MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem3 26306
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ 2 = QM 2 + PM 2 . This follows from chordthmlem2 26305 and the Pythagorean theorem (pythag 26289) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem3.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmlem3.Q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2 chordthmlem3.M . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3 chordthmlem3.A . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 chordthmlem3.B . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4addcld 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
65halfcld 12444 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
72, 6eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
81, 7subcld 11558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
98abscld 15370 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℝ)
109recnd 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℂ)
1110sqcld 14096 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1211adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1312addridd 11401 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
14 chordthmlem3.P . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15 chordthmlem3.X . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615recnd 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1716, 3mulcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18 1cnd 11196 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1918, 16subcld 11558 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
2019, 4mulcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2117, 20addcld 11220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2214, 21eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
2523, 24subeq0bd 11627 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑃𝑀) = 0)
2625abs00bd 15225 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑀)) = 0)
2726sq0id 14145 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = 0)
2827oveq2d 7412 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0))
291adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
3029, 23abssubd 15387 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑄)))
3124oveq2d 7412 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑄𝑃) = (𝑄𝑀))
3231fveq2d 6885 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3330, 32eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3433oveq1d 7411 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
3513, 28, 343eqtr4rd 2784 . 2 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
3622, 7subcld 11558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
3736abscld 15370 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
3837recnd 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℂ)
3938sqcld 14096 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4039adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4140addlidd 11402 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
421adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
4442, 43subeq0bd 11627 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑄𝑀) = 0)
4544abs00bd 15225 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑀)) = 0)
4645sq0id 14145 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) = 0)
4746oveq1d 7411 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
4843oveq2d 7412 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑃𝑄) = (𝑃𝑀))
4948fveq2d 6885 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑀)))
5049oveq1d 7411 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
5141, 47, 503eqtr4rd 2784 . 2 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
5222adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
531adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
547adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃𝑀)
56 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄𝑀)
57 eqid 2733 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
583adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
594adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6015adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
612adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6214adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63 chordthmlem3.ABequidistQ . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6463adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6557, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56chordthmlem2 26305 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66 eqid 2733 . . . 4 (abs‘(𝑄𝑀)) = (abs‘(𝑄𝑀))
67 eqid 2733 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(𝑃𝑀))
68 eqid 2733 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑄))
69 eqid 2733 . . . 4 ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) = ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀))
7057, 66, 67, 68, 69pythag 26289 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀) ∧ ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7152, 53, 54, 55, 56, 65, 70syl321anc 1393 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7235, 51, 71pm2.61da2ne 3031 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3943  {csn 4624  {cpr 4626  cfv 6535  (class class class)co 7396  cmpo 7398  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  2c2 12254  cexp 14014  cim 15032  abscabs 15168  πcpi 15997  logclog 26032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001  df-pi 16003  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-log 26034
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26308
  Copyright terms: Public domain W3C validator