Theorem psrvalstr 22045

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstr	⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩

Proof of Theorem psrvalstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
2	1	rngstr 17350	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
3		5nn 12326	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		scandx 17366	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		5lt6 12423	. . 3 ⊢ 5 < 6
6		6nn 12329	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7		vscandx 17371	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
8		6lt9 12443	. . 3 ⊢ 6 < 9
9		9nn 12338	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		tsetndx 17404	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	strle3 17219	. 2 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩
12		3lt5 12420	. 2 ⊢ 3 < 5
13	2, 11, 12	strleun 17216	1 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3902  {ctp 4592  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  1c1 11100  3c3 12295  5c5 12297  6c6 12298  9c9 12301   Struct cstr 17205  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  TopSetcts 17315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328

This theorem is referenced by:  psrbas  22063  psrplusg  22066  psrmulr  22071  psrsca  22076  psrvscafval  22077