MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddclOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagaddclOLD 21702
Description: Obsolete version of psrbagaddcl 21701 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddclOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbagaddclOLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12512 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
21adantl 481 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
3 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
4 psrbag.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
54psrbag 21690 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
653ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)))
73, 6mpbid 231 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
87simpld 494 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
9 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
104psrbag 21690 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐺 β€œ β„•) ∈ Fin)))
11103ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐺 β€œ β„•) ∈ Fin)))
129, 11mpbid 231 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐺 β€œ β„•) ∈ Fin))
1312simpld 494 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
14 simp1 1135 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15 inidm 4219 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
162, 8, 13, 14, 14, 15off 7691 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
17 fcdmnn0supp 12533 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
1814, 16, 17syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
19 fvexd 6907 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
20 fvexd 6907 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
218feqmptd 6961 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2213feqmptd 6961 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
2314, 19, 20, 21, 22offval2 7693 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
2423oveq1d 7427 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) supp 0))
2518, 24eqtr3d 2773 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) supp 0))
26 fcdmnn0supp 12533 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
2714, 8, 26syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
287simprd 495 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30 fcdmnn0supp 12533 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
3114, 13, 30syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
3212simprd 495 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) ∈ Fin)
3331, 32eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34 unfi 9175 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3529, 33, 34syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36 ssun1 4173 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
38 c0ex 11213 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
408, 37, 14, 39suppssr 8184 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
41 ssun2 4174 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
4313, 42, 14, 39suppssr 8184 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
4440, 43oveq12d 7430 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) = (0 + 0))
45 00id 11394 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtrdi 2787 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4746, 14suppss2 8188 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
4835, 47ssfid 9270 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) supp 0) ∈ Fin)
4925, 48eqeltrd 2832 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
504psrbag 21690 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
51503ad2ant1 1132 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
5216, 49, 51mpbir2and 710 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   supp csupp 8149   ↑m cmap 8823  Fincfn 8942  0cc0 11113   + caddc 11116  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-nn 12218  df-n0 12478
This theorem is referenced by:  tdeglem3OLD  25809
  Copyright terms: Public domain W3C validator