Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbpw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbpw2m1 48488
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logbpw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1
StepHypRef Expression
1 2rp 13039 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5 nnnn0 12533 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
64, 5nn0expcld 14285 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7 nnge1 12294 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11 nnz 12634 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12 1lt2 12437 . . . . . . . . . 10 1 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
149, 10, 11, 13leexp2d 14291 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
16 exp1 14108 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
1918breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
2014, 19bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
217, 20mpbid 232 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22 nn0ge2m1nn 12596 . . . . . 6 (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
236, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 13075 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25 1ne2 12474 . . . . . 6 1 ≠ 2
2625necomi 2995 . . . . 5 2 ≠ 1
2726a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28 relogbcl 26816 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
292, 24, 27, 28syl3anc 1373 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 13838 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31 peano2zm 12660 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
3211, 31syl 17 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33 2z 12649 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 uzid 12893 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
36 nnlogbexp 26824 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3735, 32, 36sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3837fveq2d 6910 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39 flid 13848 . . . . 5 ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4032, 39syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4138, 40eqtrd 2777 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42 2nn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 12567 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
4543, 44nnexpcld 14284 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
4645nnrpd 13075 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47 relogbcl 26816 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
482, 46, 27, 47syl3anc 1373 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49 pw2m1lepw2m1 48437 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
5035a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
51 logbleb 26826 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5250, 46, 24, 51syl3anc 1373 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5349, 52mpbid 232 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54 flwordi 13852 . . . 4 (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5548, 29, 53, 54syl3anc 1373 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5641, 55eqbrtrrd 5167 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5743, 5nnexpcld 14284 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
5857nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5958, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
612, 60, 27, 28syl3anc 1373 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
6261flcld 13838 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
6362zred 12722 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64 nnre 12273 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65 peano2rem 11576 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67 peano2re 11434 . . . 4 ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69 flle 13839 . . . 4 ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7029, 69syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7157nnrpd 13075 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72 relogbcl 26816 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
732, 71, 27, 72syl3anc 1373 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
7457nnred 12281 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
7574ltm1d 12200 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76 logblt 26827 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7750, 24, 71, 76syl3anc 1373 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7875, 77mpbid 232 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
7964leidd 11829 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼𝐼)
80 nnlogbexp 26824 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
8135, 11, 80sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82 nncn 12274 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83 npcan1 11688 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8579, 81, 843brtr4d 5175 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
8629, 73, 68, 78, 85ltletrd 11421 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
8763, 29, 68, 70, 86lelttrd 11419 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88 zgeltp1eq 47321 . . 3 (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
8988imp 406 . 2 ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
9030, 32, 56, 87, 89syl22anc 839 1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  cfl 13830  cexp 14102   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  fllog2  48489  blenpw2m1  48500
  Copyright terms: Public domain W3C validator