Theorem chordthmlem3 25412

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ ² = QM ² + PM ² . This follows from chordthmlem2 25411 and the Pythagorean theorem (pythag 25395) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem3.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem3	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem3.Q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem3.M	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3		chordthmlem3.A	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		chordthmlem3.B	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 10660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 11883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrd 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8	1, 7	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	abscld 14796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
13	12	addid1d 10840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
14		chordthmlem3.P	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		chordthmlem3.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16, 3	mulcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	18, 16	subcld 10997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	17, 20	addcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	14, 21	eqeltrd 2913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
25	23, 24	subeq0bd 11066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑀) = 0)
26	25	abs00bd 14651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = 0)
27	26	sq0id 13558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = 0)
28	27	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0))
29	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29, 23	abssubd 14813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄)))
31	24	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑃) = (𝑄 − 𝑀))
32	31	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
33	30, 32	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
34	33	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
35	13, 28, 34	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
36	22, 7	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) ∈ ℂ)
37	36	abscld 14796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
40	39	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
41	40	addid2d 10841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
42	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
44	42, 43	subeq0bd 11066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑀) = 0)
45	44	abs00bd 14651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = 0)
46	45	sq0id 13558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) = 0)
47	46	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
48	43	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑄) = (𝑃 − 𝑀))
49	48	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀)))
50	49	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
51	41, 47, 50	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
52	22	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55		simprl 769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ≠ 𝑀)
56		simprr 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ≠ 𝑀)
57		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
58	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
61	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
62	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63		chordthmlem3.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
64	63	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
65	57, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56	chordthmlem2 25411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀))
67		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀))
68		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄))
69		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀))
70	57, 66, 67, 68, 69	pythag 25395	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀) ∧ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
71	52, 53, 54, 55, 56, 65, 70	syl321anc 1388	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
72	35, 51, 71	pm2.61da2ne 3105	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  2c2 11693  ↑cexp 13430  ℑcim 14457  abscabs 14593  πcpi 15420  logclog 25138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  25414