MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagconOLD 21703
Description: Obsolete version of psrbagcon 21702 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagconOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbagconOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1192 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21689 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
51, 4mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
65simpld 493 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
76ffnd 6717 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
8 simpr2 1193 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
98ffnd 6717 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
10 simpl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 inidm 4217 . . . . 5 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
127, 9, 10, 10, 11offn 7685 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼)
13 eqidd 2731 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
14 eqidd 2731 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
157, 9, 10, 10, 11, 13, 14ofval 7683 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
16 simpr3 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
179, 7, 10, 10, 11, 14, 13ofrfval 7682 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1816, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1918r19.21bi 3246 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
208ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
216ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0sub 12526 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
2515, 24eqeltrd 2831 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2625ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
27 ffnfv 7119 . . . 4 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
2812, 26, 27sylanbrc 581 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
295simprd 494 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
3020nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
31 nn0re 12485 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
32 nn0re 12485 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
33 subge02 11734 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3431, 32, 33syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3521, 20, 34syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3630, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3736ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3812, 7, 10, 10, 11, 15, 13ofrfval 7682 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3937, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)
402psrbaglesuppOLD 21697 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4110, 1, 28, 39, 40syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
4229, 41ssfid 9269 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
432psrbag 21689 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4443adantr 479 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
4528, 42, 44mpbir2and 709 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷)
4645, 39jca 510 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ∘r cofr 7671   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477
This theorem is referenced by:  psrbagconclOLD  21707  psrbagconf1oOLD  21709  gsumbagdiaglemOLD  21710
  Copyright terms: Public domain W3C validator