Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnopnlem 44640
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnopnlem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopnlem.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
qndenserrnopnlem.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
qndenserrnopnlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
qndenserrnopnlem.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
qndenserrnopnlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopnlem
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnopnlem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrnopnlem.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
32rrxmetfi 24814 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
5 metxmet 23725 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
7 qndenserrnopnlem.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
8 qndenserrnopnlem.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
97, 8eleqtrdi 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
101rrxtopnfi 44630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
112a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
13 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 24813 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
151, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
1611, 15eqtr2d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = 𝐷)
1716fveq2d 6852 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))) = (MetOpenβ€˜π·))
1810, 17eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜π·))
199, 18eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (MetOpenβ€˜π·))
20 qndenserrnopnlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 eqid 2732 . . . 4 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2221mopni2 23887 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉)
236, 19, 20, 22syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉)
2413ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
25 rrxtps 44629 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜πΌ) ∈ TopSp)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ^β€˜πΌ) ∈ TopSp)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
2827, 8istps 22321 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ^β€˜πΌ) ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))))
2926, 28sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))))
301, 12, 27rrxbasefi 24812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
3130fveq2d 6852 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) = (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
3229, 31eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
33 toponss 22314 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) β†’ 𝑉 βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
3432, 7, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
3534, 20sseldd 3949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
36353ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
37 simp2 1138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
3824, 36, 2, 37qndenserrnbl 44638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒))
39 ssel 3941 . . . . . . . 8 ((𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉))
4039adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉))
41403ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉))
4241reximdva 3162 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
4338, 42mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
44433exp 1120 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)))
4544rexlimdv 3147 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜π·)𝑒) βŠ† 𝑉 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉))
4623, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365   ↑m cmap 8773  Fincfn 8891  β„cr 11060   βˆ’ cmin 11395  2c2 12218  β„šcq 12883  β„+crp 12925  β†‘cexp 13978  βˆšcsqrt 15131  Ξ£csu 15583  Basecbs 17095  distcds 17157  TopOpenctopn 17318  βˆžMetcxmet 20819  Metcmet 20820  ballcbl 20821  MetOpencmopn 20824  TopOnctopon 22297  TopSpctps 22319  β„^crrx 24785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139  ax-addf 11140  ax-mulf 11141
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8099  df-tpos 8163  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-map 8775  df-ixp 8844  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fsupp 9314  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-seq 13918  df-exp 13979  df-hash 14242  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-clim 15383  df-sum 15584  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17319  df-topn 17320  df-0g 17338  df-gsum 17339  df-topgen 17340  df-prds 17344  df-pws 17346  df-mgm 18512  df-sgrp 18561  df-mnd 18572  df-mhm 18616  df-submnd 18617  df-grp 18766  df-minusg 18767  df-sbg 18768  df-subg 18940  df-ghm 19021  df-cntz 19112  df-cmn 19579  df-abl 19580  df-mgp 19912  df-ur 19929  df-ring 19981  df-cring 19982  df-oppr 20064  df-dvdsr 20085  df-unit 20086  df-invr 20116  df-dvr 20127  df-rnghom 20163  df-drng 20228  df-field 20229  df-subrg 20269  df-abv 20333  df-staf 20361  df-srng 20362  df-lmod 20381  df-lss 20451  df-lmhm 20541  df-lvec 20622  df-sra 20693  df-rgmod 20694  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-cnfld 20835  df-refld 21047  df-phl 21068  df-dsmm 21176  df-frlm 21191  df-top 22281  df-topon 22298  df-topsp 22320  df-bases 22334  df-xms 23711  df-ms 23712  df-nm 23976  df-ngp 23977  df-tng 23978  df-nrg 23979  df-nlm 23980  df-clm 24464  df-cph 24570  df-tcph 24571  df-rrx 24787
This theorem is referenced by:  qndenserrnopn  44641
  Copyright terms: Public domain W3C validator