MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagsn 21593
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagsn (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 12475 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
2 0nn0 12474 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
31, 2ifcli 4571 . . . . . 6 if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
54fmpttd 7102 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
65mptru 1549 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7 eqid 2733 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
87mptpreima 6229 . . . 4 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9 snfi 9032 . . . . . 6 {𝐾} ∈ Fin
10 inss1 4226 . . . . . . 7 ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥𝑥 = 𝐾}
11 dfrab2 4308 . . . . . . 7 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} = ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12 df-sn 4625 . . . . . . 7 {𝐾} = {𝑥𝑥 = 𝐾}
1310, 11, 123sstr4i 4023 . . . . . 6 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14 ssfi 9161 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
159, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16 0nnn 12235 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
17 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
1817eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
1916, 18mtbiri 327 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
2019con4i 114 . . . . . . 7 (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
2221ss2rabi 4072 . . . . 5 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}
23 ssfi 9161 . . . . 5 (({𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}) → {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
2415, 22, 23mp2an 691 . . . 4 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
258, 24eqeltri 2830 . . 3 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
266, 25pm3.2i 472 . 2 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27 psrbag0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2827psrbag 21441 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2926, 28mpbiri 258 1 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  {cab 2710  {crab 3433  cin 3945  wss 3946  ifcif 4524  {csn 4624  cmpt 5227  ccnv 5671  cima 5675  wf 6531  (class class class)co 7396  m cmap 8808  Fincfn 8927  0cc0 11097  1c1 11098  cn 12199  0cn0 12459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-nn 12200  df-n0 12460
This theorem is referenced by:  evlslem1  21614
  Copyright terms: Public domain W3C validator