MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem3 26740
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ 2 = QM 2 + PM 2 . This follows from chordthmlem2 26739 and the Pythagorean theorem (pythag 26723) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem3.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem3.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem3.Q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
chordthmlem3.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
chordthmlem3.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem3.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
chordthmlem3.ABequidistQ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))

Proof of Theorem chordthmlem3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmlem3.Q . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
2 chordthmlem3.M . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
3 chordthmlem3.A . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 chordthmlem3.B . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53, 4addcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
65halfcld 12473 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
72, 6eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
81, 7subcld 11587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
98abscld 15401 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
109recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14126 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1211adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1312addridd 11430 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + 0) = ((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2))
14 chordthmlem3.P . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
15 chordthmlem3.X . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1615recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1716, 3mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1918, 16subcld 11587 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
2019, 4mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2117, 20addcld 11249 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2214, 21eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ = ๐‘€)
2523, 24subeq0bd 11656 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = 0)
2625abs00bd 15256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
2726sq0id 14175 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = 0)
2827oveq2d 7430 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + 0))
291adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3029, 23abssubd 15418 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘ƒ)) = (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„)))
3124oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘„ โˆ’ ๐‘€))
3231fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘ƒ)) = (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)))
3330, 32eqtr3d 2769 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)))
3433oveq1d 7429 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2))
3513, 28, 343eqtr4rd 2778 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
3622, 7subcld 11587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
3736abscld 15401 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
3837recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
3938sqcld 14126 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4039adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4140addlidd 11431 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (0 + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2))
421adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ๐‘„ = ๐‘€)
4442, 43subeq0bd 11656 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) = 0)
4544abs00bd 15256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
4645sq0id 14175 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = 0)
4746oveq1d 7429 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = (0 + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
4843oveq2d 7430 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
4948fveq2d 6895 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)))
5049oveq1d 7429 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2))
5141, 47, 503eqtr4rd 2778 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ = ๐‘€) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
5222adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
531adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
547adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
55 simprl 770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
56 simprr 772 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
57 eqid 2727 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
583adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
594adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6015adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
612adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
6214adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
63 chordthmlem3.ABequidistQ . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
6463adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
6557, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56chordthmlem2 26739 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)(๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
66 eqid 2727 . . . 4 (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))
67 eqid 2727 . . . 4 (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
68 eqid 2727 . . . 4 (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))
69 eqid 2727 . . . 4 ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)(๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)(๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
7057, 66, 67, 68, 69pythag 26723 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€) โˆง ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)(๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
7152, 53, 54, 55, 56, 65, 70syl321anc 1390 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โ‰  ๐‘€ โˆง ๐‘„ โ‰  ๐‘€)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
7235, 51, 71pm2.61da2ne 3025 1 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘„))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  โ†‘cexp 14044  โ„‘cim 15063  abscabs 15199  ฯ€cpi 16028  logclog 26462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26742
  Copyright terms: Public domain W3C validator