Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagsn 20839
 Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagsn (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 11964 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
2 0nn0 11963 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
31, 2ifcli 4471 . . . . . 6 if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
54fmpttd 6877 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
65mptru 1546 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7 eqid 2759 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
87mptpreima 6073 . . . 4 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9 snfi 8628 . . . . . 6 {𝐾} ∈ Fin
10 inss1 4136 . . . . . . 7 ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥𝑥 = 𝐾}
11 dfrab2 4216 . . . . . . 7 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} = ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12 df-sn 4527 . . . . . . 7 {𝐾} = {𝑥𝑥 = 𝐾}
1310, 11, 123sstr4i 3938 . . . . . 6 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14 ssfi 8756 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
159, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16 0nnn 11724 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
17 iffalse 4433 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
1817eleq1d 2837 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
1916, 18mtbiri 330 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
2019con4i 114 . . . . . . 7 (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
2221ss2rabi 3984 . . . . 5 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}
23 ssfi 8756 . . . . 5 (({𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}) → {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
2415, 22, 23mp2an 691 . . . 4 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
258, 24eqeltri 2849 . . 3 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
266, 25pm3.2i 474 . 2 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27 psrbag0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2827psrbag 20694 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2926, 28mpbiri 261 1 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2112  {cab 2736  {crab 3075   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  ifcif 4424  {csn 4526   ↦ cmpt 5117  ◡ccnv 5528   “ cima 5532  ⟶wf 6337  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423  Fincfn 8541  0cc0 10589  1c1 10590  ℕcn 11688  ℕ0cn0 11948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-nn 11689  df-n0 11949 This theorem is referenced by:  evlslem1  20860
 Copyright terms: Public domain W3C validator