Theorem logbpw2m1 47563

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13003	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		2nn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5		nnnn0 12501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0expcld 14232	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7		nnge1 12262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8		2re 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		1zzd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11		nnz 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12		1lt2 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
14	9, 10, 11, 13	leexp2d 14238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15		2cn 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		exp1 14056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
19	18	breq1d 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
20	14, 19	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
21	7, 20	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22		nn0ge2m1nn 12563	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
23	6, 21, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13038	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25		1ne2 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2990	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28		relogbcl 26692	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
29	2, 24, 27, 28	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13787	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31		peano2zm 12627	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
32	11, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33		2z 12616	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		uzid 12859	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
36		nnlogbexp 26700	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
37	35, 32, 36	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
38	37	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39		flid 13797	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
40	32, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
41	38, 40	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42		2nn 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	nnexpcld 14231	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 13038	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47		relogbcl 26692	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
48	2, 46, 27, 47	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49		pw2m1lepw2m1 47511	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
50	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
51		logbleb 26702	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
52	50, 46, 24, 51	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
53	49, 52	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54		flwordi 13801	. . . 4 ⊢ (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
55	48, 29, 53, 54	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
56	41, 55	eqbrtrrd 5166	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
57	43, 5	nnexpcld 14231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
58	57	nnnn0d 12554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
59	58, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 13038	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
61	2, 60, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
62	61	flcld 13787	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
63	62	zred 12688	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64		nnre 12241	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65		peano2rem 11549	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67		peano2re 11409	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69		flle 13788	. . . 4 ⊢ ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
70	29, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
71	57	nnrpd 13038	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72		relogbcl 26692	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
73	2, 71, 27, 72	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
74	57	nnred 12249	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
75	74	ltm1d 12168	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76		logblt 26703	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
77	50, 24, 71, 76	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
78	75, 77	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
79	64	leidd 11802	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ≤ 𝐼)
80		nnlogbexp 26700	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
81	35, 11, 80	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82		nncn 12242	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83		npcan1 11661	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
85	79, 81, 84	3brtr4d 5174	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
86	29, 73, 68, 78, 85	ltletrd 11396	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
87	63, 29, 68, 70, 86	lelttrd 11394	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88		zgeltp1eq 46612	. . 3 ⊢ (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
89	88	imp 406	. 2 ⊢ ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
90	30, 32, 56, 87, 89	syl22anc 838	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ℝ⁺crp 12998  ⌊cfl 13779  ↑cexp 14050   log_b clogb 26683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-logb 26684

This theorem is referenced by:  fllog2  47564  blenpw2m1  47575