Theorem chordthmlem3 26801

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ ² = QM ² + PM ² . This follows from chordthmlem2 26800 and the Pythagorean theorem (pythag 26784) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem3.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem3	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem3.Q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem3.M	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3		chordthmlem3.A	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		chordthmlem3.B	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8	1, 7	subcld 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
13	12	addridd 11440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
14		chordthmlem3.P	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		chordthmlem3.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16, 3	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	18, 16	subcld 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	17, 20	addcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	14, 21	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
25	23, 24	subeq0bd 11668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑀) = 0)
26	25	abs00bd 15315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = 0)
27	26	sq0id 14217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = 0)
28	27	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0))
29	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29, 23	abssubd 15477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄)))
31	24	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑃) = (𝑄 − 𝑀))
32	31	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
33	30, 32	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
34	33	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
35	13, 28, 34	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
36	22, 7	subcld 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
42	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
44	42, 43	subeq0bd 11668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑀) = 0)
45	44	abs00bd 15315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = 0)
46	45	sq0id 14217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) = 0)
47	46	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
48	43	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑄) = (𝑃 − 𝑀))
49	48	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀)))
50	49	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
51	41, 47, 50	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
52	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ≠ 𝑀)
56		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ≠ 𝑀)
57		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
58	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
61	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
62	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63		chordthmlem3.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
65	57, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56	chordthmlem2 26800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀))
67		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀))
68		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄))
69		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀))
70	57, 66, 67, 68, 69	pythag 26784	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀) ∧ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
71	52, 53, 54, 55, 56, 65, 70	syl321anc 1394	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
72	35, 51, 71	pm2.61da2ne 3021	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  2c2 12300  ↑cexp 14084  ℑcim 15122  abscabs 15258  πcpi 16087  logclog 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26803