Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptconst 44621
Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvmptconst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
dvmptconst (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem dvmptconst
StepHypRef Expression
1 dvmptconst.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptconst.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
32adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 0red 11216 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
51, 2dvmptc 25474 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 0))
6 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
76cnfldtopon 24298 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
9 ax-resscn 11166 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
10 sseq1 4007 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ↔ ℝ βŠ† β„‚))
119, 10mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
12 eqimss 4040 . . . . . 6 (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1311, 12pm3.2i 471 . . . . 5 ((𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚) ∧ (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚))
14 elpri 4650 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
151, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
16 pm3.44 958 . . . . 5 (((𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚) ∧ (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)) β†’ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
18 resttopon 22664 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
198, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
20 dvmptconst.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
21 toponss 22428 . . 3 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2219, 20, 21syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
23 eqid 2732 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
241, 3, 4, 5, 22, 23, 6, 20dvmptres 25479 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  dvxpaek  44646  dvnmptconst  44647  dvnxpaek  44648  dvnmul  44649  dvmptfprod  44651  fourierdlem28  44841  fourierdlem57  44869  fourierdlem59  44871  fourierdlem68  44880  fouriersw  44937
  Copyright terms: Public domain W3C validator