MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 26589
Description: Lemma for basel 26594. Using vieta1 25825, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝑑,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,π‘˜,𝑛,𝑑   𝑃,π‘˜,𝑛   𝑇,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑗)   𝑇(𝑑,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (coeffβ€˜π‘ƒ) = (coeffβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2733 . . 3 (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2733 . . 3 (◑𝑃 β€œ {0}) = (◑𝑃 β€œ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
64, 5basellem2 26586 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) = 𝑀 ∧ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))))
76simp1d 1143 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
86simp2d 1144 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (degβ€˜π‘ƒ) = 𝑀)
9 nnnn0 12479 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 hashfz1 14306 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
12 fzfid 13938 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
13 basel.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
144, 5, 13basellem4 26588 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(◑𝑃 β€œ {0}))
1512, 14hasheqf1od 14313 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = (β™―β€˜(◑𝑃 β€œ {0})))
168, 11, 153eqtr2rd 2780 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(◑𝑃 β€œ {0})) = (degβ€˜π‘ƒ))
17 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•)
188, 17eqeltrd 2834 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•)
191, 2, 3, 7, 16, 18vieta1 25825 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (◑𝑃 β€œ {0})π‘₯ = -(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ))))
20 id 22 . . 3 (π‘₯ = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) β†’ π‘₯ = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
21 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· Ο€) = (π‘˜ Β· Ο€))
2221fvoveq1d 7431 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁)) = (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
2322oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
24 ovex 7442 . . . . 5 ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ V
2523, 13, 24fvmpt 6999 . . . 4 (π‘˜ ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
2625adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
27 cnvimass 6081 . . . . 5 (◑𝑃 β€œ {0}) βŠ† dom 𝑃
28 plyf 25712 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝑃:β„‚βŸΆβ„‚)
29 fdm 6727 . . . . . 6 (𝑃:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝑃 = β„‚)
307, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ dom 𝑃 = β„‚)
3127, 30sseqtrid 4035 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (◑𝑃 β€œ {0}) βŠ† β„‚)
3231sselda 3983 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑃 β€œ {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3320, 12, 14, 26, 32fsumf1o 15669 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (◑𝑃 β€œ {0})π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
346simp3d 1145 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))))
358oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
3634, 35fveq12d 6899 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
37 nnm1nn0 12513 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
38 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))
3938oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) = (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
40 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) = (𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))
4140oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) = (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1))))
4239, 41oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))))
43 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))
44 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))) ∈ V
4542, 43, 44fvmpt 6999 . . . . . . 7 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))))
4637, 45syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))))
47 nncn 12220 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
48 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
49 nncan 11489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)) = 1)
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)) = 1)
5150oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1))) = (-1↑1))
52 neg1cn 12326 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
53 exp1 14033 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑1) = -1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
5551, 54eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1))) = -1)
5655oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· -1))
57 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
58 nnmulcl 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
5957, 58mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
6059peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) + 1) ∈ β„•)
614, 60eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6261nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
63 2z 12594 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
64 nnz 12579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
65 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
67 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
6863, 66, 67sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
69 bccl 14282 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
7062, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
7170nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
72 mulcom 11196 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· -1) = (-1 Β· (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))))
7371, 52, 72sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· -1) = (-1 Β· (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))))
7471mulm1d 11666 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1 Β· (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))) = -(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
7556, 73, 743eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ (𝑀 βˆ’ 1)))) = -(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
7636, 46, 753eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = -(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
7771negcld 11558 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ -(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
7876, 77eqeltrd 2834 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
7934, 8fveq12d 6899 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€))
80 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝑀))
8180oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
82 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
8382oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) = (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)))
8481, 83oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
85 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))) ∈ V
8684, 43, 85fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
879, 86syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
8847subidd 11559 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
8988oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)) = (-1↑0))
90 exp0 14031 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑0) = 1)
9152, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
9289, 91eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)) = 1)
9392oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· 1))
94 fz1ssfz0 13597 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (0...𝑁)
9559nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
9695lep1d 12145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ ((2 Β· 𝑀) + 1))
9796, 4breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁)
98 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
9959, 98eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10061nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
101 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 Β· 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁))
10299, 100, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁))
10397, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ (1...𝑁))
10494, 103sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁))
105 bccl2 14283 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„•)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„•)
107106nncnd 12228 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„‚)
108107mulridd 11231 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· 1) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
10993, 108eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
11079, 87, 1093eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
111110, 107eqeltrd 2834 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
112106nnne0d 12262 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) β‰  0)
113110, 112eqnetrd 3009 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) β‰  0)
11478, 111, 113divnegd 12003 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ -(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ))) = (-((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ))))
11576negeqd 11454 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ -((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = --(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
11671negnegd 11562 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ --(𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) = (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
117115, 116eqtrd 2773 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ -((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
118117, 110oveq12d 7427 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) / (𝑁C(2 Β· 𝑀))))
119 bcm1k 14275 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑀) ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) = ((𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (2 Β· 𝑀))))
120103, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) = ((𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (2 Β· 𝑀))))
12159nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
122 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
