Theorem zgeltp1eq 47305

Description: If an integer is between another integer and its successor, the integer is equal to the other integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zgeltp1eq	⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Proof of Theorem zgeltp1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 < (𝐴 + 1))
2		zleltp1 12563	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
4	1, 3	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 ≤ 𝐴)
5		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐴 ≤ 𝐼)
6		zre 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
7		zre 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		letri3 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
11	4, 5, 10	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 = 𝐴)
12	11	ex 412	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  ℝcr 11046  1c1 11048   + caddc 11050   < clt 11187   ≤ cle 11188  ℤcz 12508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-n0 12422  df-z 12509

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  47772  logbpw2m1  48551  fllog2  48552