Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptconst 42951
 Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptconst.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptconst.a (𝜑𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvmptconst.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvmptconst (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptconst
StepHypRef Expression
1 dvmptconst.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptconst.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 484 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 0red 10687 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → 0 ∈ ℝ)
51, 2dvmptc 24662 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑆𝐵)) = (𝑥𝑆 ↦ 0))
6 eqid 2758 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtopon 23489 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9 ax-resscn 10637 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
10 sseq1 3919 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
119, 10mpbiri 261 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
12 eqimss 3950 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
1311, 12pm3.2i 474 . . . . 5 ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
14 elpri 4547 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
151, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
16 pm3.44 957 . . . . 5 (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 resttopon 21866 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
198, 17, 18syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
20 dvmptconst.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21 toponss 21632 . . 3 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴𝑆)
2219, 20, 21syl2anc 587 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
23 eqid 2758 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
241, 3, 4, 5, 22, 23, 6, 20dvmptres 24667 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  {cpr 4527   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580   ↾t crest 16757  TopOpenctopn 16758  ℂfldccnfld 20171  TopOnctopon 21615   D cdv 24567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-icc 12791  df-fz 12945  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-rest 16759  df-topn 16760  df-topgen 16780  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571 This theorem is referenced by:  dvxpaek  42976  dvnmptconst  42977  dvnxpaek  42978  dvnmul  42979  dvmptfprod  42981  fourierdlem28  43171  fourierdlem57  43199  fourierdlem59  43201  fourierdlem68  43210  fouriersw  43267
 Copyright terms: Public domain W3C validator