Theorem pw2divscan4d 28402

Description: Cancellation law for divison by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscan4d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
pw2divscan4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan4d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Proof of Theorem pw2divscan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sno 28377	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divscan4d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		pw2divscan4d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0s)
4		expadds 28393	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) = ((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)))
6	5	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴))
7		expscl 28389	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	1, 2, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		expscl 28389	. . . . . . 7 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑀) ∈ No )
10	1, 3, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑀) ∈ No )
11		pw2divscan4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
12	8, 10, 11	mulsassd 28136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (2s↑s𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
13	6, 12	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) = ((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)))
14	13	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))
15		n0addscl 28304	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 𝑀 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
16	2, 3, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 +s 𝑀) ∈ ℕ0s)
17	11, 16	pw2divscan3d 28399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s(𝑁 +s 𝑀)) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = 𝐴)
18	10, 11	mulscld 28104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) ∈ No )
19	8, 18, 16	pw2divsassd 28401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s ((2s↑s𝑀) ·s 𝐴)) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) = ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))))
20	14, 17, 19	3eqtr3rd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴)
21	18, 16	pw2divscld 28397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ∈ No )
22	11, 21, 2	pw2divsmuld 28398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀)))) = 𝐴))
23	20, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (((2s↑s𝑀) ·s 𝐴) /su (2s↑s(𝑁 +s 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   No csur 27605   +_s cadds 27929   ·_s cmuls 28075   /_su cdivs 28156  ℕ_0scnn0s 28273  2_sc2s 28368  ↑_scexps 28370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-nadd 8592  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750  df-0s 27795  df-1s 27796  df-made 27815  df-old 27816  df-left 27818  df-right 27819  df-norec 27908  df-norec2 27919  df-adds 27930  df-negs 27990  df-subs 27991  df-muls 28076  df-divs 28157  df-seqs 28245  df-n0s 28275  df-nns 28276  df-zs 28337  df-2s 28369  df-exps 28371

This theorem is referenced by:  pw2cut2  28419  bdaypw2n0s  28420  zs12addscl  28426  zs12half  28429