Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnopnlem 42781
 Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnopnlem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopnlem.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopnlem.v (𝜑𝑉𝐽)
qndenserrnopnlem.x (𝜑𝑋𝑉)
qndenserrnopnlem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrnopnlem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopnlem
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnopnlem.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrnopnlem.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxmetfi 24005 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
5 metxmet 22930 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
7 qndenserrnopnlem.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝐽)
8 qndenserrnopnlem.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
97, 8eleqtrdi 2926 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
101rrxtopnfi 42771 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
112a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
12 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 24004 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1611, 15eqtr2d 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
1716fveq2d 6655 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
1810, 17eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘𝐷))
199, 18eleqtrd 2918 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷))
20 qndenserrnopnlem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
21 eqid 2824 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2221mopni2 23089 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
236, 19, 20, 22syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
2413ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
25 rrxtps 42770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
2827, 8istps 21528 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
2926, 28sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
301, 12, 27rrxbasefi 24003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
3130fveq2d 6655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
3229, 31eleqtrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
33 toponss 21521 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑉𝐽) → 𝑉 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
3432, 7, 33syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
3534, 20sseldd 3952 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
36353ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
37 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3824, 36, 2, 37qndenserrnbl 42779 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒))
39 ssel 3945 . . . . . . . 8 ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4039adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
41403ad2antl3 1184 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4241reximdva 3266 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉))
4338, 42mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
44433exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)))
4544rexlimdv 3275 . 2 (𝜑 → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉))
4623, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3133   ⊆ wss 3918  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∈ cmpo 7140   ↑m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10521   − cmin 10855  2c2 11678  ℚcq 12334  ℝ+crp 12375  ↑cexp 13423  √csqrt 14581  Σcsu 15031  Basecbs 16472  distcds 16563  TopOpenctopn 16684  ∞Metcxmet 20516  Metcmet 20517  ballcbl 20518  MetOpencmopn 20521  TopOnctopon 21504  TopSpctps 21526  ℝ^crrx 23976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-prds 16710  df-pws 16712  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-rnghom 19456  df-drng 19490  df-field 19491  df-subrg 19519  df-abv 19574  df-staf 19602  df-srng 19603  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lmhm 19780  df-lvec 19861  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-cnfld 20532  df-refld 20735  df-phl 20756  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-xms 22916  df-ms 22917  df-nm 23178  df-ngp 23179  df-tng 23180  df-nrg 23181  df-nlm 23182  df-clm 23657  df-cph 23762  df-tcph 23763  df-rrx 23978 This theorem is referenced by:  qndenserrnopn  42782
 Copyright terms: Public domain W3C validator