Theorem ballotfilemafi 13240

Description: The set of countings where A got the first vote, but does not stay strictly ahead throughout, is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemafi	⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐸,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐸(𝑥, 𝑖)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilemafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotfilem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13221	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ Fin
5		ballotfilem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
6		ballotth.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
7		ballotth.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	ballotfilemefi 13239	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Fin
9	7	ssrab3 3334	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝑂
10		diffifi 7198	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐸 ⊆ 𝑂) → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
11	4, 8, 9, 10	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
13		eldifi 3351	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝑂)
14		1zzd 9673	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
15	1, 2, 3, 13, 14	ballotfilemcdc 13225	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → DECID 1 ∈ 𝑐)
16	15	rgen 2603	. . . 4 ⊢ ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID 1 ∈ 𝑐
17	16	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID 1 ∈ 𝑐)
18	12, 17	ssfirab 7244	. 2 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin)
19	18	mptru 1411	1 ⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   − cmin 8497   / cdiv 9003  ℕcn 9305  ℤcz 9646  ...cfz 10413  ♯chash 11216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-ihash 11217

This theorem is used by:  ballotfilem8  13282  ballotfilemth  13283