Theorem dvmptconst 46609

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvmptconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptconst	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptconst.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0red 11212	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
5	1, 2	dvmptc 26098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtopon 24920	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9		ax-resscn 11158	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		sseq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
11	9, 10	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		eqimss 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
13	11, 12	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
14		elpri 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
16		pm3.44 974	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
17	13, 15, 16	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		resttopon 23299	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
19	8, 17, 18	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
20		dvmptconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21		toponss 23065	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
23		eqid 2763	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
24	1, 3, 4, 5, 22, 23, 6, 20	dvmptres 26103	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {cpr 4592   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   ↾_t crest 17474  TopOpenctopn 17475  ℂ_fldccnfld 21503  TopOnctopon 23048   D cdv 26003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17476  df-topn 17477  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46634  dvnmptconst  46635  dvnxpaek  46636  dvnmul  46637  dvmptfprod  46639  fourierdlem28  46829  fourierdlem57  46857  fourierdlem59  46859  fourierdlem68  46868  fouriersw  46925