Theorem psrbagsn 22046

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		0nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	ifcli 4509	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5	4	fmpttd 7063	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
6	5	mptru 1554	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
8	7	mptpreima 6196	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9		snfi 8987	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
10		inss1 4172	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
11		dfrab2 4255	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} = ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12		df-sn 4563	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
13	10, 11, 12	3sstr4i 3973	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14		ssfi 9104	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
15	9, 13, 14	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16		0nnn 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17		iffalse 4470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
18	17	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
19	16, 18	mtbiri 328	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
20	19	con4i 114	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
22	21	ss2rabi 4014	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}
23		ssfi 9104	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
24	15, 22, 23	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
25	8, 24	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
26	6, 25	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	27	psrbag 21899	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	26, 28	mpbiri 259	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  {cab 2718  {crab 3392   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ifcif 4461  {csn 4562   ↦ cmpt 5160  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6488  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-nn 12173  df-n0 12436

This theorem is referenced by:  evlslem1  22065  psdmplcl  22157  psdadd  22158  psdvsca  22159  psdmul  22161  psdmvr  22164