Theorem logbpw2m1 49043

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12947	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		2nn0 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5		nnnn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0expcld 14208	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7		nnge1 12205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8		2re 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		1zzd 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11		nnz 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12		1lt2 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
14	9, 10, 11, 13	leexp2d 14214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15		2cn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		exp1 14029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
19	18	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
20	14, 19	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
21	7, 20	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22		nn0ge2m1nn 12507	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
23	6, 21, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 12984	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25		1ne2 12384	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2986	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28		relogbcl 26737	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
29	2, 24, 27, 28	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13757	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31		peano2zm 12570	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
32	11, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33		2z 12559	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		uzid 12803	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
36		nnlogbexp 26745	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
37	35, 32, 36	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
38	37	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39		flid 13767	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
40	32, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
41	38, 40	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	nnexpcld 14207	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 12984	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47		relogbcl 26737	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
48	2, 46, 27, 47	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49		pw2m1lepw2m1 48996	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
50	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
51		logbleb 26747	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
52	50, 46, 24, 51	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
53	49, 52	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54		flwordi 13771	. . . 4 ⊢ (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
55	48, 29, 53, 54	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
56	41, 55	eqbrtrrd 5109	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
57	43, 5	nnexpcld 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
58	57	nnnn0d 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
59	58, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 12984	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
61	2, 60, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13757	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
63	62	zred 12633	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64		nnre 12181	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65		peano2rem 11461	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67		peano2re 11319	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69		flle 13758	. . . 4 ⊢ ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
70	29, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
71	57	nnrpd 12984	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72		relogbcl 26737	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
73	2, 71, 27, 72	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
74	57	nnred 12189	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
75	74	ltm1d 12088	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76		logblt 26748	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
77	50, 24, 71, 76	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
78	75, 77	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
79	64	leidd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ≤ 𝐼)
80		nnlogbexp 26745	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
81	35, 11, 80	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82		nncn 12182	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83		npcan1 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
85	79, 81, 84	3brtr4d 5117	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
86	29, 73, 68, 78, 85	ltletrd 11306	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
87	63, 29, 68, 70, 86	lelttrd 11304	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88		zgeltp1eq 47757	. . 3 ⊢ (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
89	88	imp 406	. 2 ⊢ ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
90	30, 32, 56, 87, 89	syl22anc 839	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  ⌊cfl 13749  ↑cexp 14023   log_b clogb 26728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521  df-logb 26729

This theorem is referenced by:  fllog2  49044  blenpw2m1  49055