Theorem zgeltp1eq 47743

Description: If an integer is between another integer and its successor, the integer is equal to the other integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zgeltp1eq	⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Proof of Theorem zgeltp1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 < (𝐴 + 1))
2		zleltp1 12543	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
4	1, 3	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 ≤ 𝐴)
5		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐴 ≤ 𝐼)
6		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
7		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		letri3 11219	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
11	4, 5, 10	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 = 𝐴)
12	11	ex 412	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167   ≤ cle 11168  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  48210  logbpw2m1  49001  fllog2  49002