Theorem gsumsplitfi 14256

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplitfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplitfi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplitfi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumsplitfi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 5846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
7		gsumsplit.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
8		gsumsplit.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
9		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	gsummptfidmsplitres 14255	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))))
11	5	feqmptd 5759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
12	11	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
13	11	reseq1d 5064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
14	13	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶)))
15	11	reseq1d 5064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
16	15	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷)))
17	14, 16	oveq12d 6106	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))))
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520   ↦ cmpt 4193   ↾ cres 4778  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  0_gc0g 13669  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsum2dfilem2  14272