Theorem ccat2s1fvwd 11273

Description: Extract a symbol of a word from the concatenation of the word with two single symbols. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccat2s1fvwd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
ccat2s1fvwd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
ccat2s1fvwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 < (♯‘𝑊))
ccat2s1fvwd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ccat2s1fvwd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvwd	⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccat2s1fvwd.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		wrdv 11178	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word V)
4		ccat2s1fvwd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	elexd 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5	s1cld 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
7		ccat2s1fvwd.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	7	elexd 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
9	8	s1cld 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
10		ccatass 11234	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
11	3, 6, 9, 10	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
12	11	fveq1d 5650	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼))
13		ccatws1cl 11258	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑌 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
14	6, 8, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
15		ccat2s1fvwd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
16		ccat2s1fvwd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < (♯‘𝑊))
17		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
18		lencl 11166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
19	18	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20		nn0ge0 9469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐼)
22		0red 8223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
23		nn0re 9453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
24	23	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
25	18	nn0red 9500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27		lelttr 8310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
28	22, 24, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
29	21, 28	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
30	29	3impia 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
31		elnnnn0b 9488	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
32	19, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33		simp3 1026	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
34		elfzo0 10466	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
35	17, 32, 33, 34	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36	1, 15, 16, 35	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		ccatval1 11223	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
38	1, 14, 36, 37	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
39	12, 38	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Word cword 11162   ++ cconcat 11216  ⟨“cs1 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-s1 11242

This theorem is referenced by:  ccat2s1fstg  11274  clwwlknonex2lem2  16362