Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddclOLD Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Obsolete version of psrbagaddcl 20690 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddclOLD ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddclOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 11969 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 485 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
4 psrbag.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
54psrbag 20679 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
653ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
73, 6mpbid 235 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
87simpld 498 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺𝐷)
104psrbag 20679 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11103ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
129, 11mpbid 235 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
1312simpld 498 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14 simp1 1133 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼𝑉)
15 inidm 4123 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
162, 8, 13, 14, 14, 15off 7422 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17 frnnn0supp 11990 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
19 fvexd 6673 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
20 fvexd 6673 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
218feqmptd 6721 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2213feqmptd 6721 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
2314, 19, 20, 21, 22offval2 7424 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2423oveq1d 7165 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
2518, 24eqtr3d 2795 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
26 frnnn0supp 11990 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
2714, 8, 26syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
287simprd 499 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrd 2852 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30 frnnn0supp 11990 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3114, 13, 30syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3212simprd 499 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
3331, 32eqeltrd 2852 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34 unfi 8741 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3529, 33, 34syl2anc 587 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36 ssun1 4077 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38 c0ex 10673 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ V)
408, 37, 14, 39suppssr 7870 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑥) = 0)
41 ssun2 4078 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4313, 42, 14, 39suppssr 7870 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝑥) = 0)
4440, 43oveq12d 7168 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = (0 + 0))
45 00id 10853 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtrdi 2809 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = 0)
4746, 14suppss2 7874 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4835, 47ssfid 8778 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
4925, 48eqeltrd 2852 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
504psrbag 20679 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
51503ad2ant1 1130 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
5216, 49, 51mpbir2and 712 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858   ↦ cmpt 5112  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   supp csupp 7835   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  0cc0 10575   + caddc 10578  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-nn 11675  df-n0 11935 This theorem is referenced by:  tdeglem3OLD  24758
 Copyright terms: Public domain W3C validator