Theorem psrbagaddclOLD 20696

Description: Obsolete version of psrbagaddcl 20695 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclOLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddclOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 11974	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	4	psrbag 20684	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
6	5	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	3, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	7	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ 𝐷)
10	4	psrbag 20684	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11	10	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
12	9, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
13	12	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		inidm 4125	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	2, 8, 13, 14, 14, 15	off 7427	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17		frnnn0supp 11995	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
18	14, 16, 17	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
19		fvexd 6677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
20		fvexd 6677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
21	8	feqmptd 6725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
22	13	feqmptd 6725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	14, 19, 20, 21, 22	offval2 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
24	23	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0))
25	18, 24	eqtr3d 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0))
26		frnnn0supp 11995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
27	14, 8, 26	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
28	7	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	eqeltrd 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30		frnnn0supp 11995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (◡𝐺 “ ℕ))
31	14, 13, 30	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) = (◡𝐺 “ ℕ))
32	12	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34		unfi 8746	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
35	29, 33, 34	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36		ssun1 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38		c0ex 10678	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
40	8, 37, 14, 39	suppssr 7875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑥) = 0)
41		ssun2 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
43	13, 42, 14, 39	suppssr 7875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑥) = 0)
44	40, 43	oveq12d 7173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = (0 + 0))
45		00id 10858	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtrdi 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46, 14	suppss2 7879	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
48	35, 47	ssfid 8783	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
49	25, 48	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
50	4	psrbag 20684	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
51	50	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
52	16, 49, 51	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860   ↦ cmpt 5115  ^◡ccnv 5526   “ cima 5530  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7408   supp csupp 7840   ↑_m cmap 8421  Fincfn 8532  0cc0 10580   + caddc 10583  ℕcn 11679  ℕ₀cn0 11939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-nn 11680  df-n0 11940

This theorem is referenced by:  tdeglem3OLD  24763