Theorem chordthmlem3 27171

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ ² = QM ² + PM ² . This follows from chordthmlem2 27170 and the Pythagorean theorem (pythag 27154) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem3.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem3	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem3.Q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem3.M	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3		chordthmlem3.A	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		chordthmlem3.B	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8	1, 7	subcld 11676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
13	12	addridd 11517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
14		chordthmlem3.P	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		chordthmlem3.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16, 3	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	18, 16	subcld 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	17, 20	addcld 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	14, 21	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
25	23, 24	subeq0bd 11749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑀) = 0)
26	25	abs00bd 15467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = 0)
27	26	sq0id 14344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = 0)
28	27	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + 0))
29	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29, 23	abssubd 15632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄)))
31	24	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑃) = (𝑄 − 𝑀))
32	31	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑃)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
33	30, 32	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
34	33	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2))
35	13, 28, 34	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
36	22, 7	subcld 11676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 14294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
40	39	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11518	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
42	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
44	42, 43	subeq0bd 11749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑄 − 𝑀) = 0)
45	44	abs00bd 15467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = 0)
46	45	sq0id 14344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) = 0)
47	46	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
48	43	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (𝑃 − 𝑄) = (𝑃 − 𝑀))
49	48	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀)))
50	49	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2))
51	41, 47, 50	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
52	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 ≠ 𝑀)
56		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑄 ≠ 𝑀)
57		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
58	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
61	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
62	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63		chordthmlem3.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
64	63	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
65	57, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56	chordthmlem2 27170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀))
67		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(𝑃 − 𝑀))
68		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑃 − 𝑄)) = (abs‘(𝑃 − 𝑄))
69		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀))
70	57, 66, 67, 68, 69	pythag 27154	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀) ∧ ((𝑄 − 𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
71	52, 53, 54, 55, 56, 65, 70	syl321anc 1419	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ≠ 𝑀 ∧ 𝑄 ≠ 𝑀)) → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))
72	35, 51, 71	pm2.61da2ne 3043	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − 𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  ↑cexp 14211  ℑcim 15274  abscabs 15410  πcpi 16241  logclog 26891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893

This theorem is used by:  chordthmlem5  27173