Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem48 44754
Description: This lemma is used to prove that π‘₯ built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < Ξ΅ on 𝐴. Here 𝑋 is used to represent π‘₯ in the paper, 𝐸 is used to represent Ξ΅ in the paper, and 𝐷 is used to represent 𝐴 in the paper (because 𝐴 is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem48.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem48.3 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
stoweidlem48.4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem48.5 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
stoweidlem48.6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem48.7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem48.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem48.9 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
stoweidlem48.10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
stoweidlem48.11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
stoweidlem48.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
stoweidlem48.13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
stoweidlem48.14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem48.15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem48.16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem48.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝐴   𝑓,𝑖,𝑇,β„Ž,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑇,𝑔   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑀   π‘ˆ,𝑖   𝑖,π‘Š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐷(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐸(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐹(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑑,β„Ž)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2 β„²π‘‘πœ‘
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
32sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
6 nfra1 3281 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
7 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐴
86, 7nfrabw 3468 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
95, 8nfcxfr 2901 . . . . . 6 β„²π‘‘π‘Œ
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
175eleq2i 2825 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)})
18 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘“β€˜π‘‘))
1918breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑓 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘)))
2018breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
2119, 20anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2221ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2322elrab 3683 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2417, 23sylbb 218 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2524simpld 495 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
26 stoweidlem48.15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2725, 26sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
28 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
29 stoweidlem48.16 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
301, 5, 28, 26, 29stoweidlem16 44722 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
314, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 30fmuldfeq 44289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
323, 31syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
33 elnnuz 12865 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3415, 33sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
36 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝑇
374, 36nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)
3816ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
39 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4039breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
4240, 41anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4342ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4443, 5elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4538, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4645simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
47 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
4847, 46jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
49 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
5049anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
51 feq1 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5250, 51imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
5352, 26vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5446, 48, 53sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5554adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
56 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5755, 56ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
58 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5937, 57, 58fmptdf 7116 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„)
60 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
61 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ∈ V
62 mptexg 7222 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ∈ V β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
6412fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6560, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6665feq1d 6702 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„))
6759, 66mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
683, 67syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
6968ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
70 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑗) ∈ ℝ)
7170adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑗) ∈ ℝ)
7235, 69, 71seqcl 13987 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
7313fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
743, 72, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
75 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖𝑇
76 nfmpt1 5256 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
7775, 76nfmpt 5255 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
7812, 77nfcxfr 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝐹
79 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝑑
8078, 79nffv 6901 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
81 nfv 1917 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝐷
824, 81nfan 1902 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)
83 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑗seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
84 eqid 2732 . . . . . 6 seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘)) = seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
8515adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
86 simpll 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
87 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
883adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
8945simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
9089r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
9190simpld 495 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9286, 87, 88, 91syl21anc 836 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9365fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
9486, 88, 93syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
9586, 88, 87, 57syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9658fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9787, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9894, 97eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9992, 98breqtrrd 5176 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–))
10090simprd 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)
10186, 87, 88, 100syl21anc 836 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)
10298, 101eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ≀ 1)
103 stoweidlem48.17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
104103adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
105 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
106105sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran π‘Š)
107 eluni 4911 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ βˆͺ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š))
108106, 107sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š))
109 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
110 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰ β†’ π‘Š Fn (1...𝑀))
111 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š Fn (1...𝑀) β†’ (𝑀 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀))
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀))
113112biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
114113adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
115 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ 𝑑 ∈ 𝑀)
116 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
117115, 116eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
118117ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
119118reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
120119adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
121114, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
122121ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
123122exlimdv 1936 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
124123adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
125108, 124mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
126 simplll 773 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
127 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
128 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
129 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
130 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)
1314, 129, 130nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
132 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸
133131, 132nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
134 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑀)))
135 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘—))
136135eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–) ↔ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
137134, 1363anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))))
138 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = (π‘ˆβ€˜π‘—))
139138fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
140139breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
141137, 140imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)))
142 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
143142r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
1441433impa 1110 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
145133, 141, 144chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
146126, 127, 128, 145syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
147146ex 413 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
148147reximdva 3168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
149125, 148mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
15082, 129nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
151 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝑗
15280, 151nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—)
153152nfeq1 2918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)
154150, 153nfim 1899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
155134anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))))
156 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—))
157156, 139eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)))
158155, 157imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))))
159154, 158, 98chvarfv 2233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
160159breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
161160biimprd 247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸))
162161reximdva 3168 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸))
163149, 162mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸)
16480, 82, 83, 84, 85, 68, 99, 102, 104, 163fmul01lt1 44292 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) < 𝐸)
16574, 164eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘‘) < 𝐸)
16632, 165eqbrtrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
167166ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
1681, 167ralrimi 3254 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  ...cfz 13483  seqcseq 13965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  44757
  Copyright terms: Public domain W3C validator