Theorem pw2divscan4d 28440

Description: Cancellation law for divison by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscan4d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
pw2divscan4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan4d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Proof of Theorem pw2divscan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2no 28415	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divscan4d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		pw2divscan4d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)
4		expadds 28431	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
6	5	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴))
7		expscl 28427	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	1, 2, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		expscl 28427	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑀) ∈ No )
10	1, 3, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑀) ∈ No )
11		pw2divscan4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
12	8, 10, 11	mulsassd 28163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
13	6, 12	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
14	13	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))
15		n0addscl 28340	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
16	2, 3, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
17	11, 16	pw2divscan3d 28437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = 𝐴)
18	10, 11	mulscld 28131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) ∈ No )
19	8, 18, 16	pw2divsassd 28439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))))
20	14, 17, 19	3eqtr3rd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴)
21	18, 16	pw2divscld 28435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ∈ No )
22	11, 21, 2	pw2divmulsd 28436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴))
23	20, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   No csur 27607   +_s cadds 27955   ·_s cmuls 28102   /_su cdivs 28183  ℕ_0scn0s 28308  2_sc2s 28406  ↑_scexps 28408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-nadd 8594  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27934  df-norec2 27945  df-adds 27956  df-negs 28017  df-subs 28018  df-muls 28103  df-divs 28184  df-seqs 28280  df-n0s 28310  df-nns 28311  df-zs 28375  df-2s 28407  df-exps 28409

This theorem is referenced by:  pw2cut2  28458  bdaypw2n0bndlem  28459  bdayfinbndlem1  28463  z12addscl  28473  z12shalf  28476