Theorem ressusp 24152

Description: The restriction of a uniform topological space to an open set is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressusp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressusp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressusp	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Proof of Theorem ressusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressuss 24150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
2	1	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
3		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ UnifSp)
4		ressusp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
6		ressusp.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	4, 5, 6	isusp 24149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
8	3, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵))
10		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ TopSp)
11	4, 6	istps 22821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ 𝐽)
14		toponss 22814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
16		trust 24117	. . . . 5 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
18	2, 17	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
20	19, 4	ressbas2 17208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
22	21	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifOn‘𝐴) = (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
23	18, 22	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
24	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
25	13, 24	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
26		restutopopn 24126	. . . 4 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
27	9, 25, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
28	24	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴))
29	2	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
30	27, 28, 29	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
31		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
32		eqid 2729	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
33	19, 6	resstopn 23073	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝑊 ↾s 𝐴))
34	31, 32, 33	isusp 24149	. 2 ⊢ ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))) ∧ (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
35	23, 30, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  TopOnctopon 22797  TopSpctps 22819  UnifOncust 24087  unifTopcutop 24118  UnifStcuss 24141  UnifSpcusp 24142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-tset 17239  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-ust 24088  df-utop 24119  df-uss 24144  df-usp 24145

This theorem is referenced by: (None)