Theorem zleltp1 12569

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zleltp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12519	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12519	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		leadd1 11609	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7		peano2z 12559	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		zltp1le 12568	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	6, 9	bitr4d 283	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 < (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  zltlem1  12571  nnleltp1  12575  nn0leltp1  12579  suprzcl  12600  le9lt10  12662  uzwo  12852  flge  13755  flhalf  13780  om2uzlti  13903  seqf1olem1  13994  fz1isolem  14414  hashtpg  14438  ltoddhalfle  16321  prmind2  16645  prm23lt5  16776  prmreclem2  16879  prmgaplem8  17020  chfacfisf  22837  chfacfisfcpmat  22838  chfacfscmulgsum  22843  chfacfpmmulgsum  22847  plyco0  26175  plydivex  26281  logf1o2  26632  ang180lem3  26793  basellem3  27064  ppieq0  27157  chpeq0  27189  bposlem1  27265  bposlem6  27270  dchrvmasumiflem1  27482  mulog2sumlem2  27516  dp2lt10  32962  1smat1  33988  ballotlemfc0  34677  ballotlemfcc  34678  poimirlem24  38011  poimirlem28  38015  fdc  38112  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  sticksstones22  42653  irrapxlem1  43267  pellexlem5  43278  jm2.24  43408  zltlesub  45733  dvnxpaek  46385  fourierdlem50  46599  zgeltp1eq  47772  odz2prm2pw  48041  fmtno4prmfac  48050  2pwp1prm  48067  nnsum3primesle9  48285