MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagconOLD 21704
Description: Obsolete version of psrbagcon 21703 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagconOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbagconOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1193 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21690 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
51, 4mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
65simpld 494 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
76ffnd 6718 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
8 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
98ffnd 6718 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
10 simpl 482 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 inidm 4218 . . . . 5 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
127, 9, 10, 10, 11offn 7687 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼)
13 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
14 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
157, 9, 10, 10, 11, 13, 14ofval 7685 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
16 simpr3 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
179, 7, 10, 10, 11, 14, 13ofrfval 7684 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1816, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1918r19.21bi 3247 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
208ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
216ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0sub 12527 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2320, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
2515, 24eqeltrd 2832 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2625ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
27 ffnfv 7120 . . . 4 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
2812, 26, 27sylanbrc 582 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
295simprd 495 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
3020nn0ge0d 12540 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
31 nn0re 12486 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
32 nn0re 12486 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
33 subge02 11735 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3431, 32, 33syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3521, 20, 34syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3630, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3736ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3812, 7, 10, 10, 11, 15, 13ofrfval 7684 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3937, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)
402psrbaglesuppOLD 21698 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4110, 1, 28, 39, 40syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4229, 41ssfid 9271 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
432psrbag 21690 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4443adantr 480 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4528, 42, 44mpbir2and 710 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷)
4645, 39jca 511 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672   ∘r cofr 7673   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  β„cr 11113  0cc0 11114   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478
This theorem is referenced by:  psrbagconclOLD  21708  psrbagconf1oOLD  21710  gsumbagdiaglemOLD  21711
  Copyright terms: Public domain W3C validator