Theorem dvmptconst 46267

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvmptconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptconst	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvmptconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptconst.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0red 11147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
5	1, 2	dvmptc 25930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtopon 24738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9		ax-resscn 11095	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
11	9, 10	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		eqimss 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
14		elpri 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
16		pm3.44 962	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
17	13, 15, 16	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		resttopon 23117	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
19	8, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
20		dvmptconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21		toponss 22883	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
23		eqid 2737	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
24	1, 3, 4, 5, 22, 23, 6, 20	dvmptres 25935	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ↾_t crest 17352  TopOpenctopn 17353  ℂ_fldccnfld 21321  TopOnctopon 22866   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46292  dvnmptconst  46293  dvnxpaek  46294  dvnmul  46295  dvmptfprod  46297  fourierdlem28  46487  fourierdlem57  46515  fourierdlem59  46517  fourierdlem68  46526  fouriersw  46583