Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnopnlem 45472
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnopnlem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopnlem.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopnlem.v (𝜑𝑉𝐽)
qndenserrnopnlem.x (𝜑𝑋𝑉)
qndenserrnopnlem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrnopnlem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopnlem
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnopnlem.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrnopnlem.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxmetfi 25260 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
5 metxmet 24160 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
7 qndenserrnopnlem.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝐽)
8 qndenserrnopnlem.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
97, 8eleqtrdi 2842 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
101rrxtopnfi 45462 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
112a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
12 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 25259 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1611, 15eqtr2d 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
1716fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
1810, 17eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘𝐷))
199, 18eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷))
20 qndenserrnopnlem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
21 eqid 2731 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2221mopni2 24322 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
236, 19, 20, 22syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
2413ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
25 rrxtps 45461 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
27 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
2827, 8istps 22756 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
2926, 28sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
301, 12, 27rrxbasefi 25258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
3130fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
3229, 31eleqtrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
33 toponss 22749 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉𝐽) → 𝑉 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
3432, 7, 33syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
3534, 20sseldd 3983 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
36353ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
37 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3824, 36, 2, 37qndenserrnbl 45470 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒))
39 ssel 3975 . . . . . . . 8 ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
41403ad2antl3 1186 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4241reximdva 3167 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉))
4338, 42mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
44433exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)))
4544rexlimdv 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉))
4623, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  m cmap 8826  Fincfn 8945  cr 11115  cmin 11451  2c2 12274  cq 12939  +crp 12981  cexp 14034  csqrt 15187  Σcsu 15639  Basecbs 17151  distcds 17213  TopOpenctopn 17374  ∞Metcxmet 21218  Metcmet 21219  ballcbl 21220  MetOpencmopn 21223  TopOnctopon 22732  TopSpctps 22754  ℝ^crrx 25231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-abv 20656  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-refld 21468  df-phl 21489  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-xms 24146  df-ms 24147  df-nm 24411  df-ngp 24412  df-tng 24413  df-nrg 24414  df-nlm 24415  df-clm 24910  df-cph 25016  df-tcph 25017  df-rrx 25233
This theorem is referenced by:  qndenserrnopn  45473
  Copyright terms: Public domain W3C validator