Theorem ressusp 24212

Description: The restriction of a uniform topological space to an open set is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressusp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressusp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressusp	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Proof of Theorem ressusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressuss 24210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
2	1	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
3		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ UnifSp)
4		ressusp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
6		ressusp.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7	4, 5, 6	isusp 24209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
8	3, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵))
10		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑊 ∈ TopSp)
11	4, 6	istps 22882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ 𝐽)
14		toponss 22875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
16		trust 24177	. . . . 5 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
17	9, 15, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
18	2, 17	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
20	19, 4	ressbas2 17169	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
22	21	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifOn‘𝐴) = (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
23	18, 22	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
24	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
25	13, 24	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
26		restutopopn 24186	. . . 4 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
27	9, 25, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
28	24	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ((unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ↾t 𝐴))
29	2	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))) = (unifTop‘((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))))
30	27, 28, 29	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
31		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
32		eqid 2737	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
33	19, 6	resstopn 23134	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝑊 ↾s 𝐴))
34	31, 32, 33	isusp 24209	. 2 ⊢ ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ∈ (UnifOn‘(Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))) ∧ (𝐽 ↾t 𝐴) = (unifTop‘(UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
35	23, 30, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝑊 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161   ↾_t crest 17344  TopOpenctopn 17345  TopOnctopon 22858  TopSpctps 22880  UnifOncust 24148  unifTopcutop 24178  UnifStcuss 24201  UnifSpcusp 24202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-tset 17200  df-unif 17204  df-rest 17346  df-topn 17347  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-ust 24149  df-utop 24179  df-uss 24204  df-usp 24205

This theorem is referenced by: (None)