123121, 122, 122pnncand 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = (1 + 1))
1244oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
125 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
126123, 124, 1253eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = 2)
127 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„•0
128126, 127eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
129 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 Β· 𝑀) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
13059, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
131 nn0sub 12522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„•0))
132130, 62, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„•0))
133128, 132mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
134472timesd 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
135134oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) = ((𝑀 + 𝑀) βˆ’ 1))
13647, 47, 122addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 + 𝑀) βˆ’ 1) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 𝑀))
137135, 136eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 𝑀))
138 nn0nnaddcl 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 𝑀) ∈ β„•)
13937, 138mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 𝑀) ∈ β„•)
140137, 139eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•)
141140, 98eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
142 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ≀ 𝑁))
143141, 100, 142syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ≀ 𝑁))
144133, 143mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (1...𝑁))
145 bcm1k 14275 . . . . . . . . . . . 12 (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = ((𝑁C(((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = ((𝑁C(((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
147482timesi 12350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· 1) = (1 + 1)
148147eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 Β· 1)
149148oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· 𝑀) βˆ’ (1 + 1)) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ (2 Β· 1))
150121, 122, 122subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ (1 + 1)))
151 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
152151, 47, 122subdid 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ (2 Β· 1)))
153149, 150, 1523eqtr4a 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))
154153oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))
15561nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
156140nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
157155, 156, 122subsubd 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + 1))
158126oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + 1) = (2 + 1))
159 df-3 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
160158, 159eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + 1) = 3)
161157, 160eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = 3)
162161oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))
163154, 162oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
164146, 163eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
165126oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (2 Β· 𝑀)) = (2 / (2 Β· 𝑀)))
166164, 165oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· ((𝑁 βˆ’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (2 Β· 𝑀))) = (((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) Β· (2 / (2 Β· 𝑀))))
167 3re 12292 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
168 nndivre 12253 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
169167, 140, 168sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
170169recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
171 2re 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
172 nndivre 12253 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•) β†’ (2 / (2 Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
173171, 59, 172sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 / (2 Β· 𝑀)) ∈ ℝ)
174173recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 / (2 Β· 𝑀)) ∈ β„‚)
17571, 170, 174mulassd 11237 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) Β· (2 / (2 Β· 𝑀))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· ((3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· (2 / (2 Β· 𝑀)))))
176120, 166, 1753eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· ((3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· (2 / (2 Β· 𝑀)))))
177 3cn 12293 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ β„‚
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 3 ∈ β„‚)
179140nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) β‰  0)
18059nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) β‰  0)
181178, 156, 151, 121, 179, 180divmuldivd 12031 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· (2 / (2 Β· 𝑀))) = ((3 Β· 2) / (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) Β· (2 Β· 𝑀))))
182 3t2e6 12378 . . . . . . . . . . . 12 (3 Β· 2) = 6
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (3 Β· 2) = 6)
184156, 121mulcomd 11235 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) Β· (2 Β· 𝑀)) = ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))
185183, 184oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((3 Β· 2) / (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) Β· (2 Β· 𝑀))) = (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
186181, 185eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· (2 / (2 Β· 𝑀))) = (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
187186oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· ((3 / ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) Β· (2 / (2 Β· 𝑀)))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))))
188176, 187eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))))
189188oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))) = (((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))))
190 6re 12302 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
19159, 140nnmulcld 12265 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
192 nndivre 12253 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„•) β†’ (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
193190, 191, 192sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
194193recnd 11242 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
195 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
196140, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
197153, 196eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
198197nn0red 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
199140nnred 12227 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
20061nnred 12227 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
201199ltm1d 12146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) βˆ’ 1) < ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
202153, 201eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) < ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
203198, 199, 202ltled 11362 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ≀ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
204198, 199, 200, 203, 133letrd 11371 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ≀ 𝑁)
205 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
206197, 205eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
207 elfz5 13493 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ≀ 𝑁))
208206, 100, 207syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ≀ 𝑁))
209204, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (0...𝑁))
210 bccl2 14283 . . . . . . . . 9 ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„•)
211209, 210syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) ∈ β„•)
212211nnne0d 12262 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) β‰  0)
213194, 71, 212divcan3d 11995 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) Β· (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))) = (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
214189, 213eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1)))) = (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))))
215214oveq2d 7425 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 / ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))) = (1 / (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))))
216107, 71, 112, 212recdivd 12007 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 / ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) / (𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))))) = ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) / (𝑁C(2 Β· 𝑀))))
217191nncnd 12228 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
218191nnne0d 12262 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) β‰  0)
219 6cn 12303 . . . . . 6 6 ∈ β„‚
220 6nn 12301 . . . . . . 7 6 ∈ β„•
221220nnne0i 12252 . . . . . 6 6 β‰  0
222 recdiv 11920 . . . . . 6 (((6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0) ∧ (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) β‰  0)) β†’ (1 / (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
223219, 221, 222mpanl12 701 . . . . 5 ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ (1 / (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
224217, 218, 223syl2anc 585 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 / (6 / ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)))) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
225215, 216, 2243eqtr3d 2781 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· (𝑀 βˆ’ 1))) / (𝑁C(2 Β· 𝑀))) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
226114, 118, 2253eqtrd 2777 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ -(((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜((degβ€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) / ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ))) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
22719, 33, 2263eqtr3d 2781 1 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  6c6 12271  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ccbc 14262  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632  tanctan 16009  Ο€cpi 16010  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804
This theorem is referenced by:  basellem8  26592
  Copyright terms: Public domain W3C validator