MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem3 25717
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then PQ 2 = QM 2 + PM 2 . This follows from chordthmlem2 25716 and the Pythagorean theorem (pythag 25700) in the case where P and Q are unequal to M. If either P or Q equals M, the result is trivial. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem3.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem3.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem3.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem3.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem3.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem3.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem3.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmlem3.Q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2 chordthmlem3.M . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3 chordthmlem3.A . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 chordthmlem3.B . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4addcld 10852 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
65halfcld 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
72, 6eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
81, 7subcld 11189 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
98abscld 15000 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℝ)
109recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) ∈ ℂ)
1110sqcld 13714 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) ∈ ℂ)
1312addid1d 11032 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
14 chordthmlem3.P . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15 chordthmlem3.X . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615recnd 10861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1716, 3mulcld 10853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
18 1cnd 10828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1918, 16subcld 11189 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
2019, 4mulcld 10853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2117, 20addcld 10852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2214, 21eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2322adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
24 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑃 = 𝑀)
2523, 24subeq0bd 11258 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑃𝑀) = 0)
2625abs00bd 14855 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑀)) = 0)
2726sq0id 13763 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = 0)
2827oveq2d 7229 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + 0))
291adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
3029, 23abssubd 15017 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑄)))
3124oveq2d 7229 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (𝑄𝑃) = (𝑄𝑀))
3231fveq2d 6721 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑃)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3330, 32eqtr3d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
3433oveq1d 7228 . . 3 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑄𝑀))↑2))
3513, 28, 343eqtr4rd 2788 . 2 ((𝜑𝑃 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
3622, 7subcld 11189 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
3736abscld 15000 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
3837recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) ∈ ℂ)
3938sqcld 13714 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4039adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) ∈ ℂ)
4140addid2d 11033 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
421adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 ∈ ℂ)
43 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → 𝑄 = 𝑀)
4442, 43subeq0bd 11258 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑄𝑀) = 0)
4544abs00bd 14855 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑄𝑀)) = 0)
4645sq0id 13763 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑄𝑀))↑2) = 0)
4746oveq1d 7228 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (0 + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
4843oveq2d 7229 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (𝑃𝑄) = (𝑃𝑀))
4948fveq2d 6721 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑀)))
5049oveq1d 7228 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = ((abs‘(𝑃𝑀))↑2))
5141, 47, 503eqtr4rd 2788 . 2 ((𝜑𝑄 = 𝑀) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
5222adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
531adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
547adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
55 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃𝑀)
56 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑄𝑀)
57 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
583adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
594adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6015adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
612adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6214adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
63 chordthmlem3.ABequidistQ . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6463adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6557, 58, 59, 53, 60, 61, 62, 64, 55, 56chordthmlem2 25716 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
66 eqid 2737 . . . 4 (abs‘(𝑄𝑀)) = (abs‘(𝑄𝑀))
67 eqid 2737 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(𝑃𝑀))
68 eqid 2737 . . . 4 (abs‘(𝑃𝑄)) = (abs‘(𝑃𝑄))
69 eqid 2737 . . . 4 ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) = ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀))
7057, 66, 67, 68, 69pythag 25700 . . 3 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀) ∧ ((𝑄𝑀)(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7152, 53, 54, 55, 56, 65, 70syl321anc 1394 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑀𝑄𝑀)) → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
7235, 51, 71pm2.61da2ne 3030 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄𝑀))↑2) + ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  cdif 3863  {csn 4541  {cpr 4543  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  cexp 13635  cim 14661  abscabs 14797  πcpi 15628  logclog 25443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  25719
  Copyright terms: Public domain W3C validator