basellem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem basellem5 27129

Description: Lemma for basel 27134. Using vieta1 26355, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
basel.t	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))

**Assertion**
Ref	Expression
basellem5	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Distinct variable groups: 𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀 𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡 𝑃,𝑘,𝑛 𝑇,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑡,𝑗) 𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) = (^◡𝑃 “ {0})
4		basel.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5		basel.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
6	4, 5	basellem2 27126	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))
7	6	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
8	6	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9		nnnn0 12535	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ₀)
10		hashfz1 14386	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12		fzfid 14015	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
13		basel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
14	4, 5, 13	basellem4 27128	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(^◡𝑃 “ {0}))
15	12, 14	hasheqf1od 14393	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(^◡𝑃 “ {0})))
16	8, 11, 15	3eqtr2rd 2783	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(^◡𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
18	8, 17	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
19	1, 2, 3, 7, 16, 18	vieta1 26355	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
20		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
21		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
22	21	fvoveq1d 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
23	22	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
24		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
25	23, 13, 24	fvmpt 7015	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇‘𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
27		cnvimass 6099	. . . . 5 ⊢ (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
28		plyf 26238	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
29		fdm 6744	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
30	7, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
31	27, 30	sseqtrid 4025	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (^◡𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
32	31	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	20, 12, 14, 26, 32	fsumf1o 15760	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (^◡𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
34	6	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
35	8	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
36	34, 35	fveq12d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
37		nnm1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
38		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
39	38	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
40		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
41	40	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
42	39, 41	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
43		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
44		ovex 7465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
45	42, 43, 44	fvmpt 7015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
46	37, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
47		nncn 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
48		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		nncan 11539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
51	50	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
52		neg1cn 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
53		exp1 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑1) = -1
55	51, 54	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
56	55	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
57		2nn 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
58		nnmulcl 12291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
59	57, 58	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
60	59	peano2nnd 12284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
61	4, 60	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
62	61	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
63		2z 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
64		nnz 12636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65		peano2zm 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
67		zmulcl 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
68	63, 66, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
69		bccl 14362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
70	62, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ₀)
71	70	nn0cnd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
72		mulcom 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
73	71, 52, 72	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
74	71	mulm1d 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
75	56, 73, 74	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
76	36, 46, 75	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
77	71	negcld 11608	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
78	76, 77	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
79	34, 8	fveq12d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀))
80		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
81	80	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
82		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
83	82	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
84	81, 83	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
85		ovex 7465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
86	84, 43, 85	fvmpt 7015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
87	9, 86	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
88	47	subidd 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
89	88	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
90		exp0 14107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
91	52, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
92	89, 91	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
93	92	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
94		fz1ssfz0 13664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
95	59	nnred 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
96	95	lep1d 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
97	96, 4	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
98		nnuz 12922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
99	59, 98	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1))
100	61	nnzd 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
101		elfz5 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
102	99, 100, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
103	97, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
104	94, 103	sselid 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105		bccl2 14363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
108	107	mulridd 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
109	93, 108	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
110	79, 87, 109	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
111	110, 107	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
112	106	nnne0d 12317	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
113	110, 112	eqnetrd 3007	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
114	78, 111, 113	divnegd 12057	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
115	76	negeqd 11503	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
116	71	negnegd 11612	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
117	115, 116	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
118	117, 110	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
119		bcm1k 14355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
120	103, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
121	59	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
122		1cnd 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
123	121, 122, 122	pnncand 11660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
124	4	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
125		df-2 12330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
126	123, 124, 125	3eqtr4g 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
127		2nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
128	126, 127	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀)
129		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
130	59, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
131		nn0sub 12578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
132	130, 62, 131	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ₀))
133	128, 132	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
134	47	2timesd 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135	134	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
136	47, 47, 122	addsubd 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
137	135, 136	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
138		nn0nnaddcl 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
139	37, 138	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
140	137, 139	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
141	140, 98	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
142		elfz5 13557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
143	141, 100, 142	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
144	133, 143	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
145		bcm1k 14355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
147	48	2timesi 12405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
148	147	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
149	148	oveq2i 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
150	121, 122, 122	subsub4d 11652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
151		2cnd 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
152	151, 47, 122	subdid 11720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
153	149, 150, 152	3eqtr4a 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
154	153	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
155	61	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
156	140	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
157	155, 156, 122	subsubd 11649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
158	126	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
159		df-3 12331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	158, 159	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
161	157, 160	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
162	161	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
163	154, 162	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
164	146, 163	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
165	126	oveq1d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
166	164, 165	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
167		3re 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
168		nndivre 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
169	167, 140, 168	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
170	169	recnd 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
171		2re 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
172		nndivre 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
173	171, 59, 172	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
174	173	recnd 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
175	71, 170, 174	mulassd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
176	120, 166, 175	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
177		3cn 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
179	140	nnne0d 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
180	59	nnne0d 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
181	178, 156, 151, 121, 179, 180	divmuldivd 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
182		3t2e6 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
184	156, 121	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
185	183, 184	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
186	181, 185	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
187	186	oveq2d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
188	176, 187	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
189	188	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
190		6re 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
191	59, 140	nnmulcld 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
192		nndivre 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
193	190, 191, 192	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
194	193	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
195		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
196	140, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
197	153, 196	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ₀)
198	197	nn0red 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
199	140	nnred 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
200	61	nnred 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
201	199	ltm1d 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
202	153, 201	eqbrtrrd 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
203	198, 199, 202	ltled 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
204	198, 199, 200, 203, 133	letrd 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
205		nn0uz 12921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
206	197, 205	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0))
207		elfz5 13557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
208	206, 100, 207	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
209	204, 208	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
210		bccl2 14363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
211	209, 210	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
212	211	nnne0d 12317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
213	194, 71, 212	divcan3d 12049	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
214	189, 213	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
215	214	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
216	107, 71, 112, 212	recdivd 12061	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
217	191	nncnd 12283	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
218	191	nnne0d 12317	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
219		6cn 12358	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
220		6nn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
221	220	nnne0i 12307	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
222		recdiv 11974	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
223	219, 221, 222	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
224	217, 218, 223	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
225	215, 216, 224	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
226	114, 118, 225	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
227	19, 33, 226	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2939 {csn 4625 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5224 ^◡ccnv 5683 dom cdm 5684 “ cima 5687 ⟶wf 6556 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 Fincfn 8986 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 < clt 11296 ≤ cle 11297 − cmin 11493 -cneg 11494 / cdiv 11921 ℕcn 12267 2c2 12322 3c3 12323 6c6 12326 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ℤ_≥cuz 12879 ...cfz 13548 ↑cexp 14103 Ccbc 14342 ♯chash 14370 Σcsu 15723 tanctan 16102 πcpi 16103 Polycply 26224 coeffccoe 26226 degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-inf2 9682 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234 ax-addf 11235

