Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem16 45030
Description: Lemma for stoweid 45077. The subset π‘Œ of functions in the algebra 𝐴, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem16.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem16.2 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
stoweidlem16.3 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
stoweidlem16.4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem16.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝐴   𝑇,𝑓,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓   β„Ž,𝐻
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑔,β„Ž)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑔)   π‘Œ(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)

Proof of Theorem stoweidlem16
StepHypRef Expression
1 stoweidlem16.3 . . . 4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
2 simp1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ πœ‘)
3 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘“β€˜π‘‘))
43breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑓 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘)))
53breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
64, 5anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
76ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
8 stoweidlem16.2 . . . . . . . 8 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
97, 8elrab2 3685 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
109simplbi 496 . . . . . 6 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
11103ad2ant2 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
12 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘”β€˜π‘‘))
1312breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑔 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘)))
1412breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))
1513, 14anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1615ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑔 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1716, 8elrab2 3685 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ π‘Œ ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1817simplbi 496 . . . . . 6 (𝑔 ∈ π‘Œ β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
19183ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
20 stoweidlem16.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
212, 11, 19, 20syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
221, 21eqeltrid 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
23 stoweidlem16.1 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
24 nfra1 3279 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
25 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐴
2624, 25nfrabw 3466 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
278, 26nfcxfr 2899 . . . . . 6 β„²π‘‘π‘Œ
2827nfcri 2888 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑓 ∈ π‘Œ
2927nfcri 2888 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑔 ∈ π‘Œ
3023, 28, 29nf3an 1902 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ)
312, 11jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴))
3231adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴))
33 stoweidlem16.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
35 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
3634, 35ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
372, 19jca 510 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐴))
38 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑔 ∈ 𝐴))
3938anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐴)))
40 feq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑔:π‘‡βŸΆβ„))
4139, 40imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:π‘‡βŸΆβ„)))
4241, 33vtoclg 3541 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:π‘‡βŸΆβ„))
4319, 37, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑔:π‘‡βŸΆβ„)
4443ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘”β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
459simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
46453ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
4746r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
4847simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘))
4917simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ π‘Œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))
50493ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))
5150r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))
5251simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘))
5336, 44, 48, 52mulge0d 11795 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
5436, 44remulcld 11248 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
551fvmpt2 7008 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
5635, 54, 55syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
5753, 56breqtrrd 5175 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
58 1red 11219 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
5947simprd 494 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)
6051simprd 494 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)
6136, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60lemul12ad 12160 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ≀ (1 Β· 1))
62 1t1e1 12378 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
6361, 62breqtrdi 5188 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ≀ 1)
6456, 63eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)
6557, 64jca 510 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
6665ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6730, 66ralrimi 3252 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
68 nfmpt1 5255 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
691, 68nfcxfr 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐻
7069nfeq2 2918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 β„Ž = 𝐻
71 fveq1 6889 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π»β€˜π‘‘))
7271breq2d 5159 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
7371breq1d 5157 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
7472, 73anbi12d 629 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
7570, 74ralbid 3268 . . . 4 (β„Ž = 𝐻 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
7675elrab 3682 . . 3 (𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} ↔ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
7722, 67, 76sylanbrc 581 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)})
7877, 8eleqtrrdi 2842 1 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  45062  stoweidlem51  45065
  Copyright terms: Public domain W3C validator