Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbpw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbpw2m1 44555
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logbpw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1
StepHypRef Expression
1 2rp 12382 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 2nn0 11902 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5 nnnn0 11892 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
64, 5nn0expcld 13595 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7 nnge1 11653 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8 2re 11699 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 1zzd 12001 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11 nnz 11992 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12 1lt2 11796 . . . . . . . . . 10 1 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
149, 10, 11, 13leexp2d 13603 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15 2cn 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
16 exp1 13423 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
1918breq1d 5067 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
2014, 19bitrd 280 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
217, 20mpbid 233 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22 nn0ge2m1nn 11952 . . . . . 6 (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
236, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 12417 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25 1ne2 11833 . . . . . 6 1 ≠ 2
2625necomi 3067 . . . . 5 2 ≠ 1
2726a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28 relogbcl 25278 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
292, 24, 27, 28syl3anc 1363 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 13156 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31 peano2zm 12013 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
3211, 31syl 17 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33 2z 12002 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 uzid 12246 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
36 nnlogbexp 25286 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3735, 32, 36sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3837fveq2d 6667 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39 flid 13166 . . . . 5 ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4032, 39syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4138, 40eqtrd 2853 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42 2nn 11698 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 11926 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
4543, 44nnexpcld 13594 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
4645nnrpd 12417 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47 relogbcl 25278 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
482, 46, 27, 47syl3anc 1363 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49 pw2m1lepw2m1 44503 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
5035a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
51 logbleb 25288 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5250, 46, 24, 51syl3anc 1363 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5349, 52mpbid 233 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54 flwordi 13170 . . . 4 (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5548, 29, 53, 54syl3anc 1363 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5641, 55eqbrtrrd 5081 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5743, 5nnexpcld 13594 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
5857nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5958, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 12417 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
612, 60, 27, 28syl3anc 1363 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
6261flcld 13156 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
6362zred 12075 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64 nnre 11633 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65 peano2rem 10941 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67 peano2re 10801 . . . 4 ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69 flle 13157 . . . 4 ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7029, 69syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7157nnrpd 12417 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72 relogbcl 25278 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
732, 71, 27, 72syl3anc 1363 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
7457nnred 11641 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
7574ltm1d 11560 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76 logblt 25289 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7750, 24, 71, 76syl3anc 1363 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7875, 77mpbid 233 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
7964leidd 11194 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼𝐼)
80 nnlogbexp 25286 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
8135, 11, 80sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82 nncn 11634 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83 npcan1 11053 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8579, 81, 843brtr4d 5089 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
8629, 73, 68, 78, 85ltletrd 10788 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
8763, 29, 68, 70, 86lelttrd 10786 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88 zgeltp1eq 43386 . . 3 (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
8988imp 407 . 2 ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
9030, 32, 56, 87, 89syl22anc 834 1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cfl 13148  cexp 13417   logb clogb 25269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-logb 25270
This theorem is referenced by:  fllog2  44556  blenpw2m1  44567
  Copyright terms: Public domain W3C validator