Theorem pw2divscan4d 28887

Description: Cancellation law for divison by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
pw2divscan4d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
pw2divscan4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan4d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Proof of Theorem pw2divscan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2no 28862	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divscan4d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		pw2divscan4d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)
4		expadds 28878	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
6	5	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴))
7		expscl 28874	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No)
8	1, 2, 7	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No)
9		expscl 28874	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑀) ∈ No)
10	1, 3, 9	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑀) ∈ No)
11		pw2divscan4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
12	8, 10, 11	mulsassd 28610	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
13	6, 12	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
14	13	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))
15		n0addscl 28787	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
16	2, 3, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
17	11, 16	pw2divscan3d 28884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = 𝐴)
18	10, 11	mulscld 28578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) ∈ No)
19	8, 18, 16	pw2divsassd 28886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))))
20	14, 17, 19	3eqtr3rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴)
21	18, 16	pw2divscld 28882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ∈ No)
22	11, 21, 2	pw2divmulsd 28883	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴))
23	20, 22	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   +_s cadds 28402   ·_s cmuls 28549   /_su cdivs 28630  ℕ_0scn0s 28755  2_sc2s 28853  ↑_scexps 28855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-1s 28251  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-muls 28550  df-divs 28631  df-seqs 28727  df-n0s 28757  df-nns 28758  df-zs 28822  df-2s 28854  df-exps 28856

This theorem is used by:  pw2cut2  28905  bdaypw2n0bndlem  28906  bdayfinbndlem1  28910  z12addscl  28920  z12shalf  28923