MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagsn 21925
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagsn (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑓)   𝑉(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 12484 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
2 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
31, 2ifcli 4567 . . . . . 6 if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•0
43a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•0)
54fmpttd 7106 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)):πΌβŸΆβ„•0)
65mptru 1540 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)):πΌβŸΆβ„•0
7 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0))
87mptpreima 6227 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) β€œ β„•) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•}
9 snfi 9039 . . . . . 6 {𝐾} ∈ Fin
10 inss1 4220 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∣ π‘₯ = 𝐾} ∩ 𝐼) βŠ† {π‘₯ ∣ π‘₯ = 𝐾}
11 dfrab2 4302 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} = ({π‘₯ ∣ π‘₯ = 𝐾} ∩ 𝐼)
12 df-sn 4621 . . . . . . 7 {𝐾} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 𝐾}
1310, 11, 123sstr4i 4017 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} βŠ† {𝐾}
14 ssfi 9168 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ Fin ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} βŠ† {𝐾}) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} ∈ Fin)
159, 13, 14mp2an 689 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} ∈ Fin
16 0nnn 12244 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 ∈ β„•
17 iffalse 4529 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ = 𝐾 β†’ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) = 0)
1817eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ = 𝐾 β†’ (if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„• ↔ 0 ∈ β„•))
1916, 18mtbiri 327 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = 𝐾 β†’ Β¬ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•)
2019con4i 114 . . . . . . 7 (if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„• β†’ π‘₯ = 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„• β†’ π‘₯ = 𝐾))
2221ss2rabi 4066 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾}
23 ssfi 9168 . . . . 5 (({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾} ∈ Fin ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ π‘₯ = 𝐾}) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•} ∈ Fin)
2415, 22, 23mp2an 689 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0) ∈ β„•} ∈ Fin
258, 24eqeltri 2821 . . 3 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin
266, 25pm3.2i 470 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
27 psrbag0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2827psrbag 21770 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2926, 28mpbiri 258 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  {cab 2701  {crab 3424   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  {csn 4620   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8815  Fincfn 8934  0cc0 11105  1c1 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-nn 12209  df-n0 12469
This theorem is referenced by:  evlslem1  21946  psdmplcl  22004  psdadd  22005  psdvsca  22006
  Copyright terms: Public domain W3C validator