Theorem psrvalstr 21877

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstr	⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩

Proof of Theorem psrvalstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
2	1	rngstr 17223	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
3		5nn 12236	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		scandx 17239	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		5lt6 12326	. . 3 ⊢ 5 < 6
6		6nn 12239	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
7		vscandx 17244	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
8		6lt9 12346	. . 3 ⊢ 6 < 9
9		9nn 12248	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		tsetndx 17277	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	strle3 17092	. 2 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩
12		3lt5 12323	. 2 ⊢ 3 < 5
13	2, 11, 12	strleun 17089	1 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3900  {ctp 4585  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  1c1 11032  3c3 12206  5c5 12208  6c6 12209  9c9 12212   Struct cstr 17078  ndxcnx 17125  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  ._rcmulr 17183  Scalarcsca 17185   ·_𝑠 cvsca 17186  TopSetcts 17188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-tset 17201

This theorem is referenced by:  psrbas  21894  psrplusg  21897  psrmulr  21903  psrsca  21908  psrvscafval  21909