Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbpw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbpw2m1 47331
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logbpw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1
StepHypRef Expression
1 2rp 12981 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 2nn0 12491 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5 nnnn0 12481 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
64, 5nn0expcld 14211 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7 nnge1 12242 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8 2re 12288 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 1zzd 12595 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11 nnz 12581 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12 1lt2 12385 . . . . . . . . . 10 1 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
149, 10, 11, 13leexp2d 14217 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15 2cn 12289 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
16 exp1 14035 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
1918breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
2014, 19bitrd 278 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
217, 20mpbid 231 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22 nn0ge2m1nn 12543 . . . . . 6 (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
236, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 13016 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25 1ne2 12422 . . . . . 6 1 ≠ 2
2625necomi 2995 . . . . 5 2 ≠ 1
2726a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28 relogbcl 26285 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
292, 24, 27, 28syl3anc 1371 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 13765 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31 peano2zm 12607 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
3211, 31syl 17 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33 2z 12596 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 uzid 12839 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
36 nnlogbexp 26293 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3735, 32, 36sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3837fveq2d 6895 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39 flid 13775 . . . . 5 ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4032, 39syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4138, 40eqtrd 2772 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42 2nn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 12515 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
4543, 44nnexpcld 14210 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
4645nnrpd 13016 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47 relogbcl 26285 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
482, 46, 27, 47syl3anc 1371 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49 pw2m1lepw2m1 47279 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
5035a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
51 logbleb 26295 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5250, 46, 24, 51syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5349, 52mpbid 231 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54 flwordi 13779 . . . 4 (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5548, 29, 53, 54syl3anc 1371 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5641, 55eqbrtrrd 5172 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5743, 5nnexpcld 14210 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
5857nnnn0d 12534 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5958, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 13016 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
612, 60, 27, 28syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
6261flcld 13765 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
6362zred 12668 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64 nnre 12221 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65 peano2rem 11529 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67 peano2re 11389 . . . 4 ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69 flle 13766 . . . 4 ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7029, 69syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7157nnrpd 13016 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72 relogbcl 26285 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
732, 71, 27, 72syl3anc 1371 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
7457nnred 12229 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
7574ltm1d 12148 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76 logblt 26296 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7750, 24, 71, 76syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7875, 77mpbid 231 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
7964leidd 11782 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼𝐼)
80 nnlogbexp 26293 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
8135, 11, 80sylancr 587 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82 nncn 12222 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83 npcan1 11641 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8579, 81, 843brtr4d 5180 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
8629, 73, 68, 78, 85ltletrd 11376 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
8763, 29, 68, 70, 86lelttrd 11374 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88 zgeltp1eq 46096 . . 3 (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
8988imp 407 . 2 ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
9030, 32, 56, 87, 89syl22anc 837 1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  cn 12214  2c2 12269  0cn0 12474  cz 12560  cuz 12824  +crp 12976  cfl 13757  cexp 14029   logb clogb 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-logb 26277
This theorem is referenced by:  fllog2  47332  blenpw2m1  47343
  Copyright terms: Public domain W3C validator