Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem48 44379
Description: This lemma is used to prove that π‘₯ built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < Ξ΅ on 𝐴. Here 𝑋 is used to represent π‘₯ in the paper, 𝐸 is used to represent Ξ΅ in the paper, and 𝐷 is used to represent 𝐴 in the paper (because 𝐴 is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem48.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem48.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem48.3 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
stoweidlem48.4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem48.5 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
stoweidlem48.6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem48.7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem48.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem48.9 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
stoweidlem48.10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
stoweidlem48.11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
stoweidlem48.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
stoweidlem48.13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
stoweidlem48.14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem48.15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem48.16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem48.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem48 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝐴   𝑓,𝑖,𝑇,β„Ž,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑇,𝑔   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑀   π‘ˆ,𝑖   𝑖,π‘Š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐷(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐸(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐹(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑑,β„Ž)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem48
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem48.2 . 2 β„²π‘‘πœ‘
2 stoweidlem48.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
32sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
4 stoweidlem48.1 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
5 stoweidlem48.3 . . . . . . 7 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
6 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
7 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐴
86, 7nfrabw 3442 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
95, 8nfcxfr 2902 . . . . . 6 β„²π‘‘π‘Œ
10 stoweidlem48.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
11 stoweidlem48.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
12 stoweidlem48.6 . . . . . 6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
13 stoweidlem48.7 . . . . . 6 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
14 stoweidlem48.14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
15 stoweidlem48.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
16 stoweidlem48.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
175eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)})
18 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘“β€˜π‘‘))
1918breq2d 5121 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑓 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘)))
2018breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1))
2119, 20anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2221ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2322elrab 3649 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2417, 23sylbb 218 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘“β€˜π‘‘) ∧ (π‘“β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2524simpld 496 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
26 stoweidlem48.15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2725, 26sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
29 stoweidlem48.16 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
301, 5, 28, 26, 29stoweidlem16 44347 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
314, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 30fmuldfeq 43914 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
323, 31syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
33 elnnuz 12815 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3415, 33sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
36 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝑇
374, 36nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)
3816ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
39 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4039breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
4240, 41anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4342ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4443, 5elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4538, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4645simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
47 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
4847, 46jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
49 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
5049anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
51 feq1 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5250, 51imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
5352, 26vtoclg 3527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5446, 48, 53sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
56 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5755, 56ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5937, 57, 58fmptdf 7069 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„)
60 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
61 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ∈ V
62 mptexg 7175 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ∈ V β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
6412fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6560, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6665feq1d 6657 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„))
6759, 66mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
683, 67syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
6968ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
70 remulcl 11144 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑗) ∈ ℝ)
7170adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑗) ∈ ℝ)
7235, 69, 71seqcl 13937 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
7313fvmpt2 6963 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
743, 72, 73syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
75 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖𝑇
76 nfmpt1 5217 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
7775, 76nfmpt 5216 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
7812, 77nfcxfr 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝐹
79 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝑑
8078, 79nffv 6856 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
81 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝐷
824, 81nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)
83 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑗seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
84 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘)) = seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
8515adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
86 simpll 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
87 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
883adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
8945simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
9089r19.21bi 3233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
9190simpld 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9286, 87, 88, 91syl21anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9365fveq1d 6848 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
9486, 88, 93syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
9586, 88, 87, 57syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9658fvmpt2 6963 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9787, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9894, 97eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9992, 98breqtrrd 5137 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–))
10090simprd 497 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)
10186, 87, 88, 100syl21anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)
10298, 101eqbrtrd 5131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ≀ 1)
103 stoweidlem48.17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
104103adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
105 stoweidlem48.11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
106105sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran π‘Š)
107 eluni 4872 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ βˆͺ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š))
108106, 107sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š))
109 stoweidlem48.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
110 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰ β†’ π‘Š Fn (1...𝑀))
111 fvelrnb 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š Fn (1...𝑀) β†’ (𝑀 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀))
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀))
113112biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
114113adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
115 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ 𝑑 ∈ 𝑀)
116 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀)
117115, 116eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) ∧ (π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀) β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
118117ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
119118reximdv 3164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
120119adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)(π‘Šβ€˜π‘—) = 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
121114, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
122121ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
123122exlimdv 1937 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
124123adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ran π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
125108, 124mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
126 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
127 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
129 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
130 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)
1314, 129, 130nf3an 1905 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))
132 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸
133131, 132nfim 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
134 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑀)))
135 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘—))
136135eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–) ↔ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)))
137134, 1363anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—))))
138 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = (π‘ˆβ€˜π‘—))
139138fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
140139breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
141137, 140imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)))
142 stoweidlem48.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
143142r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
1441433impa 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
145133, 141, 144chvarfv 2234 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
146126, 127, 128, 145syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
147146ex 414 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
148147reximdva 3162 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
149125, 148mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸)
15082, 129nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
151 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝑗
15280, 151nffv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—)
153152nfeq1 2919 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)
154150, 153nfim 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
155134anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))))
156 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—))
157156, 139eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)))
158155, 157imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))))
159154, 158, 98chvarfv 2234 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
160159breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸))
161160biimprd 248 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸))
162161reximdva 3162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) < 𝐸 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸))
163149, 162mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑀)((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘—) < 𝐸)
16480, 82, 83, 84, 85, 68, 99, 102, 104, 163fmul01lt1 43917 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) < 𝐸)
16574, 164eqbrtrd 5131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘‘) < 𝐸)
16632, 165eqbrtrd 5131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
167166ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
1681, 167ralrimi 3239 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  ...cfz 13433  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  44382
  Copyright terms: Public domain W3C validator