Theorem chordthmlem3 25984

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ ² = QM ² + PM ² . This follows from chordthmlem2 25983 and the Pythagorean theorem (pythag 25967) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem3.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem3	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem3.Q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem3.M	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3		chordthmlem3.A	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		chordthmlem3.B	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 10994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8	1, 7	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 13862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
13	12	addid1d 11175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
14		chordthmlem3.P	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		chordthmlem3.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16, 3	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	18, 16	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	17, 20	addcld 10994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	14, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
25	23, 24	subeq0bd 11401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑀) = 0)
26	25	abs00bd 15003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = 0)
27	26	sq0id 13911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = 0)
28	27	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0))
29	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29, 23	abssubd 15165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄)))
31	24	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑃) = (𝑄 − 𝑀))
32	31	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
33	30, 32	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
34	33	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
35	13, 28, 34	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
36	22, 7	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 13862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
40	39	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
41	40	addid2d 11176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
42	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
44	42, 43	subeq0bd 11401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑀) = 0)
45	44	abs00bd 15003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = 0)
46	45	sq0id 13911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) = 0)
47	46	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
48	43	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑄) = (𝑃 − 𝑀))
49	48	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀)))
50	49	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
51	41, 47, 50	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
52	22	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ≠ 𝑀)
56		simprr 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ≠ 𝑀)
57		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
58	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
61	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
62	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63		chordthmlem3.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
64	63	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
65	57, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56	chordthmlem2 25983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀))
67		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀))
68		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄))
69		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀))
70	57, 66, 67, 68, 69	pythag 25967	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀) ∧ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
71	52, 53, 54, 55, 56, 65, 70	syl321anc 1391	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
72	35, 51, 71	pm2.61da2ne 3033	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  ↑cexp 13782  ℑcim 14809  abscabs 14945  πcpi 15776  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  25986