Theorem psrbagsn 22105

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		0nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	ifcli 4578	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5	4	fmpttd 7135	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
6	5	mptru 1544	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
8	7	mptpreima 6260	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9		snfi 9082	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
10		inss1 4245	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
11		dfrab2 4326	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} = ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12		df-sn 4632	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
13	10, 11, 12	3sstr4i 4039	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14		ssfi 9212	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
15	9, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16		0nnn 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17		iffalse 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
18	17	eleq1d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
19	16, 18	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
20	19	con4i 114	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
22	21	ss2rabi 4087	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}
23		ssfi 9212	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
24	15, 22, 23	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
25	8, 24	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
26	6, 25	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	27	psrbag 21955	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	26, 28	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  {cab 2712  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  evlslem1  22124  psdmplcl  22184  psdadd  22185  psdvsca  22186  psdmul  22188