Theorem logbpw2m1 47341

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12984	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		2nn0 12494	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5		nnnn0 12484	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0expcld 14214	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7		nnge1 12245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8		2re 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		1zzd 12598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11		nnz 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12		1lt2 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
14	9, 10, 11, 13	leexp2d 14220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15		2cn 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		exp1 14038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
19	18	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
20	14, 19	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
21	7, 20	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22		nn0ge2m1nn 12546	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
23	6, 21, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13019	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25		1ne2 12425	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2994	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28		relogbcl 26515	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
29	2, 24, 27, 28	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13768	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31		peano2zm 12610	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
32	11, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33		2z 12599	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		uzid 12842	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
36		nnlogbexp 26523	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
37	35, 32, 36	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
38	37	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39		flid 13778	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
40	32, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
41	38, 40	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42		2nn 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	nnexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 13019	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47		relogbcl 26515	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
48	2, 46, 27, 47	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49		pw2m1lepw2m1 47289	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
50	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
51		logbleb 26525	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
52	50, 46, 24, 51	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
53	49, 52	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54		flwordi 13782	. . . 4 ⊢ (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
55	48, 29, 53, 54	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
56	41, 55	eqbrtrrd 5172	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
57	43, 5	nnexpcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
58	57	nnnn0d 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
59	58, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 13019	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
61	2, 60, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13768	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
63	62	zred 12671	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64		nnre 12224	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65		peano2rem 11532	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67		peano2re 11392	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69		flle 13769	. . . 4 ⊢ ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
70	29, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
71	57	nnrpd 13019	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72		relogbcl 26515	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
73	2, 71, 27, 72	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
74	57	nnred 12232	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
75	74	ltm1d 12151	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76		logblt 26526	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
77	50, 24, 71, 76	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
78	75, 77	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
79	64	leidd 11785	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ≤ 𝐼)
80		nnlogbexp 26523	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
81	35, 11, 80	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82		nncn 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83		npcan1 11644	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
85	79, 81, 84	3brtr4d 5180	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
86	29, 73, 68, 78, 85	ltletrd 11379	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
87	63, 29, 68, 70, 86	lelttrd 11377	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88		zgeltp1eq 46316	. . 3 ⊢ (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
89	88	imp 406	. 2 ⊢ ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
90	30, 32, 56, 87, 89	syl22anc 836	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℕcn 12217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ℝ⁺crp 12979  ⌊cfl 13760  ↑cexp 14032   log_b clogb 26506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-logb 26507

This theorem is referenced by:  fllog2  47342  blenpw2m1  47353