Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconOLD 20693
 Description: Obsolete version of psrbagcon 20692 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagconOLD ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹𝐷)
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 20679 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
51, 4mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
65simpld 498 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
76ffnd 6499 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
8 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
98ffnd 6499 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
10 simpl 486 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐼𝑉)
11 inidm 4123 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
127, 9, 10, 10, 11offn 7417 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐼)
13 eqidd 2759 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
14 eqidd 2759 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
157, 9, 10, 10, 11, 13, 14ofval 7415 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
16 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺r𝐹)
179, 7, 10, 10, 11, 14, 13ofrfval 7414 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
1816, 17mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1918r19.21bi 3137 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
208ffvelrnda 6842 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
216ffvelrnda 6842 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0sub 11984 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2419, 23mpbid 235 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0)
2515, 24eqeltrd 2852 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2625ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 ffnfv 6873 . . . 4 ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹f𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
2812, 26, 27sylanbrc 586 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0)
295simprd 499 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
3020nn0ge0d 11997 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
31 nn0re 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32 nn0re 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
33 subge02 11194 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3431, 32, 33syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3521, 20, 34syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3630, 35mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3736ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3812, 7, 10, 10, 11, 15, 13ofrfval 7414 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3937, 38mpbird 260 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)
402psrbaglesuppOLD 20687 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷 ∧ (𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4110, 1, 28, 39, 40syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4229, 41ssfid 8778 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
432psrbag 20679 . . . 4 (𝐼𝑉 → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4443adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4528, 42, 44mpbir2and 712 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹f𝐺) ∈ 𝐷)
4645, 39jca 515 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ((𝐹f𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝐺) ∘r𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  ◡ccnv 5523   “ cima 5527   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   ∘r cofr 7404   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  ℝcr 10574  0cc0 10575   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935 This theorem is referenced by:  psrbagconclOLD  20697  psrbagconf1oOLD  20699  gsumbagdiaglemOLD  20700
 Copyright terms: Public domain W3C validator