MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressusp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ressusp 23990
Description: The restriction of a uniform topological space to an open set is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressusp.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
ressusp.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressusp ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ UnifSp)
Proof of Theorem ressusp
StepHypRef Expression
1 ressuss 23988 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = ((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
213ad2ant3 1134 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = ((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
3 simp1 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
4 ressusp.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2731 . . . . . . . 8 (UnifStβ€˜π‘Š) = (UnifStβ€˜π‘Š)
6 ressusp.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
74, 5, 6isusp 23987 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ UnifSp ↔ ((UnifStβ€˜π‘Š) ∈ (UnifOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š))))
83, 7sylib 217 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((UnifStβ€˜π‘Š) ∈ (UnifOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š))))
98simpld 494 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (UnifStβ€˜π‘Š) ∈ (UnifOnβ€˜π΅))
10 simp2 1136 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ π‘Š ∈ TopSp)
114, 6istps 22657 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1210, 11sylib 217 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
13 simp3 1137 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
14 toponss 22650 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
16 trust 23955 . . . . 5 (((UnifStβ€˜π‘Š) ∈ (UnifOnβ€˜π΅) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
179, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
182, 17eqeltrd 2832 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
19 eqid 2731 . . . . . 6 (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
2019, 4ressbas2 17187 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
2115, 20syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
2221fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (UnifOnβ€˜π΄) = (UnifOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))))
2318, 22eleqtrd 2834 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))))
248simprd 495 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 = (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)))
2513, 24eleqtrd 2834 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)))
26 restutopopn 23964 . . . 4 (((UnifStβ€˜π‘Š) ∈ (UnifOnβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š))) β†’ ((unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)) β†Ύt 𝐴) = (unifTopβ€˜((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
279, 25, 26syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ ((unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)) β†Ύt 𝐴) = (unifTopβ€˜((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
2824oveq1d 7427 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = ((unifTopβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)) β†Ύt 𝐴))
292fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))) = (unifTopβ€˜((UnifStβ€˜π‘Š) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
3027, 28, 293eqtr4d 2781 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))))
31 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))
32 eqid 2731 . . 3 (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = (UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))
3319, 6resstopn 22911 . . 3 (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (TopOpenβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))
3431, 32, 33isusp 23987 . 2 ((π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ UnifSp ↔ ((UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (unifTopβ€˜(UnifStβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))))
3523, 30, 34sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ UnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  TopOnctopon 22633  TopSpctps 22655  UnifOncust 23925  unifTopcutop 23956  UnifStcuss 23979  UnifSpcusp 23980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-tset 17221  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-ust 23926  df-utop 23957  df-uss 23982  df-usp 23983
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator