Theorem chordthmlem3 26771

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ ² = QM ² + PM ² . This follows from chordthmlem2 26770 and the Pythagorean theorem (pythag 26754) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem3.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem3	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem3.Q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem3.M	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3		chordthmlem3.A	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		chordthmlem3.B	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8	1, 7	subcld 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
13	12	addridd 11313	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
14		chordthmlem3.P	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		chordthmlem3.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16, 3	mulcld 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	18, 16	subcld 11472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	17, 20	addcld 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	14, 21	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
25	23, 24	subeq0bd 11543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑀) = 0)
26	25	abs00bd 15198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = 0)
27	26	sq0id 14101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = 0)
28	27	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0))
29	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29, 23	abssubd 15363	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄)))
31	24	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑃) = (𝑄 − 𝑀))
32	31	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
33	30, 32	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
34	33	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
35	13, 28, 34	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
36	22, 7	subcld 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 14051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
42	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
44	42, 43	subeq0bd 11543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑀) = 0)
45	44	abs00bd 15198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = 0)
46	45	sq0id 14101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) = 0)
47	46	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
48	43	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑄) = (𝑃 − 𝑀))
49	48	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀)))
50	49	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
51	41, 47, 50	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
52	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ≠ 𝑀)
56		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ≠ 𝑀)
57		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
58	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
61	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
62	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63		chordthmlem3.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
65	57, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56	chordthmlem2 26770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀))
67		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀))
68		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄))
69		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀))
70	57, 66, 67, 68, 69	pythag 26754	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀) ∧ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
71	52, 53, 54, 55, 56, 65, 70	syl321anc 1394	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
72	35, 51, 71	pm2.61da2ne 3016	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4573  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  2c2 12180  ↑cexp 13968  ℑcim 15005  abscabs 15141  πcpi 15973  logclog 26490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26773