Theorem psrbagsn 22030

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		0nn0 12428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	ifcli 4529	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5	4	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
6	5	mptru 1549	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
8	7	mptpreima 6204	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9		snfi 8992	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
10		inss1 4191	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
11		dfrab2 4274	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} = ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12		df-sn 4583	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
13	10, 11, 12	3sstr4i 3987	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14		ssfi 9109	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
15	9, 13, 14	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16		0nnn 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17		iffalse 4490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
19	16, 18	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
20	19	con4i 114	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
22	21	ss2rabi 4030	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}
23		ssfi 9109	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
24	15, 22, 23	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
25	8, 24	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
26	6, 25	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	27	psrbag 21885	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	26, 28	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {cab 2715  {crab 3401   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  evlslem1  22049  psdmplcl  22117  psdadd  22118  psdvsca  22119  psdmul  22121  psdmvr  22124