Theorem logbpw2m1 48488

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13039	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		2nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5		nnnn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0expcld 14285	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7		nnge1 12294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		1zzd 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12		1lt2 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
14	9, 10, 11, 13	leexp2d 14291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15		2cn 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		exp1 14108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
19	18	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
20	14, 19	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
21	7, 20	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22		nn0ge2m1nn 12596	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
23	6, 21, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13075	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25		1ne2 12474	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2995	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28		relogbcl 26816	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
29	2, 24, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13838	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31		peano2zm 12660	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
32	11, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33		2z 12649	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		uzid 12893	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
36		nnlogbexp 26824	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
37	35, 32, 36	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
38	37	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39		flid 13848	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
40	32, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
41	38, 40	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42		2nn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	nnexpcld 14284	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47		relogbcl 26816	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
48	2, 46, 27, 47	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49		pw2m1lepw2m1 48437	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
50	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
51		logbleb 26826	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
52	50, 46, 24, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
53	49, 52	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54		flwordi 13852	. . . 4 ⊢ (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
55	48, 29, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
56	41, 55	eqbrtrrd 5167	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
57	43, 5	nnexpcld 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
58	57	nnnn0d 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
59	58, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
61	2, 60, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13838	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
63	62	zred 12722	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64		nnre 12273	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65		peano2rem 11576	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67		peano2re 11434	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69		flle 13839	. . . 4 ⊢ ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
70	29, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
71	57	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72		relogbcl 26816	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
73	2, 71, 27, 72	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
74	57	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
75	74	ltm1d 12200	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76		logblt 26827	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
77	50, 24, 71, 76	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
78	75, 77	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
79	64	leidd 11829	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ≤ 𝐼)
80		nnlogbexp 26824	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
81	35, 11, 80	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82		nncn 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83		npcan1 11688	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
85	79, 81, 84	3brtr4d 5175	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
86	29, 73, 68, 78, 85	ltletrd 11421	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
87	63, 29, 68, 70, 86	lelttrd 11419	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88		zgeltp1eq 47321	. . 3 ⊢ (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
89	88	imp 406	. 2 ⊢ ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
90	30, 32, 56, 87, 89	syl22anc 839	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830  ↑cexp 14102   log_b clogb 26807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808

This theorem is referenced by:  fllog2  48489  blenpw2m1  48500