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
168		nndivre 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
169	167, 140, 168	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
170	169	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
171		2re 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
172		nndivre 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
173	171, 59, 172	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
174	173	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
175	71, 170, 174	mulassd 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
176	120, 166, 175	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
177		3cn 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
179	140	nnne0d 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
180	59	nnne0d 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
181	178, 156, 151, 121, 179, 180	divmuldivd 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
182		3t2e6 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
184	156, 121	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
185	183, 184	oveq12d 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
186	181, 185	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
187	186	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
188	176, 187	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
189	188	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
190		6re 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
191	59, 140	nnmulcld 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
192		nndivre 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
193	190, 191, 192	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
194	193	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
195		nnm1nn0 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
196	140, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
197	153, 196	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ₀)
198	197	nn0red 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
199	140	nnred 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
200	61	nnred 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
201	199	ltm1d 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
202	153, 201	eqbrtrrd 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
203	198, 199, 202	ltled 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
204	198, 199, 200, 203, 133	letrd 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
205		nn0uz 12824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
206	197, 205	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0))
207		elfz5 13468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
208	206, 100, 207	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
209	204, 208	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
210		bccl2 14283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
211	209, 210	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
212	211	nnne0d 12225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
213	194, 71, 212	divcan3d 11934	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
214	189, 213	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
215	214	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
216	107, 71, 112, 212	recdivd 11946	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
217	191	nncnd 12188	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
218	191	nnne0d 12225	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
219		6cn 12270	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
220		6nn 12268	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
221	220	nnne0i 12215	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
222		recdiv 11859	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
223	219, 221, 222	mpanl12 708	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
224	217, 218, 223	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
225	215, 216, 224	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
226	114, 118, 225	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
227	19, 33, 226	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 {csn 4562 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5160 ^◡ccnv 5624 dom cdm 5625 “ cima 5628 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 Fincfn 8890 ℂcc 11034 ℝcr 11035 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 < clt 11177 ≤ cle 11178 − cmin 11375 -cneg 11376 / cdiv 11805 ℕcn 12172 2c2 12234 3c3 12235 6c6 12238 ℕ₀cn0 12435 ℤcz 12522 ℤ_≥cuz 12786 ...cfz 13459 ↑cexp 14021 Ccbc 14262 ♯chash 14290 Σcsu 15646 tanctan 16028 πcpi 16029 Polycply 26174 coeffccoe 26176 degcdgr 26177

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114 ax-addf 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-tp 4567 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-iin 4931 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-of 7627 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-supp 8108 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-2o 8403 df-oadd 8406 df-er 8640 df-map 8772 df-pm 8773 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9272 df-fi 9321 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-dju 9823 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-5 12245 df-6 12246 df-7 12247 df-8 12248 df-9 12249 df-n0 12436 df-xnn0 12509 df-z 12523 df-dec 12643 df-uz 12787 df-q 12897 df-rp 12941 df-xneg 13061 df-xadd 13062 df-xmul 13063 df-ioo 13300 df-ioc 13301 df-ico 13302 df-icc 13303 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-mod 13827 df-seq 13962 df-exp 14022 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15027 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-limsup 15431 df-clim 15448 df-rlim 15449 df-sum 15647 df-ef 16030 df-sin 16032 df-cos 16033 df-tan 16034 df-pi 16035 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17178 df-ress 17199 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17383 df-topn 17384 df-0g 17402 df-gsum 17403 df-topgen 17404 df-pt 17405 df-prds 17408 df-xrs 17464 df-qtop 17469 df-imas 17470 df-xps 17472 df-mre 17546 df-mrc 17547 df-acs 17549 df-mgm 18606 df-sgrp 18685 df-mnd 18701 df-submnd 18750 df-mulg 19042 df-cntz 19290 df-cmn 19755 df-psmet 21346 df-xmet 21347 df-met 21348 df-bl 21349 df-mopn 21350 df-fbas 21351 df-fg 21352 df-cnfld 21355 df-top 22884 df-topon 22901 df-topsp 22923 df-bases 22936 df-cld 23009 df-ntr 23010 df-cls 23011 df-nei 23088 df-lp 23126 df-perf 23127 df-cn 23217 df-cnp 23218 df-haus 23305 df-tx 23552 df-hmeo 23745 df-fil 23836 df-fm 23928 df-flim 23929 df-flf 23930 df-xms 24310 df-ms 24311 df-tms 24312 df-cncf 24870 df-0p 25662 df-limc 25858 df-dv 25859 df-ply 26178 df-idp 26179 df-coe 26180 df-dgr 26181 df-quot 26282

This theorem is referenced by: basellem8 27076

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