MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zleltp1 12550
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 12499 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 12499 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 1re 11151 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 leadd1 11619 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
53, 4mp3an3 1450 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
61, 2, 5syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7 peano2z 12540 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 zltp1le 12549 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8sylan2 593 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
106, 9bitr4d 281 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 < (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cr 11046  1c1 11048   + caddc 11050   < clt 11185  cle 11186  cz 12495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496
This theorem is referenced by:  zltlem1  12552  nnleltp1  12554  nn0leltp1  12558  suprzcl  12579  le9lt10  12641  uzwo  12828  flge  13702  flhalf  13727  om2uzlti  13847  seqf1olem1  13939  fz1isolem  14352  hashtpg  14376  ltoddhalfle  16235  prmind2  16553  prm23lt5  16678  prmreclem2  16781  prmgaplem8  16922  chfacfisf  22187  chfacfisfcpmat  22188  chfacfscmulgsum  22193  chfacfpmmulgsum  22197  plyco0  25537  plydivex  25641  logf1o2  25989  ang180lem3  26145  basellem3  26416  ppieq0  26509  chpeq0  26540  bposlem1  26616  bposlem6  26621  dchrvmasumiflem1  26833  mulog2sumlem2  26867  dp2lt10  31623  1smat1  32254  ballotlemfc0  32961  ballotlemfcc  32962  poimirlem24  36069  poimirlem28  36073  fdc  36171  sticksstones10  40530  sticksstones12a  40532  sticksstones12  40533  sticksstones22  40543  irrapxlem1  41083  pellexlem5  41094  jm2.24  41225  zltlesub  43455  dvnxpaek  44115  fourierdlem50  44329  zgeltp1eq  45473  odz2prm2pw  45687  fmtno4prmfac  45696  2pwp1prm  45713  nnsum3primesle9  45918
  Copyright terms: Public domain W3C validator