Theorem dvmptidg 43429

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptidg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptidg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvmptidg	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptidg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ax-resscn 10929	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		sseq1 3951	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
4	2, 3	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		eqimss 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	4, 5	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
7		elpri 4589	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
9		pm3.44 957	. . . 4 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
10	6, 8, 9	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3926	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
12		1red 10977	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℝ)
13	1	dvmptid 25119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 23944	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
17		resttopon 22310	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
18	16, 10, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
19		dvmptidg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
20		toponss 22074	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22		eqid 2740	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
23	1, 11, 12, 13, 21, 22, 14, 19	dvmptres 25125	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  {cpr 4569   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  1c1 10873   ↾_t crest 17129  TopOpenctopn 17130  ℂ_fldccnfld 20595  TopOnctopon 22057   D cdv 25025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-icc 13085  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-rest 17131  df-topn 17132  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029

This theorem is referenced by:  dvxpaek  43452  fourierdlem28  43647  fourierdlem58  43676  fourierdlem59  43677