MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 26568
Description: Lemma for basel 26573. Using vieta1 25806, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡   𝑃,𝑘,𝑛   𝑇,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2 eqid 2733 . . 3 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3 eqid 2733 . . 3 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
64, 5basellem2 26565 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
76simp1d 1143 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
86simp2d 1144 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9 nnnn0 12474 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 14301 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12 fzfid 13933 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
13 basel.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
144, 5, 13basellem4 26567 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
1512, 14hasheqf1od 14308 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(𝑃 “ {0})))
168, 11, 153eqtr2rd 2780 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
17 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
188, 17eqeltrd 2834 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
191, 2, 3, 7, 16, 18vieta1 25806 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
20 id 22 . . 3 (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
21 oveq1 7410 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
2221fvoveq1d 7425 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
2322oveq1d 7418 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
24 ovex 7436 . . . . 5 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
2523, 13, 24fvmpt 6993 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
2625adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
27 cnvimass 6076 . . . . 5 (𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
28 plyf 25693 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
29 fdm 6722 . . . . . 6 (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
307, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
3127, 30sseqtrid 4032 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
3231sselda 3980 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
3320, 12, 14, 26, 32fsumf1o 15664 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
346simp3d 1145 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
358oveq1d 7418 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
3634, 35fveq12d 6894 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
37 nnm1nn0 12508 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
38 oveq2 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
3938oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
40 oveq2 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
4140oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
4239, 41oveq12d 7421 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
43 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
44 ovex 7436 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
4542, 43, 44fvmpt 6993 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
4637, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
47 nncn 12215 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
48 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
49 nncan 11484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
5150oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
52 neg1cn 12321 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
53 exp1 14028 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
5551, 54eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
5655oveq2d 7419 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
57 2nn 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
58 nnmulcl 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
5957, 58mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6059peano2nnd 12224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
614, 60eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
6261nnnn0d 12527 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63 2z 12589 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
64 nnz 12574 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65 peano2zm 12600 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
67 zmulcl 12606 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6863, 66, 67sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
69 bccl 14277 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
7062, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 12529 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
72 mulcom 11191 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
7371, 52, 72sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
7471mulm1d 11661 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7556, 73, 743eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7636, 46, 753eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
7771negcld 11553 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
7876, 77eqeltrd 2834 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
7934, 8fveq12d 6894 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀))
80 oveq2 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
8180oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
82 oveq2 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
8382oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
8481, 83oveq12d 7421 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
85 ovex 7436 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
8684, 43, 85fvmpt 6993 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
879, 86syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
8847subidd 11554 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
8988oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
90 exp0 14026 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
9152, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
9289, 91eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
9392oveq2d 7419 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
94 fz1ssfz0 13592 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
9559nnred 12222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
9695lep1d 12140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
9796, 4breqtrrdi 5188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
98 nnuz 12860 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
9959, 98eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1))
10061nnzd 12580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
101 elfz5 13488 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
10299, 100, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
10397, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
10494, 103sselid 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105 bccl2 14278 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
107106nncnd 12223 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
108107mulridd 11226 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
10993, 108eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
11079, 87, 1093eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
111110, 107eqeltrd 2834 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
112106nnne0d 12257 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
113110, 112eqnetrd 3009 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
11478, 111, 113divnegd 11998 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
11576negeqd 11449 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
11671negnegd 11557 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
117115, 116eqtrd 2773 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
118117, 110oveq12d 7421 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
119 bcm1k 14270 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
120103, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
12159nncnd 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
122 1cnd 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
123121, 122, 122pnncand 11605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
1244oveq1i 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
125 df-2 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
126123, 124, 1253eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
127 2nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
128126, 127eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0)
129 nnm1nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
13059, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
131 nn0sub 12517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
132130, 62, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
133128, 132mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
134472timesd 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135134oveq1d 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
13647, 47, 122addsubd 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
137135, 136eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
138 nn0nnaddcl 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
13937, 138mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
140137, 139eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
141140, 98eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1))
142 elfz5 13488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
143141, 100, 142syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
144133, 143mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
145 bcm1k 14270 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
147482timesi 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
148147eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 · 1)
149148oveq2i 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
150121, 122, 122subsub4d 11597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
151 2cnd 12285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
152151, 47, 122subdid 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
153149, 150, 1523eqtr4a 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
154153oveq2d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
15561nncnd 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
156140nncnd 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
157155, 156, 122subsubd 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
158126oveq1d 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
159 df-3 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
160158, 159eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
161157, 160eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
162161oveq1d 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
163154, 162oveq12d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
164146, 163eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
165126oveq1d 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
166164, 165oveq12d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
167 3re 12287 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
168 nndivre 12248 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
169167, 140, 168sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
170169recnd 11237 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
171 2re 12281 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
172 nndivre 12248 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
173171, 59, 172sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
174173recnd 11237 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
17571, 170, 174mulassd 11232 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
176120, 166, 1753eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
177 3cn 12288 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
179140nnne0d 12257 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
18059nnne0d 12257 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
181178, 156, 151, 121, 179, 180divmuldivd 12026 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
182 3t2e6 12373 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
184156, 121mulcomd 11230 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
185183, 184oveq12d 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
186181, 185eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
187186oveq2d 7419 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
188176, 187eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
189188oveq1d 7418 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
190 6re 12297 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
19159, 140nnmulcld 12260 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
192 nndivre 12248 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
193190, 191, 192sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
194193recnd 11237 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
195 nnm1nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
196140, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
197153, 196eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
198197nn0red 12528 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
199140nnred 12222 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
20061nnred 12222 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
201199ltm1d 12141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
202153, 201eqbrtrrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
203198, 199, 202ltled 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
204198, 199, 200, 203, 133letrd 11366 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
205 nn0uz 12859 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
206197, 205eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0))
207 elfz5 13488 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
208206, 100, 207syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
209204, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
210 bccl2 14278 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
211209, 210syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
212211nnne0d 12257 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
213194, 71, 212divcan3d 11990 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
214189, 213eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
215214oveq2d 7419 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
216107, 71, 112, 212recdivd 12002 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
217191nncnd 12223 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
218191nnne0d 12257 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
219 6cn 12298 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
220 6nn 12296 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
221220nnne0i 12247 . . . . . 6 6 ≠ 0
222 recdiv 11915 . . . . . 6 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
223219, 221, 222mpanl12 701 . . . . 5 ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
224217, 218, 223syl2anc 585 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
225215, 216, 2243eqtr3d 2781 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
226114, 118, 2253eqtrd 2777 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
22719, 33, 2263eqtr3d 2781 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  {csn 4626   class class class wbr 5146  cmpt 5229  ccnv 5673  dom cdm 5674  cima 5677  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  Fincfn 8934  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11243  cle 11244  cmin 11439  -cneg 11440   / cdiv 11866  cn 12207  2c2 12262  3c3 12263  6c6 12266  0cn0 12467  cz 12553  cuz 12817  ...cfz 13479  cexp 14022  Ccbc 14257  chash 14285  Σcsu 15627  tanctan 16004  πcpi 16005  Polycply 25679  coeffccoe 25681  degcdgr 25682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-fac 14229  df-bc 14258  df-hash 14286  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15410  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-ef 16006  df-sin 16008  df-cos 16009  df-tan 16010  df-pi 16011  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-lp 22621  df-perf 22622  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-haus 22800  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-0p 25168  df-limc 25364  df-dv 25365  df-ply 25683  df-idp 25684  df-coe 25685  df-dgr 25686  df-quot 25785
This theorem is referenced by:  basellem8  26571
  Copyright terms: Public domain W3C validator