MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem3 26892
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ 2 = QM 2 + PM 2 . This follows from chordthmlem2 26891 and the Pythagorean theorem (pythag 26875) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem3.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmlem3.Q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2 chordthmlem3.M . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3 chordthmlem3.A . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 chordthmlem3.B . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4addcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
65halfcld 12509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
72, 6eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
81, 7subcld 11618 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
98abscld 15472 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℂ)
1110sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1312addridd 11459 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
14 chordthmlem3.P . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15 chordthmlem3.X . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1716, 3mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1918, 16subcld 11618 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
2019, 4mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2117, 20addcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2214, 21eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
2523, 24subeq0bd 11687 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑃𝑀) = 0)
2625abs00bd 15327 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑀)) = 0)
2726sq0id 14230 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = 0)
2827oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0))
291adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
3029, 23abssubd 15489 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑄)))
3124oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑄𝑃) = (𝑄𝑀))
3231fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3330, 32eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3433oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
3513, 28, 343eqtr4rd 2786 . 2 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
3622, 7subcld 11618 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
3736abscld 15472 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
3837recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℂ)
3938sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4039adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4140addlidd 11460 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
421adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
4442, 43subeq0bd 11687 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑄𝑀) = 0)
4544abs00bd 15327 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑀)) = 0)
4645sq0id 14230 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) = 0)
4746oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
4843oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑃𝑄) = (𝑃𝑀))
4948fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑀)))
5049oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
5141, 47, 503eqtr4rd 2786 . 2 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
5222adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
531adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
547adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃𝑀)
56 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄𝑀)
57 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
583adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
594adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6015adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
612adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6214adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63 chordthmlem3.ABequidistQ . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6463adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6557, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56chordthmlem2 26891 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66 eqid 2735 . . . 4 (abs‘(𝑄𝑀)) = (abs‘(𝑄𝑀))
67 eqid 2735 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(𝑃𝑀))
68 eqid 2735 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑄))
69 eqid 2735 . . . 4 ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) = ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀))
7057, 66, 67, 68, 69pythag 26875 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀) ∧ ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7152, 53, 54, 55, 56, 65, 70syl321anc 1391 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7235, 51, 71pm2.61da2ne 3028 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099  cim 15134  abscabs 15270  πcpi 16099  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26894
  Copyright terms: Public domain W3C validator