Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | stoweidlem16.3 |
. . . 4
β’ π» = (π‘ β π β¦ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) |
2 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π) |
3 | | fveq1 6845 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (β = π β (ββπ‘) = (πβπ‘)) |
4 | 3 | breq2d 5121 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β = π β (0 β€ (ββπ‘) β 0 β€ (πβπ‘))) |
5 | 3 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β = π β ((ββπ‘) β€ 1 β (πβπ‘) β€ 1)) |
6 | 4, 5 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
β’ (β = π β ((0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
7 | 6 | ralbidv 3171 |
. . . . . . . 8
β’ (β = π β (βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
8 | | stoweidlem16.2 |
. . . . . . . 8
β’ π = {β β π΄ β£ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1)} |
9 | 7, 8 | elrab2 3652 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (π β π΄ β§ βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
10 | 9 | simplbi 499 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π β π΄) |
11 | 10 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π β π΄) |
12 | | fveq1 6845 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (β = π β (ββπ‘) = (πβπ‘)) |
13 | 12 | breq2d 5121 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β = π β (0 β€ (ββπ‘) β 0 β€ (πβπ‘))) |
14 | 12 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β = π β ((ββπ‘) β€ 1 β (πβπ‘) β€ 1)) |
15 | 13, 14 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
β’ (β = π β ((0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
16 | 15 | ralbidv 3171 |
. . . . . . . 8
β’ (β = π β (βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
17 | 16, 8 | elrab2 3652 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (π β π΄ β§ βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1))) |
18 | 17 | simplbi 499 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π β π΄) |
19 | 18 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π β π΄) |
20 | | stoweidlem16.5 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π‘ β π β¦ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) β π΄) |
21 | 2, 11, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β (π‘ β π β¦ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) β π΄) |
22 | 1, 21 | eqeltrid 2838 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π» β π΄) |
23 | | stoweidlem16.1 |
. . . . 5
β’
β²π‘π |
24 | | nfra1 3266 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) |
25 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘π΄ |
26 | 24, 25 | nfrabw 3442 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘{β β π΄ β£ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1)} |
27 | 8, 26 | nfcxfr 2902 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π |
28 | 27 | nfcri 2891 |
. . . . 5
β’
β²π‘ π β π |
29 | 27 | nfcri 2891 |
. . . . 5
β’
β²π‘ π β π |
30 | 23, 28, 29 | nf3an 1905 |
. . . 4
β’
β²π‘(π β§ π β π β§ π β π) |
31 | 2, 11 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β (π β§ π β π΄)) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (π β§ π β π΄)) |
33 | | stoweidlem16.4 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π΄) β π:πβΆβ) |
34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β π:πβΆβ) |
35 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β π‘ β π) |
36 | 34, 35 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (πβπ‘) β β) |
37 | 2, 19 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β (π β§ π β π΄)) |
38 | | eleq1w 2817 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (π β π΄ β π β π΄)) |
39 | 38 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((π β§ π β π΄) β (π β§ π β π΄))) |
40 | | feq1 6653 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π:πβΆβ β π:πβΆβ)) |
41 | 39, 40 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (((π β§ π β π΄) β π:πβΆβ) β ((π β§ π β π΄) β π:πβΆβ))) |
42 | 41, 33 | vtoclg 3527 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β ((π β§ π β π΄) β π:πβΆβ)) |
43 | 19, 37, 42 | sylc 65 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π:πβΆβ) |
44 | 43 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (πβπ‘) β β) |
45 | 9 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
46 | 45 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
47 | 46 | r19.21bi 3233 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
48 | 47 | simpld 496 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β 0 β€ (πβπ‘)) |
49 | 17 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
50 | 49 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β βπ‘ β π (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
51 | 50 | r19.21bi 3233 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (0 β€ (πβπ‘) β§ (πβπ‘) β€ 1)) |
52 | 51 | simpld 496 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β 0 β€ (πβπ‘)) |
53 | 36, 44, 48, 52 | mulge0d 11740 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β 0 β€ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) |
54 | 36, 44 | remulcld 11193 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β ((πβπ‘) Β· (πβπ‘)) β β) |
55 | 1 | fvmpt2 6963 |
. . . . . . . 8
β’ ((π‘ β π β§ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘)) β β) β (π»βπ‘) = ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) |
56 | 35, 54, 55 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (π»βπ‘) = ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) |
57 | 53, 56 | breqtrrd 5137 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β 0 β€ (π»βπ‘)) |
58 | | 1red 11164 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β 1 β β) |
59 | 47 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (πβπ‘) β€ 1) |
60 | 51 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (πβπ‘) β€ 1) |
61 | 36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60 | lemul12ad 12105 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β ((πβπ‘) Β· (πβπ‘)) β€ (1 Β· 1)) |
62 | | 1t1e1 12323 |
. . . . . . . 8
β’ (1
Β· 1) = 1 |
63 | 61, 62 | breqtrdi 5150 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β ((πβπ‘) Β· (πβπ‘)) β€ 1) |
64 | 56, 63 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (π»βπ‘) β€ 1) |
65 | 57, 64 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π β§ π β π) β§ π‘ β π) β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)) |
66 | 65 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β (π‘ β π β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
67 | 30, 66 | ralrimi 3239 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)) |
68 | | nfmpt1 5217 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘(π‘ β π β¦ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) |
69 | 1, 68 | nfcxfr 2902 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π» |
70 | 69 | nfeq2 2921 |
. . . . 5
β’
β²π‘ β = π» |
71 | | fveq1 6845 |
. . . . . . 7
β’ (β = π» β (ββπ‘) = (π»βπ‘)) |
72 | 71 | breq2d 5121 |
. . . . . 6
β’ (β = π» β (0 β€ (ββπ‘) β 0 β€ (π»βπ‘))) |
73 | 71 | breq1d 5119 |
. . . . . 6
β’ (β = π» β ((ββπ‘) β€ 1 β (π»βπ‘) β€ 1)) |
74 | 72, 73 | anbi12d 632 |
. . . . 5
β’ (β = π» β ((0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
75 | 70, 74 | ralbid 3255 |
. . . 4
β’ (β = π» β (βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
76 | 75 | elrab 3649 |
. . 3
β’ (π» β {β β π΄ β£ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1)} β (π» β π΄ β§ βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
77 | 22, 67, 76 | sylanbrc 584 |
. 2
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π» β {β β π΄ β£ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1)}) |
78 | 77, 8 | eleqtrrdi 2845 |
1
β’ ((π β§ π β π β§ π β π) β π» β π) |