Theorem psrbagsn 22405

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12652	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		0nn0 12651	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	ifcli 4533	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5	4	fmpttd 7142	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
6	5	mptru 1577	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
8	7	mptpreima 6253	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9		snfi 9102	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
10		inss1 4136	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
11		dfrab2 4268	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} = ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12		df-sn 4589	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
13	10, 11, 12	3sstr4i 3964	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14		ssfi 9219	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
15	9, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16		0nnn 12404	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17		iffalse 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
18	17	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
19	16, 18	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
20	19	con4i 115	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
22	21	ss2rabi 4004	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}
23		ssfi 9219	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
24	15, 22, 23	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
25	8, 24	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
26	6, 25	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	27	psrbag 22258	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	26, 28	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  ⟶wf 6557  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  0cc0 11230  1c1 11231  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-nn 12366  df-n0 12637

This theorem is used by:  evlslem1  22424  psdmplcl  22516  psdadd  22517  psdvsca  22518  psdmul  22520  psdmvr  22523