Theorem ressusp 24225

Description: The restriction of a uniform topological space to an open set is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressusp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressusp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressusp	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Proof of Theorem ressusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressuss 24223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
2	1	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
3		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ UnifSp)
4		ressusp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
6		ressusp.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	4, 5, 6	isusp 24222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
8	3, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵))
10		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ TopSp)
11	4, 6	istps 22895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ 𝐽)
14		toponss 22888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
16		trust 24190	. . . . 5 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
17	9, 15, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
18	2, 17	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
20	19, 4	ressbas2 17179	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
22	21	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifOn‘𝐴) = (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
23	18, 22	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
24	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
25	13, 24	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
26		restutopopn 24199	. . . 4 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
27	9, 25, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
28	24	oveq1d 7385	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴))
29	2	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
30	27, 28, 29	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
31		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
32		eqid 2737	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
33	19, 6	resstopn 23147	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝑊 ↾s 𝐴))
34	31, 32, 33	isusp 24222	. 2 ⊢ ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))) ∧ (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
35	23, 30, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   × cxp 5632  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171   ↾_t crest 17354  TopOpenctopn 17355  TopOnctopon 22871  TopSpctps 22893  UnifOncust 24161  unifTopcutop 24191  UnifStcuss 24214  UnifSpcusp 24215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-tset 17210  df-unif 17214  df-rest 17356  df-topn 17357  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-ust 24162  df-utop 24192  df-uss 24217  df-usp 24218

This theorem is referenced by: (None)