Theorem dvmptidg 46363

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptidg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptidg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvmptidg	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptidg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ax-resscn 11086	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
4	2, 3	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		eqimss 3981	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
7		elpri 4592	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
9		pm3.44 962	. . . 4 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
10	6, 8, 9	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3922	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
12		1red 11136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℝ)
13	1	dvmptid 25934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 24757	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
17		resttopon 23136	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
18	16, 10, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
19		dvmptidg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
20		toponss 22902	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
21	18, 19, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22		eqid 2737	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
23	1, 11, 12, 13, 21, 22, 14, 19	dvmptres 25940	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21344  TopOnctopon 22885   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46386  fourierdlem28  46581  fourierdlem58  46610  fourierdlem59  46611