Theorem zgeltp1eq 47591

Description: If an integer is between another integer and its successor, the integer is equal to the other integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zgeltp1eq	⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Proof of Theorem zgeltp1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 < (𝐴 + 1))
2		zleltp1 12546	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 ≤ 𝐴 ↔ 𝐼 < (𝐴 + 1)))
4	1, 3	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 ≤ 𝐴)
5		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐴 ≤ 𝐼)
6		zre 12496	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
7		zre 12496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		letri3 11222	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → (𝐼 = 𝐴 ↔ (𝐼 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐼)))
11	4, 5, 10	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1))) → 𝐼 = 𝐴)
12	11	ex 412	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝐴 + 1)) → 𝐼 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  48058  logbpw2m1  48849  fllog2  48850