Theorem dvmptconst 46343

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvmptconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptconst	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptconst.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0red 11147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
5	1, 2	dvmptc 25925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtopon 24747	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9		ax-resscn 11095	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		sseq1 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
11	9, 10	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		eqimss 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
14		elpri 4591	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
16		pm3.44 962	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
17	13, 15, 16	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		resttopon 23126	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
19	8, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
20		dvmptconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21		toponss 22892	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
23		eqid 2736	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
24	1, 3, 4, 5, 22, 23, 6, 20	dvmptres 25930	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {cpr 4569   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352  TopOnctopon 22875   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46368  dvnmptconst  46369  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  dvmptfprod  46373  fourierdlem28  46563  fourierdlem57  46591  fourierdlem59  46593  fourierdlem68  46602  fouriersw  46659