Theorem pw2divscan4d 28367

Description: Cancellation law for divison by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscan4d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
pw2divscan4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan4d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Proof of Theorem pw2divscan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sno 28342	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divscan4d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		pw2divscan4d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)
4		expadds 28358	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
6	5	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴))
7		expscl 28354	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	1, 2, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		expscl 28354	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑀) ∈ No )
10	1, 3, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑀) ∈ No )
11		pw2divscan4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
12	8, 10, 11	mulsassd 28106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
13	6, 12	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
14	13	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))
15		n0addscl 28272	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
16	2, 3, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
17	11, 16	pw2divscan3d 28364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = 𝐴)
18	10, 11	mulscld 28074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) ∈ No )
19	8, 18, 16	pw2divsassd 28366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))))
20	14, 17, 19	3eqtr3rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴)
21	18, 16	pw2divscld 28362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ∈ No )
22	11, 21, 2	pw2divsmuld 28363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴))
23	20, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   No csur 27578   +_s cadds 27902   ·_s cmuls 28045   /_su cdivs 28126  ℕ_0scnn0s 28242  2_sc2s 28333  ↑_scexps 28335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-nadd 8581  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sle 27684  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769  df-made 27788  df-old 27789  df-left 27791  df-right 27792  df-norec 27881  df-norec2 27892  df-adds 27903  df-negs 27963  df-subs 27964  df-muls 28046  df-divs 28127  df-seqs 28214  df-n0s 28244  df-nns 28245  df-zs 28303  df-2s 28334  df-exps 28336

This theorem is referenced by:  pw2cut2  28382  zs12addscl  28387  zs12half  28390