Theorem pw2divscan4d 28842

Description: Cancellation law for divison by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
pw2divscan4d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
pw2divscan4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan4d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Proof of Theorem pw2divscan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2no 28817	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divscan4d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		pw2divscan4d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)
4		expadds 28833	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
6	5	oveq1d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴))
7		expscl 28829	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No)
8	1, 2, 7	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No)
9		expscl 28829	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑀) ∈ No)
10	1, 3, 9	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑀) ∈ No)
11		pw2divscan4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
12	8, 10, 11	mulsassd 28565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
13	6, 12	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
14	13	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))
15		n0addscl 28742	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
16	2, 3, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
17	11, 16	pw2divscan3d 28839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = 𝐴)
18	10, 11	mulscld 28533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) ∈ No)
19	8, 18, 16	pw2divsassd 28841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))))
20	14, 17, 19	3eqtr3rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴)
21	18, 16	pw2divscld 28837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ∈ No)
22	11, 21, 2	pw2divmulsd 28838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴))
23	20, 22	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   +_s cadds 28357   ·_s cmuls 28504   /_su cdivs 28585  ℕ_0scn0s 28710  2_sc2s 28808  ↑_scexps 28810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-nadd 8686  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-0s 28205  df-1s 28206  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-norec 28336  df-norec2 28347  df-adds 28358  df-negs 28419  df-subs 28420  df-muls 28505  df-divs 28586  df-seqs 28682  df-n0s 28712  df-nns 28713  df-zs 28777  df-2s 28809  df-exps 28811

This theorem is used by:  pw2cut2  28860  bdaypw2n0bndlem  28861  bdayfinbndlem1  28865  z12addscl  28875  z12shalf  28878