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-se 5637 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-isom 6569 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-of 7698 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-supp 8187 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-2o 8508 df-oadd 8511 df-er 8746 df-map 8869 df-pm 8870 df-ixp 8939 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-fsupp 9403 df-fi 9452 df-sup 9483 df-inf 9484 df-oi 9551 df-dju 9942 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-dec 12736 df-uz 12880 df-q 12992 df-rp 13036 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-ioo 13392 df-ioc 13393 df-ico 13394 df-icc 13395 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-fl 13833 df-mod 13911 df-seq 14044 df-exp 14104 df-fac 14314 df-bc 14343 df-hash 14371 df-shft 15107 df-cj 15139 df-re 15140 df-im 15141 df-sqrt 15275 df-abs 15276 df-limsup 15508 df-clim 15525 df-rlim 15526 df-sum 15724 df-ef 16104 df-sin 16106 df-cos 16107 df-tan 16108 df-pi 16109 df-struct 17185 df-sets 17202 df-slot 17220 df-ndx 17232 df-base 17249 df-ress 17276 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17468 df-topn 17469 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-topgen 17489 df-pt 17490 df-prds 17493 df-xrs 17548 df-qtop 17553 df-imas 17554 df-xps 17556 df-mre 17630 df-mrc 17631 df-acs 17633 df-mgm 18654 df-sgrp 18733 df-mnd 18749 df-submnd 18798 df-mulg 19087 df-cntz 19336 df-cmn 19801 df-psmet 21357 df-xmet 21358 df-met 21359 df-bl 21360 df-mopn 21361 df-fbas 21362 df-fg 21363 df-cnfld 21366 df-top 22901 df-topon 22918 df-topsp 22940 df-bases 22954 df-cld 23028 df-ntr 23029 df-cls 23030 df-nei 23107 df-lp 23145 df-perf 23146 df-cn 23236 df-cnp 23237 df-haus 23324 df-tx 23571 df-hmeo 23764 df-fil 23855 df-fm 23947 df-flim 23948 df-flf 23949 df-xms 24331 df-ms 24332 df-tms 24333 df-cncf 24905 df-0p 25706 df-limc 25902 df-dv 25903 df-ply 26228 df-idp 26229 df-coe 26230 df-dgr 26231 df-quot 26334

This theorem is referenced by: basellem8 27132

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